Разработка автоматизированной системы для исследования устойчивости и автоколебаний в электромеханической следящей системе

Размещено на /

1. Математическая модель следящей системы

2. Исследование нелинейной следящей системы аналитическими методами

3. Разработка требований к интерфейсу пользователя диалоговой системы

4. Разработка программного обеспечения АИС

5. Результаты испытания АИС Заключение Приложение

Настоящая дипломная работа посвящена проблеме разработки автоматизированной системы синтеза нелинейных систем методом гармонического баланса.

В теории автоматического управления особое место занимают методы исследования нелинейных систем.

Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается линейность статической характеристики или же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики звена (произведение переменных или их производных, корень, квадрат или более высокая степень переменной любая другая нелинейная связь переменных и их производных).

Следовательно, к нелинейным системам относятся, в частности, все системы, в звеньях которых имеются статические характеристики любого из многих видов. К ним же относятся и все системы релейного действия.

Нелинейными могут быть, разумеется, также и системы с переменными параметрами, с распределительными параметрами, с запаздыванием, импульсные и цифровые системы, если в них где-либо нарушается линейность уравнений динамики (в цифровых системах это связано с квантованием сигнала по уровню).

При исследовании, расчете и синтезе автоматических систем нужно иметь в виду, что наиболее полно разработана теория и различные прикладные методы для обыкновенных линейных систем. Поэтому в интересах расчета и его простоты всегда желательно (там, где это допустимо) сводить задачу к такой форме, чтобы максимально использовать методы исследования обыкновенных линейных систем.

Обычно уравнения динамики всех звеньев системы стараются привести, обыкновенно, к линейным, и только для некоторых звеньев, где это недопустимо или где специально вводится особое линейное или нелинейное звено, учитываются их особые свойства. Тогда при наличии одного такого звена система при расчете разбивается на два блока, а одном из которых объединяется весь комплекс обыкновенных линейных звеньев.

Однако это вовсе не значит, что при проектировании новых автоматических систем нужно стремится к обыкновенности линейным системам. Наоборот, уже из приведенных выше определений совершенно очевидно, что обыкновенные линейные системы обладают ограниченными возможностями.

Введение

особых линейных и нелинейных звеньев может придать системе лучшие качества.

Особенно богатыми возможностями обладают системы со специально вводимыми нелинейностями и дискретные системы. В том числе с цифровыми вычислительными устройствами, а также адаптивные, то есть, самонастраивающиеся, экстремальные, самоорганизующиеся системы.

Разрабатываемая система может быть использована в качестве методического пособия для студентов ВУЗов при изучении ими методов исследования нелинейных систем автоматического управления.

Перечислим некоторые из них:

метод фазового пространства или фазовых траекторий;

метод точечных преобразований;

метод изоклин;

частичный метод В. М. Попова;

метод гармонического баланса;

частотный метод определения устойчивости и автоколебаний.

Из известных автору систем автоматизированного проектирования автоматических систем управления наибольшими возможностями обладают системы SIAM и CSSE. Однако эти средства расчета систем управления имеют ограниченные возможности графического представления информации.

В то же время перечисленные выше методы исследования нелинейных систем удобны, когда решение реализуется именно графическими методами.

Существует чрезвычайно большое разнообразие автоматических систем, выполняющих те или иные функции по управлению самыми различными физическими процессами во всех областях техники. В этих системах сочетаются весьма разнообразные по конструкции механические, электрические и другие устройства, составляя, в общем, сложный комплекс взаимодействующих друг с другом звеньев.

Примерами автоматических систем могут служить:

а) автомат включения освещения, в котором имеется фотоэлемент, реагирующий на силу дневного света, и специальное устройство для включения освещения, срабатывающее от определенного сигнала фотоэлемента;

б) автомат, выбрасывающий какие-либо определенные предметы (билеты, шоколад) при опускании в него определенной комбинации монет;

в) станок-автомат, автоматические линии станков и автоматические цехи на заводах;

г) системы телеуправления, в которых от нажатия кнопки или от легкого поворота ручки на пульте управления совершается определенная комбинация мощных и сложных операций в управляемом объекте;

д) автоматический регулятор скорости вращения двигателя, поддерживающий постоянную угловую скорость двигателя независимо от внешней нагрузки (аналогично регуляторы температуры, давления, напряжения, частоты и пр.);

е) автопилот, поддерживающий определенный курс и высоту полета самолета без помощи летчика;

ж) следящая система, на выходе которой с определенной точностью копируется произвольное во времени изменение какой-нибудь величины, поданной на вход;

з) система сопровождения, в которой ствол наземного орудия автоматически поворачивается за летящим самолетом;

и) вычислительное устройство, выполняющее определенную математическую операцию (дифференцирование, интегрирование, решение уравнений и т. п.);

к) измерительные приборы, работающие по так называемому компенсационному принципу;

л) система самонаведения снаряда на цель и пр.

