Основные понятия математической логики
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называют логическими связками. Высказывания, образованные с помощью логических связок — называют составными высказываниями. Высказывания, не являющиеся составными, называют… Читать ещё >
Основные понятия математической логики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
математическая логика истина ложь Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними [4].
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно [4].
Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1, а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0.
Рассмотрим примеры логических высказываний (см. Таблицу 1) :
Таблица 1.
Примеры логических выражений.
Предложение. | Характеристика с точки зрения алгебры логики. |
Иваново — Родина Первого Совета. | Истинное логическое высказывание. |
За зимой наступит весна. | Истинное логическое высказывание. |
В городе Иваново проживают только граждане России. | Ложное логическое высказывание. |
После дождя всегда тепло. | Ложное логическое высказывание. |
После вторника будет выходной. | Не является логическим высказыванием, т. к. не известно, о каком человеке, каком месяце и дне идет речь (если у человека текущий график работы, возможно, что у него в среду будет выходной, в противном случае среда — рабочий день; если в среду будет праздничный день, например, 8 марта, то этот день также будет выходным). |
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называют логическими связками. Высказывания, образованные с помощью логических связок — называют составными высказываниями. Высказывания, не являющиеся составными, называют элементарными.
Для обозначения логических высказываний, им назначают имена. Например, если, А — высказывание «В четверг был дождь», В — высказывание «В пятницу было солнечно», то составное высказывание «В четверг был дождь, а в пятницу было солнечно», можно записать в виде: А и В.
Здесь А, В — логические высказывания (могут быть либо истинными, либо ложными), и — логическая связка.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (см. Таблицу 2) :
Таблица 2.
Логические связки.
№. | Логическая связка. | Название. | Обозна-чение. | Высказы-вание. | Математическая запись. |
и. | конъюнкция логическое умножение. | и, ? *, And. | A и В. | A и B, A? B. A * B, A And B. | |
или. | дизъюнкция логическое сложение. | и. +, Or. | A или В. | A и B. A + B, A Or B. | |
не. | инверсия, логическое отрицание. | ,. Not. | не А. | А, ,. Not A. | |
Если…то. | импликация, логическое следование. | >, ? | Если A, то В. | A > B. A? B. | |
тогда и только тогда. | эквивалентность, равносильность, логическое тождество. | и, ? ?, ? | А тогда и только тогда, когда В. | АиВ, А? В А? В, А? В. |
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
A > B = А и B (1).
Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
A и B = (А и B) и (B и А) (2).
Вычисление значения логического выражения производится слева направо в соответствии с таблицей истинности (см. Таблицу 3) и приоритетом выполнения логических операций (см. Таблицу 4). Порядок выполнения операций можно менять, используя круглые скобки.
Таблица 3.
Таблица истинности.
A. | B. | A и B. | A и B. | A. |
Таблица 4.
Приоритет выполнения логических операций.
Приоритет операции. | Логическая операция. |
Первый (высший). | Логическое отрицание. |
Второй. | Конъюнкция (логическое умножение). |
Третий. | Дизъюнкция (логическое сложение). |
Четвертый. | Импликация (следование). |
Пятый (низший). | Эквивалентность (равносильность). |