Проведение экспериментов с математическими моделями и анализ результатов моделирования

Эффективность использования экспериментальных ресурсов существенным образом зависит от выбора плана эксперимента. Причины этого две:

• · План эксперимента в значительной степени определяет порядок статистического анализа его результатов;
• · Успешность разрешения с помощью эксперимента поставленных экспериментатором задач существенно зависит от его плана.

Итак, основная задача планирования машинных экспериментов — получение необходимой информации об исследуемой системе при ограничении на ресурсы. Наиболее распространенные задачи планирования: уменьшение затрат машинного времени на моделирование, увеличение точности и достоверности результатов моделирования, проверка адекватности модели и т. д.

Важное значение при планировании эксперимента имеют следующие обстоятельства:

• · простота повторения условий эксперимента с моделью на ПК;
• · возможность управления экспериментом, включая его прерывание и возобновление;
• · лёгкость варьирования условий;
• · наличие корреляции между последовательностью точек в моделировании.

Различают входные и выходные переменные. Переменная может быть фактором или реакцией в зависимости от её роли в эксперименте. Фактор является эндогенной (управляемой, входной) переменной, а реакция — эндогенной (выходной). Эксперимент — некоторая процедура организации и наблюдения каких-то явлений, которые осуществляются в условиях, близких к естественным, либо имитируют их. Различают пассивный эксперимент, когда исследователь наблюдает протекающий процесс, и активный, когда наблюдатель вмешивается и организует протекание.

Каждый фактор в эксперименте может принимать одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Этот набор представляет собой условие проведения одного из возможных экспериментов. Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством.

Эксперимент необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов, варьируя значения факторов, можно было построить адекватную математическую модель системы и оценить её характеристики. При планировании нужно определить основные свойства факторов, которые при проведении эксперимента могут быть управляемыми или неуправляемыми, наблюдаемыми или ненаблюдаемыми, изучаемыми или неизучаемыми.

Управляемый фактор — его уровни направленно выбираются в процессе эксперимента. Наблюдаемый фактор — если его значения наблюдаются и регистрируются, а экспериментатор заинтересован в исследовании влияния этого фактора. Наблюдаемые факторы должны совпадать с управляемыми. Наблюдаемые неуправляемые факторы — сопутствующие или вторичные.

Основные требования, предъявляемые к факторам: управляемость и требование непосредственного воздействия на модель. Если при моделировании изменяется несколько факторов, то появляются дополнительные требования совместимости и независимости. Совместимость — все возможные комбинации факторов осуществимы, независимость соответствует возможности установления фактора на уровень, независимо от уровней других факторов.

При проведении эксперимента для оценки характеристик экспериментатор старается создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной зависимости с искомой характеристикой. Для этого необходимо:

• · Отобрать факторы, влияющие на характеристику и описать функциональную зависимость;
• · Установить диапазон изменения каждого фактора;
• · Определить координаты точек факторного пространства, в которых следует проводить эксперимент;
• · Оценить необходимое число реализаций и их порядок.

Эксперимент, в котором реализуются все сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Для уменьшения числа комбинаций используется дробный факторный эксперимент, позволяющий вдвое сократить количество экспериментов. Если при эксперименте не исследуется взаимное влияние всех факторов, то проводят частичный факторный эксперимент. К частичным относятся планы «латинский квадрат», рандомизированный план и другие.

При стратегическом планировании эксперимента ставится задача построения оптимального плана эксперимента для достижения цели моделирования. Тактическое планирование преследует частные цели оптимальной реализации каждого конкретного эксперимента из множества необходимых, заданных при стратегическом планировании.

Проблемы стратегического планирования:

• § Построение плана машинного эксперимента;
• § Наличие большого количества факторов;
• § Многокомпонентная функция реакции;
• § Стохастическая сходимость результатов машинного эксперимента;
• § Ограниченность машинных ресурсов на проведение эксперимента.

Проблемы тактического планирования:

• § Определение начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании;
• § Обеспечение точности и достоверности результатов моделирования;
• § Уменьшение дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем;
• § Выбор правил автоматической остановки имитационного эксперимента.

Анализ результатов моделирования. Различают корреляционный и дисперсионный анализ. Основной задачей корреляционного анализа является оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе связи. Не все факторы, влияющие на процессы, являются случайными, поэтому при анализе обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод статистики, изучающий их — регрессионный анализ. Корреляционный анализ — оценка уравнения регрессии. Корреляция — статистическая зависимость между СВ, не имеющими строгого функционального характера, при которой изменение одной СВ приводит к изменению математического ожидания другой. Различают парную, частную и множественную корреляцию. Парная регрессия: связь между двумя признаками. Частная регрессия: зависимость между результатом и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков. Множественная регрессия: зависимость результатов от двух и более факторных признаков.

Регрессия исследует форму зависимости. Преимущество регрессионного анализа: возможность построения модели, в которой зависимость отклика аналитически определяется как функция от нескольких независимых переменных.