Все эти и им подобные автоматические системы можно разделить на два больших класса:

автоматы, выполняющие определенного рода одноразовые или многоразовые операции; сюда относятся, например, автомат включения освещения, билетный автомат, станок-автомат, ружье-автомат, автомат переключения скоростей и т. п.

автоматические системы, которые в течение достаточно длительного времени нужным образом изменяют (или поддерживают неизменными) какие-либо физические величины (координаты движущегося объекта, скорость движения, электрическое напряжение, частоту, температуру, давление, громкость звука и пр.) в том или ином управляемом процессе. Сюда относятся автоматические регуляторы, следящие системы, автопилоты, некоторые вычислительные устройства, некоторые измерительные приборы, системы дистанционного управления, телеуправления, самонаведения и т. п.

Естественным дальнейшим усовершенствованием автоматической системы является замыкание ее выхода (контрольные приборы) со входом (источник воздействия) таким образом, чтобы контрольные приборы, измерив некоторые величины, характеризующие определенный процесс в управляемом объекте, сами служили бы одновременно и источником воздействия на систему, причем величина этого воздействия зависела бы от того, насколько отличаются измеренные величины на управляемом объекте от требуемых значений.

Таким образом, возникает замкнутая автоматическая система. Очевидно, что в замкнутой автоматической системе имеется полная взаимозависимость работы всех звеньев друг от друга. Протекание всех процессов в замкнутой системе коренным образом отличается от процессов в незамкнутой системе. Замкнутая система совершенно по-другому реагирует на внешние возмущающие воздействия.

Различные ценные свойства замкнутых автоматических систем, делают их незаменимыми во многих случаях, когда требуется точность и быстродействие для управления, измерения или для производства математических вычислений. Поэтому при создании всяких замкнутых автоматических систем особое значение приобретают динамические расчеты.

Замкнутые автоматические системы существуют в технике в виде различных автоматических систем управления, систем автоматического регулирования, следящих систем, вычислительных систем, компенсационных систем измерения, систем автоматического пилотирования, систем стабилизации, систем самонаведения, телеуправления, автономного управления и т. п.

В следящей системе выходная величина у (t) воспроизводит изменение входной величины g (t), причем, автоматическое устройство реагирует на рассогласование (t) между выходной и входной величинами. Условимся величины у и g называть соответственно регулируемой величиной и задающим воздействием.

Следящая система имеет обратную связь выхода со входом, которая, по сути дела, служит для измерения результата действия системы. На входе системы производится вычитание х - h-z. Устройство, производящее это вычитание, будем называть датчиком рассогласования.

Величина рассогласования х и воздействует на промежуточные устройства, а через них — на управляемый объект. Система работает так, чтобы все время сводить к нулю рассогласование х. Источником воздействия на задающее устройство может быть либо человек, либо специальное устройство, либо изменение внешних условий, в которых работает система.

Для систем автоматического регулирования введем следующую терминологию.

Агрегат, в котором происходит процесс, подлежащий регулированию, называется регулируемым объектом. Величина у, которую необходимо в этом агрегате регулировать, т. е. поддерживать постоянной или изменять по заданной программе, называется регулируемой величиной.

Автоматически действующее устройство, предназначенное для выполнения задачи регулирования, называется автоматическим регулятором. Автоматический регулятор включает в себя измерительное устройство, т. е. чувствительный элемент, реагирующий на отклонение регулируемой величины у.

Далее ставится усилительно-преобразовательное и исполнительное устройства. Они служат для формирования регулирующего воздействия u(t) на объект, для возможно более точного выполнения задачи регулирования при реально имеющемся возмущающем воздействии f (t).

Автоматический регулятор вместе с регулируемым объектом называется системой автоматического регулирования.

Системы автоматического регулирования, поддерживающие постоянное частности, нулевое значение регулируемой величины, называют также системами стабилизации. Система автоматического регулирования, изменяющая значения регулируемой величины по заранее заданной программе, называется системой программного регулирования.

Регулятор, в котором имеется усилительно-преобразовательное устройство, питаемое извне, от добавочного источника энергии называется регулятором непрямого действия.

В простейших регуляторах, как увидим ниже, усилительнопреобразовательного устройства и привода может и не быть вовсе, т. е. измерительное устройство может непосредственно (без дополнительного источника энергии) воздействовать на регулирующий орган. Такой регулятор называется регулятором прямого действия. Питание регулятора прямого действия энергией идет не извне, а целиком за счет энергии самого регулируемого объекта, подаваемой через измерительное устройство.

Но существуют, наоборот, и более сложные регуляторы. Так, кроме одиночных систем регулирования, о которых здесь идет речь, состоящих из одного регулируемого объекта и одного регулятора, существуют так называемые связанные или многомерные системы регулирования.

Многомерными системами регулирования называются такие, в которых имеется несколько регулируемых величин или в единый автоматически работающий комплекс связаны несколько регуляторов на одном объекте или несколько регуляторов и несколько объектов с перекрестными связями между ними.

Система автоматического управления может решать любую из этих задач: регулирование, стабилизация, слежение, ориентация, наведение, но может решать также и совокупность такого рода задач и иметь различные дополнительные функции. Те же общие принципы используются в разного рода системах автоматического управления.

Большое значение в технике управления имеют системы комбинированного действия с регулированием по возмущению. Все большую роль начинают играть адаптивные системы, т. е. самонастраивающиеся, самооптимизирующиеся и самоорганизующиеся системы, а также системы с переменной структурой.

Для систем автоматического регулирования и для следящих систем (равно как и для всех замкнутых автоматических систем вообще) существуют практически единые методы динамических расчетов.

Большое различие в теорию систем вносят не только функциональные признаки, но и характер внутренних процессов: непрерывный — дискретный (импульсный), линейный — нелинейный и т. п.

Классифицируются автоматические системы по характеру внутренних динамических процессов.

Каждая автоматическая система состоит из целого ряда блоков или звеньев, различно соединенных между собой. Каждое отдельно взятое звено имеет вход и выход. В общем случае звено может иметь несколько входов и выходов. Входная величина Xi и выходная Х₂ могут иметь любую физическую природу (ток, напряжение, перемещение, температура, освещенность и т. п.). В процессе работы автоматической системы величины Xi и Х₂ изменяются во времени.

Динамика процесса преобразования сигнала в данном звене описывается некоторым уравнением, связывающим выходную переменную Х₂ с входной переменной Х. Совокупность уравнений и характеристик всех звеньев описывает динамику процессов управления или регулирования во всей системе в целом. Существуют различные характеристики звеньев: статические, переходные, частотные и др.

Основными признаками деления автоматических систем на большие классы по характеру внутренних динамических процессов являются следующие:

непрерывность или дискретность (прерывистость) динамических процессов во времени;

линейность или нелинейность уравнений, описывающих динамику процессов регулирования.

По первому признаку автоматические системы делятся на системы непрерывного действия, системы дискретного действия (импульсные и цифровые) и системы релейного действия.

По второму признаку каждый из указанных классов, кроме релейного, делится на системы линейные и нелинейные. Системы же релейного действия относятся целиком к категории нелинейных систем.

Системой непрерывного действия называется такая система, в каждом из звеньев которой непрерывному изменению входной величины во времени соответствует непрерывное изменение выходной величины. При этом закон изменения выходной величины во времени может быть произвольным, в зависимости от формы изменения входной величины и от вида уравнения динамики (или характеристики) звена.

Чтобы автоматическая система в целом была непрерывной, необходимо, прежде всего, чтобы статические характеристики всех звеньев системы были непрерывными.

Системой дискретного действия называется такая система, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной величины выходная величина изменяется не непрерывно, а имеет вид отдельных импульсов, появляющихся через некоторые промежутки времени. Звено, преобразующее непрерывный входной сигнал в последовательность импульсов, называется импульсным.

Если последующее звено системы тоже дискретное, то для него не только выходная, но и входная величина будет дискретной (импульсной). К дискретным автоматическим системам относятся системы импульсного регулирования (т. е. системы с импульсным звеном), а также системы с цифровыми вычислительными устройствами.

Эти последние дают результат вычисления на выходе дискретно, через определенные промежутки времени, в виде чисел для отдельных дискретных числовых значений входной величины.

Системой релейного действия называется такая система, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной величины выходная величина в некоторых точках процесса, зависящих от значения входной величины, изменяется скачком. Такое звено называется релейным звеном. Обратимся теперь ко второму признаку классификации автоматических систем.

Линейной системой называется такая система, динамика всех звеньев которой вполне описывается линейными уравнениями (алгебраическими и дифференциальными или разностными).

Для этого необходимо прежде всего, чтобы статические характеристики всех звеньев системы были линейными, т. е. имели вид прямой линии.

Если динамика всех звеньев системы описывается обыкновенными линейными дифференциальными (и линейными алгебраическими) уравнениями с постоянными коэффициентами, то систему называют обыкновенной линейной системой.

Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается линейность статической характеристики или же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики звена (произведение переменных или их производных, корень, квадрат или более высокая степень переменной, любая другая нелинейная связь переменных и их производных).

Следовательно, к нелинейным системам относятся также и системы с переменными параметрами, с распределенными параметрами, с запаздыванием, импульсные и цифровые системы, если в них где-либо нарушается линейность уравнений динамики (в цифровых системах это связано, в частности, с квантованием сигнала по уровню). К ним же относятся и все системы релейного действия.

При исследовании, расчете и синтезе автоматических систем нужно иметь в виду, что наиболее полно разработаны теория и различные прикладные методы для обыкновенных линейных систем. Поэтому в интересах простоты расчета всегда желательно (там, где это допустимо) сводить задачу к такой форме, чтобы максимально использовать методы исследования обыкновенных линейных систем.

Обычно, уравнения динамики всех звеньев системы стараются привести к обыкновенным линейным, и только для некоторых звеньев, где это недопустимо или где специально вводится особое линейное или нелинейное звено, учитываются эти особые их свойства. Тогда при наличии одного такого звена система при расчете разбивается на два блока, в одном из которых объединяется весь комплекс обыкновенных линейных звеньев.

Однако это вовсе не значит, что при проектировании новых автоматических систем нужно стремиться к обыкновенным линейным системам. Наоборот, уже из приведенных выше определений совершенно очевидно, что обыкновенные линейные системы обладают ограниченными возможностями.

Введение

особых линейных и нелинейных звеньев может придать системе лучшие качества. Особенно богатыми возможностями обладают системы со специально вводимыми нелинейностями и дискретные системы, в том числе с цифровыми вычислительными устройствами, а также адаптивные, т. е. самонастраивающиеся, экстремальные, самоорганизующиеся системы.

В настоящее время во многих областях техники существует необозримое количество самых разнообразных систем автоматического управления, использующих принцип следящих систем. Он применяется почти везде, где нужно добиться высокой точности и надежности автоматического управления.

Качество работы любой системы регулирования, в конечном счете, определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины: x(t) g(t) —y(t). В системах стабилизации при g(t) О ошибка x(t) ^-y(t).

Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Однако в действительности, вследствие случайности задающего и возмущающего воздействий, такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы регулирования по некоторым ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы регулирования в этом случае используются так называемые критерии качества.

В настоящее время разработано большое число различных критериев качества систем регулирования. Все их можно разбить на четыре группы.

К первой группе относятся критерии, в той или иной степени использующие для оценки качества величину ошибки в различных типовых режимах. Эту группу назовем критериями точности систем регулирования.

Ко второй группе относятся критерии, определяющие величину запаса устойчивости, т. е. критерии, устанавливающие, насколько далеко от границы устойчивости находится система регулирования.

Почти всегда опасной для системы является колебательная граница устойчивости. Это определяется тем, что стремление повысить общий коэффициент усиления в системе, как правило, приводит к приближению системы именно к колебательной границе устойчивости и затем к возникновению незатухающих автоколебаний.

Третья группа критериев качества определяет так называемое быстродействие систем регулирования. Под быстродействием понимается быстрота реагирования системы регулирования на появление задающих и возмущающих воздействий. Наиболее просто быстродействие может оцениваться по времени затухания переходного процесса системы.

К четвертой группе критериев качества относятся комплексные критерии, дающие оценку некоторых обобщенных свойств, которые могут учитывать точность, запас устойчивости и быстродействие. Обычно, это делается при помощи рассмотрения некоторых интегральных свойств кривой переходного процесса.

При рассмотрении понятий запаса устойчивости и быстродействия можно исходить из двух существующих в настоящее время точек зрения.

Во-первых, можно основываться на характере протекания процессов во времени и использовать для формирования критериев качества переходную или весовую функцию, расположение полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы и т. п.

Во-вторых, можно основываться на некоторых частотных свойствах рассматриваемой системы, характеризующих ее поведение в установившемся режиме при действии на входе гармонического сигнала. К ним относятся полоса пропускания, относительная высота резонансного пика и другие.

Оба эти подхода имеют в настоящее время большое распространение и используются параллельно. И тот, и другой подход требует изучения условий эксплуатации построенных систем автоматического регулирования, так как только на основании такого изучения можно правильно сформулировать количественные оценки, которые могут быть использованы в практике проектирования и расчета новых систем.

Связь между временными и частотными свойствами системы автоматического регулирования имеет сложный характер и может быть определена в общем виде только в простейших случаях, например, для систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка.

Однако отсутствие зависимостей, связывающих в общей форме свойства системы во временном и частотном представлениях, не может служить препятствием для развития и независимого использования критериев качества того или иного направления.

Использование того или иного подхода при формулировании критериев качества определяется в настоящее время удобствами его применения в системах конкретного вида, а также, в известной мере, сложившимися в данной области традициями.

К числу общих методов повышения точности систем автоматического регулирования относятся:

увеличение коэффициента усиления разомкнутой цепи;

повышение степени астатизма;

применение регулирования по производным от ошибки.

Увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой цепи является наиболее универсальным и эффективным методом. Увеличить общий коэффициент усиления можно обычно за счет введения в систему регулирования усилителей. Однако в некоторых случаях удается достичь этого увеличения за счет повышения коэффициентов передачи отдельных звеньев, например чувствительных элементов, редукторов и т. д.

Увеличение общего коэффициента усиления благоприятно сказывается, в смысле уменьшения ошибок, практически во всех типовых режимах. Это вытекает, в частности, из того, что общий коэффициент усиления разомкнутой цепи входит в качестве делителя во все коэффициенты ошибок.

Однако увеличение общего коэффициента усиления ограничивается устойчивостью системы регулирования. При повышении коэффициента усиления, как правило, система приближается к колебательной границе устойчивости.

При некотором предельном его значении в системе возникают незатухающие колебания. В этом сказывается противоречие между требованиями к точности и требованиями к устойчивости системы регулирования.

В связи с этим повышение общего коэффициента усиления до значения, при котором обеспечивается выполнение требований к точности, обычно может производиться только при одновременном повышении запаса устойчивости системы, что осуществляется при помощи так называемых корректирующих средств Под улучшением качества процесса регулирования, помимо повышения точности в типовых режимах, понимается изменение динамических свойств системы регулирования с целью получения необходимого запаса устойчивости и быстродействия.

В этой проблеме основное значение имеет обеспечение запаса устойчивости. Это объясняется тем, что стремление снизить ошибки системы регулирования приводит, как правило, к необходимости использовать такие значения общего коэффициента усиления, при которых без принятия специальных мер, система вообще оказывается неустойчивой.

При решении задачи повышения запаса устойчивости проектируемой системы регулирования, прежде всего, необходимо попытаться рациональным образом изменить ее параметры (коэффициенты передачи отдельных звеньев, постоянные времени и т. п.) так, чтобы удовлетворить требованиям качества регулирования, которые определяются критериями качества.

При невозможности решить эту задачу в рамках имеющейся системы приходится идти на изменение ее структуры. Для этой цели обычно используется введение в систему регулирования так называемых корректирующих средств, которые должны изменить динамику всей системы в нужном направлении.

К корректирующим средствам относятся, в частности, корректирующие звенья, представляющие собой динамические звенья с определенными передаточными функциями.

В тех случаях, когда корректирующие звенья используются именно для получения устойчивости системы регулирования или для повышения ее запаса устойчивости, они называются иногда демпфирующими или стабилизирующими звеньями. При этом имеется в виду, что звенья демпфируют колебания, которые возникают в системе регулирования. Термин «корректирующие звенья» является более широким и используется для звеньев, которые вводятся в систему для изменения статических и динамических свойств с различными целями.

Получение требуемого быстродействия обычно обеспечивается при проектировании системы регулирования посредством выбора соответствующих элементов цепи регулирования (исполнительных органов, усилителей, серводвигателей и т. п.). Однако возможно улучшение быстродействия системы посредством использования корректирующих средств.

До сих пор поведение систем автоматического регулирования исследовалось при определенных, заданных во времени задающих и возмущающих воздействиях (ступенчатая функция, импульсная функция, гармоническое воздействие и т. д.)

Однако во многих случаях характер воздействия бывает таким, что его нельзя считать определенной функцией времени. Оно может принимать с течением времени самые разнообразные случайные значения. В таких случаях можем оценить только вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени.

Это происходит не потому, что оно неизвестно заранее, а потому, что сама природа реального задающего или возмущающего воздействия такова, что величина его в каждый момент времени, и процесс его изменения с течением времени, зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом могут комбинироваться друг с другом, появляться одновременно, или с любым сдвигом во времени и т. д.

Следящие системы — это системы, на вход которых попадают вместе с полезным сигналом, помехи. Например, в радиолокационной системе сопровождения отраженный от цели сигнал содержит в себе помехи в виде многочисленных флуктуации, происходящих от вибраций и поворотов цели, замирания сигнала и т. п.

Аналогичные помехи случайной природы имеют место в других автоматических устройствах.

В следящих системах не только возмущающие воздействия и помехи являются случайными, но и сам полезный сигнал, который должен воспроизводиться (задающее воздействие), как правило, носит случайный характер.

Система автоматического регулирования, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением, называется нелинейной.

Перечислим виды нелинейных звеньев:

звено релейного типа;

звено с кусочно-линейной характеристикой;

звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

звено, уравнение которого содержит произведение переменных, их производных и другие их комбинации;

нелинейное звено с запаздыванием;

нелинейное импульсное звено;

логическое звено;

звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в том числе переменная структура.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые — в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейных систем состоит, в следующем. Сначала, производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейных звеньев (чаще всего одного-двух).

Затем составляются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате получается система обыкновенных линейных уравнений, к которым добавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим, обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случае одного нелинейного звена, можно представить в виде, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п.). В случае двух нелинейных звеньев могут быть разные комбинации, в зависимости от того, в какие цепи системы они входят.

Часто при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования удается выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами и может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда, не удается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости.

Процессы в нелинейных системах автоматического регулирования имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах. Благодаря этим существенным особенностям, даже вопрос об устойчивости системы становится здесь более сложным.

Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение здесь, в отличие от линейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса — автоколебания, т. е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий.

Когда в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению регулируемой величины, часто становится невозможным. Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше:

область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины;

область устойчивых автоколебаний;

область неустойчивости системы;

3) области, соответствующие другим, более сложным случаям. Если процессы в системе имеют вышеуказанный, то равновесное состояние неустойчиво. В том случае, когда колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.

Разрабатываемая система должна удовлетворять следующим требованиям:

1. интерфейс пользователя должен быть прост в обращении, и представлять собой диалоговую многоуровневую систему в виде вопрос-ответ;

2. программная оболочка должна обеспечивать выполнение следующих функций:

доступ к текстовым файлам, содержащих справочные материалы;

графическое отображение структурных схем и формул исследуемой системы;

выполнение программ, реализующих различные методы исследования нелинейных систем;

вывод результатов расчетов в виде графиков и таблиц;

3. система должна быть открытой для дополнения ее другими методами расчета и видами представления результатов эксперимента.

С учетом изложенных требований необходимо выбрать инструментальные средства, которые позволят решить поставленную задачу.

Предполагается функционирование разрабатываемой системы под управлением MS-DOS. Подготовка графических файлов требует наличие графического редактора, как правило, работающего в среде WINDOWS, как, например, редактор PAINT BRUSH.

Для создания текстовых файлов справочников и исходных текстов программ можно использовать любой редактор, работающий в MS-DOS, например: EDIT или MULTY EDIT. Для разработки программного обеспечения удобно использовать язык высокого уровня PASCAL, так как он имеет средства для графического режима отображения информации и средства для быстрого построения оболочек TURBO-VISION.

Для демонстрации графических файлов необходимо использовать средства визуализации их типа VIEWER. Конфигурация инструментальных средств для решения поставленной задачи приведена на рисунках.

Всю работу над дипломным проектом разделили на пять основных этапов.

этап. Разработка математической модели и структурных схем, исследуемых объектов.

этап. Исследование объектов аналитическими методами.

этап. Разработка алгоритмического программного обеспечения АИС.

этап. Исследование объектов методом математического машинного моделирования на ПЭВМ.

5 этап. Сравнение результатов математического и машинного моделирования и подтверждение эффективности разработанного АИС.

На первом этапе разрабатываются как подробные математические модели и структурные схемы, в частности, электромеханического привода, так и частичные случаи, например:

отсутствие обратной связи по скорости:

отсутствие релейного усилителя;

отсутствие инерционности цепи якоря электропривода;

управление двигателя по цепи обмотки возбуждения и управления двигателем по цепи якоря.

На втором этапе аналитическими методами (алгебраическими и частотными) исследуются устойчивость системы и определяются возможности автоколебаний в системе и их параметры.

На третьем этапе разрабатывается алгоритмическое и программное обеспечение АИС с использованием выше перечисленных инструментальных средств операционной системы ПЭВМ.

На четвертом и пятом этапах проверяется эффективность разрабатываемой ЭВМ путем сравнения результатов, полученных при аналитическом и машинном исследованиях.

1. Математическая модель следящей системы

нелинейный следящий автоматизированный Структурная схема электромеханической следящей системы на базе электропривода постоянного тока приведена на рис 1.1.

Рис. 1.1

На схеме обозначены:

V₁ и V₂ — углы поворота командной и исполнительной оси;

V₁=V₁-V₂ — рассогласование (ошибка);

ЧЭ — чувствительный элемент (датчик угла рассогласования);

У — усилитель и его статическая характеристика;

РУ — релейный усилитель;

Д — двигатель;

Р — редуктор;

ТГ — тахогенератор;

РМ — рабочий механизм (объект управления);

Статическая характеристика релейного усилителя показана на рис. 1.2

Рис. 1.2

По данной структурной схеме составим дифференциальные уравнения звеньев системы.

1. Уравнение чувствительного элемента

U₁=K₁V, (1.1)

V=V₁-V₂,

Где U₁ — напряжение на выходе чувствительного элемента.

2. Уравнение линейного усилителя в операторной форме.

(T₁p+)U₂=K₂U, (1.2)

U=U₁-U_ТГ,

Где U₂ — напряжение на выходе усилителя, U_ТГ — напряжение тахогенератора,

— оператор Лапласа Статическая характеристика усилителя с учетом насыщения представлена на рис 1.3.

Рис. 1.3

3. Уравнение релейного усилителя записывается в следующем виде:

U₃=F (U₂) (1.3),

где U₃ — напряжение на выходе усилителя (У);

F (U₂) — нелинейная функция, заданная статической характеристикой (см. рис. 1.2).

4. Уравнение исполнительного двигателя.

Составим обобщенное дифференциальное уравнение движения постоянного тока, управляемого по цепям якоря обмотки возбуждения.

За входные величины принять напряжение цепи якоря U_Я и обмотки возбуждения U_В и момент нагрузки на валу двигателя M_Н=М_Н(t), за выходную — угловую скорость якоря двигателя .

Насыщением магнитных цепей и реакцией якоря можно пренебречь.

Двигатель работает в системе стабилизации частоты вращения. Составим уравнение равновесия напряжения:

(1.4)

и цепи якоря

(1.5)

а также уравнение равновесия моментов

(1.6)

Индексами «В» и «Я» отмечены параметры — индуктивность L, активное сопротивление R и переменные напряжения U, ток i возбуждения и якоря.

Электромагнитный момент двигателя М и ЭДС якоря имеют вид:

(1.7)

(1.8)

где d_E, d_M — постоянные коэффициенты;

M_H, J — момент нагрузки и момент инерции, приведенные к валу двигателя.

Уравнения цепи якоря и уравнения равновесия моментов (1.7) и (1.8) — нелинейные, так как в них входят произведения переменных величин i_Я, i_B и i_B.

Линеаризуем выражения для M и разложением их в ряд Тейлора с учетом лишь линейных составляющих ряда.

В результате получим соотношения для малых приращений:

??+?, (1.9)

?л=?Щ+?, (1.10)

Здесь и далее верхним индексом «0» обозначаются установившиеся значения переменных, относительно которых изменяются их приращения. После подстановки? M и? л в уравнение цепи якоря (1.5) и уравнение равновесия моментов (1.6) получим уравнение в малых приращениях (знак приращения? отбросим).

(1.11)

(1.12)

Найдем из выше написанного уравнения (1.7) ток .

Подставим его в уравнение (1.11) и после преобразования получим где

,

,

,

;

Определим коэффициенты и .

В режиме короткого замыкания (Щ = 0) при и ,

=, ,

где — пусковой момент,

— ток короткого замыкания цепи якоря.

Тогда из уравнения цепи якоря получим С другой стороны из уравнения

и

Получим следующее выражение уравнения для пускового момента

Подставив в уравнение (1.4) и сделав соответствующие преобразования, окончательно получим следующее:

(1.14)

где ;

; ;

;

; ;

;

;

Далее из обобщенного дифференциального уравнения двигателя постоянного тока (1.14) получим частотные уравнения для следующих случаев:

1) управление двигателем по цепи обмотки возбуждения, когда, где — напряжение сети;

2) то же, но при

3) управление двигателем по цепи якоря, когда ;

4) то же, но при ;

Рассмотрим эти случаи:

1) В этом случае приращение, ?, тогда и обобщенное уравнение движения принимает вид:

(1.15)

2) Если, то, =0 И уравнение (1.15) упрощается и имеет вид:

,

;

Коэффициенты и определены в формуле (1.14)

Механические характеристики при этом имеют вид, показанный на рис. 1.4.

a) б)

Рис. 1.4

Из этого видно, что коэффициент наклона механических характеристик г=const при =var.

Дифференциальное уравнение движения и передаточная функция двигателя с независимым возбуждением, управляемого по цепи якоря относительно угла поворота вала л при =0 имеет вид:

Передаточные функции двигателя постоянного тока с независимым возбуждением выражены в уравнении

(1.16)

Коэффициенты уравнений (1.15) и (1.16) определены в формуле (1.14). Механические характеристики при этом имеют вид как показано на рисунке (1.3).

3) В этом случае приращение? и обобщенное уравнение движения принимает вид

(1.17)

4) Если, то и уравнение (1.17) упрощается

(1.18),

а коэффициенты уравнений принимают следующий вид:

то цепи якоря, если пренебречь электромагнитными процессами цепи якоря, имеют вид:

;

5) Уравнение тахогенератора имеет вид

6) Уравнение редуктора

где — коэффициент передачи редуктора.

Полученные дифференциальные уравнения представляют собой математическую модель электропривода (следящей системы). В дальнейшем для проверки методик исследования нелинейных систем мы будем пользоваться этой моделью с учетом некоторых ограничений.

Например, можно пренебречь влиянием статического момента нагрузки и переходного процесса в цепи якоря, тогда структурная схема следящей системы может быть представлена в виде той, которая приведена на рис 1.5

Рис. 1.5

Согласно этой схеме дифференциальное уравнение линейной части системы, записанное относительно входной величины нелинейного звена релейного усилителя U₂, имеет следующий вид:

(1.19)

Уравнение линейной части дополняется уравнениями нелинейных звеньев. Уравнения имеют вид:

U₂=F₁(U), U₃=F₂(U₂).

2. Исследование нелинейной следящей системы аналитическими

методами

Найдем область устойчивого состояния равновесия и область автоколебаний, и определим амплитуду и частоту автоколебаний для следящей системы, схема которой изображена на рис 1.2 при учете нелинейности типа насыщения в предварительном усилителе и отсутствии релейного усилителя и обратной связи по напряжению тахогенератора.

Исходные данные:

Т ₁=0,1 с — постоянная времени усилителя;

Т₂=1 с — электромеханическая постоянная времени двигателя;

К_л=20 с^-1 — общий коэффициент передачи линейной части системы;

К₁=50 В/рад — коэффициент передачи чувствительного элемента. Исследование проведем для к₂=1 и к₂=2;

Составляем структурную схему с учетом допущений рис. 1.6.

Рис. 1.6

Согласно этой схеме дифференциальное уравнение линейной части системы при V₁(t)=0 запишется в следующем виде:

(T₂p+1)pU₁=-k_ЛU₂ (1.20)

где k_Л=k₁k₃k₅

Дифференциальное уравнение нелинейного звена имеет вид:

(T₁p+1)U₂=k_yU₁ (1.21)

Коэффициент усиления усилителя k_y является нелинейной функцией, заданной графически (рис. 1.5).

Поэтому согласно методу гармонической линеаризации, запишем для него гармонически линеаризованное выражение

(1.22)

где коэффициенты гармонической линеаризации для характеристики с насыщением имеют значение:

(1.23)

Из уравнений (1.21) — (1.23) получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы

[(T₁p+1)(T₂p+1)p+k_Лq (a)]U₁= 0, (1.24)

которому соответствует характеристическое уравнение. Оно имеет вид:

T₁T₂p³+(T₁+T₂)p²+p+k_Лq (a)=0 (1.25)

Для отыскания условий существования периодического решения

(1.26)

из характеристического полинома после подстановки p=j выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:

(1.27)

Частота периодического решения находится из второго уравнения (1.27)

(1.28)

Из первого уравнения (1.27), с учетом (1.28), получим формулу, связывающую амплитуду периодического решения с параметрами системы

(1.29)

Для исследования устойчивости периодического решения найдем частные производные от выражений

(1.30)

Для устойчивости периодического решения (1.26) требуется, чтобы выполнялось следующее неравенство

(1.31)

или с учетом выражений

(1.32)

то есть частная производная должна быть отрицательной.

Для определения знака этой производной по выражению (1.23) построим график q (A) рис 1.7 согласно которому

dq(A) dA

<0 при А>b (1.33)

Следовательно, амплитуда периодического решения (1.27) будет амплитудой автоколебаний лишь при выполнении следующего условия, когда А>b

При А

Определим амплитуду автоколебаний. Уравнение (1.29), связывающее ее с параметрами системы, является трансцендентным. Поэтому для определения амплитуды воспользуемся графоаналитическим методом. Для этого решим уравнение (1.29) относительно следующего равенства k = k_Лk₂:

(1.34)

и построим график, в котором k = k(A) рис. 1.7,

Рис. 1.7

где A_v — является амплитудой колебаний относительно исполнительной оси системы (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Что касается частоты автоколебаний Q, то она остается неизменной для любой переменной системы и, согласно выражению (1.28), не зависит от коэффициента k.

Граничный коэффициент передачи системы k, p определяется из выражения (1.34) при следующем равенстве А=b и равен

(1.35)

Автоколебания в системе возникают лишь тогда, когда k>k_ГР.

Нетрудно убедиться, что граничный коэффициент (1.33) совпадает с коэффициентом передачи, найденным из условия границы устойчивости линейной системы. Но, в отличие от линейной системы, у которой за областью устойчивости лежит область неустойчивости, в системе с нелинейностью типа насыщения за областью устойчивости лежит область автоколебаний, т. е. устойчивых периодических колебаний с вполне определенной амплитудой и частотой.

На рис. 1.3 также изображены графики, связывающие амплитуду и частоту автоколебаний с шириной b зоны линейности статической характеристики нелинейного звена при равенстве К₂=1

Для заданных значений параметров системы по графику рис. 1.9

Рис. 1.9

определяем частоту и амплитуду автоколебаний:

Рассмотрим случай, когда в системе не учитывается нелинейность электронного усилителя. Исследуем устойчивость состояния электромеханической следящей системы, структурная схема которой, изображена на рис. 1.10 частотным методом определения автоколебаний.

Рис. 1.10

Пусть заданы следующие параметры линейных звеньев:

K₁=57,3 В/рад — крутизна статической характеристики чувствительного элемента;

к₂^:=2,5 — коэффициент усиления линейного усилителя;

к₃=5,7 — коэффициент передачи двигателя;

k₄=10^-2 В с/рад — крутизна статической характеристики тахогенератора;

k₅=0,001 — коэффициент передачи редуктора;

Т j =0,05 с — постоянная времени линейного усилителя; и статическая характеристика нелинейного звена (уравнение релейного усилителя) 1.11, для которой b=0,25 В

V_3max=c=110B

Рис. 1.11

По заданной структурной схеме определим передаточную функцию линейной части системы W_Л(p) и гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейного звена W_H(a).

Для этого структурную схему нелинейной системы представим в виде последовательного соединения нелинейного звена и линейной части системы рис. 1.10.

Согласно рис. 1.10 мы получим следующее:

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, имеющего однозначную статическую характеристику, может быть записана в следующем виде:

W_H(a)=q (a) (1.37)

Где

По передаточной функции (1.36) определим частотную передаточную функцию:

(1.38)

ее модуль:

(1.39)

и фазу:

(1.40)

По формуле (1.39) и (1.40) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы рис. 1.11 и годограф нелинейного звена.

(1.41)

при значениях амплитуд

В данном случае этот годограф совпадает с отрицательной вещественной полуосью и имеет две ветви.

Минимальное значение модуля функции — Z (a) равно следующему

Достигается при

Рис. 1.12

Как видно из рис. 1.12, годографы и -Z(a) не имеют общих точек пересечения.

Следовательно, состояние равновесия рассматриваемой системы устойчиво. Эту же систему рассмотрим, если статическая характеристика нелинейного звена имеет петлю гистерезиса рис. 1.12.

Согласно структурной схемы рис. 1.10 передаточная функция линейной части системы при исходных данных задачи равна: