Расчет прямой балки на прочность и жесткость. 
Построение эпюр

Задание 1. Геометрические характеристики плоских сечений

Цель работы: Развитие навыков самостоятельного расчета геометрических характеристик, закрепление знаний основных теоретических зависимостей между геометрическими характеристиками плоских сечений.

Задача 1

Для данного плоского сечения с одной осью симметрии определить:

— положение центра тяжести сечения;

— положение главных центральных осей;

— главные центральные моменты инерции.

Дано:

Сечение согласно рисунку 1,

1. Вычерчиваем заданное сечение в масштабе, с указанными размерами, выбираем вспомогательные оси координат z, y, параллельные сторонам сечения.

2. Наносим на чертеж центры тяжести каждой простой фигуры и определяем их координаты относительно выбранной системы координат; i=1, 2,…, n.

3. Определяем в выбранной системе координат z, y положение центра тяжести с составного сечения:

4. наносим на чертеж центр тяжести С и центральные оси составного сечения с началом в центре тяжести С.

5. Определяем для каждой простой фигуры осевые моменты инерции .

6. Находим осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно его центральных осей .

Задача 2

Для заданного плоского несимметричного сечения, составленного из двух прокатных профилей, определить:

— положение центра тяжести сечения,

— положение главных центральных осей,

— главные центральные моменты инерции.

Дано:

Сечение профилей согласно рисунку 3,

Данные сечения профиля 1 и 2 согласно таблице 1:

Таблица 1

1. Вычерчиваем заданное сечение в масштабе, указываем размеры, выбираем вспомогательные оси координат z, y, параллельные сторонам сечения.

2. Наносим на чертеж центры тяжести каждой простой фигуры и определяем их координаты относительно выбранной системы координат ;

3. Определяем в выбранной системе координат z, y положение центра тяжести составного сечения:

4. Определяем для каждой простой фигуры осевые моменты инерции и центробежный момент инерции относительно центральных осей фигуры по таблицам ГОСТов моментов инерции прокатных профилей.

5. Находим осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно его центральных осей.

6. Находим положение главных центральных осей составного сечения и наносим их на чертеж.

7. Определяем главные центральные моменты инерции составного сечения .

Проверяем правильность вычисления:

а) 1047,19+5783,25 = 5571,94+1258,5

6830,44 = 6830,44

б)

Задание 2. Внутренние силовые факторы

Задача 1

Для стержня построить эпюры продольных сил Дано:

1. Находим реакцию заделки NА

— N_A+F₃+F₂+F₁+q•0,6; N_A =12+20+50+30•0,6=100кН

2. Разбиваем стержень на участки Сечение I-I (л.ч.) 0? x?0,3

— N_A+N_x1=0; N_x1=100кН Сечение II-II (л.ч.) 0? x?0,6

— N_A+ F₃+q•x+ N_x2=0

При х=0, N_x2=N_A— F₃=100−12=88кН х=0,6, N_x2= N_A— F₃-0,6q=100−12−18=70кН Сечение III-III (п.ч.) 0? x?0,6

N_x3— F₂-F₁=0, N_x3= F₂+F₁=20+50=70кН Сечение IV-IV (п.ч.) 0? x?0,3

N_x4-F₁=0, N_x4= F₁=50кН

Задача 2

Для вала построить эпюры крутящих моментов Дано:

1. Находим М0

2. Разбиваем вал на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0? x?0,6

Сечение II-II (л.ч.) 0? x?0,3

Сечение III-III (л.ч.) 0? x?0,3

Сечение IV-IV (л.ч.) 0? x?0,6

Задача 7

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки Дано:

1. Опоры заменяем соответствующими реакциями, и находим их.

2. Разбиваем балку на участки Сечение I-I (л.ч.) 0? x?1,5

Сечение II-II (л.ч.) 0? x?1,5

Задача 3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки Дано:

1. Находим реакции заделки.

2. Разбиваем балку на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0? x?3

Задача 4

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки Дано:

1. Опоры заменяем соответствующими реакциями, и находим их.

2. Разбиваем балку на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0? x?2,3

При х=0:

Сечение II-II (л.ч.) 0? x?1

Задача 5

Построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, для рамы Дано:

1. Находим реакции опор.

1. Разбиваем раму на участки Сечение I-I (п.ч.) 0? x?0,8

Сечение II-II (п.ч.) 0? x?1,5

Сечение III-III (л.ч.) 0? x?2,2

Сечение IV-IV (л.ч.) 0? x?1,5

Проверяем равновесие узлов Узел С:

Узел D:

Задача 6

Построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, для рамы Дано:

2. Находим реакции опор балка сечение прочность жесткость

1. Разбиваем раму на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0? x?2,3

Сечение II-II (л.ч.) 0? x?1

Сечение III-III (п.ч.) 0? x1,1

Сечение IV-IV (п.ч.) 0? x?1,1

Проверяем равновесие узлов Узел С:

Задание 3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении — сжатии прямого стержня

Задача 1

Для стержня

— построить эпюры продольной силы N, нормальных напряжений у, перемещение поперечных сечений u.

— определить площадь поперечного сечения стержня из условия прочности.

Дано:

[у] = 160 МПа, Е= МПа

1. Находим реакцию заделки NА.

— NAF1+F2+q•0,5=0; NA= -F1+F2+q•0,5=-50+25+25=0кН

2. Разбиваем стержень на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0? x?0,5

— NA+Nx1; Nx1= NA=0кН Сечение II-II (л.ч.) 0? x?0,5

— NA+q•x+Nx2=0; Nx2= NA-q•x; Nx2/x=0=0кН; Nx2/x=0,5=-25кН Сечение III-III (п.ч.) 0? x?0,5

Nx3+F1=0; Nx3=-50кН

[у] = 160 МПа, уmax=50/A МПа

3. Перемещение поперечных сечений

; ;

;

;;

;

; ;

Задача 2

Для стального стержня ступенчатого стержня (Е=2•10⁵МПа) круглого сечения, жестко закреплённого одним концом и нагруженного сосредоточенными силами, требуется:

— Определить реакцию заделки;

— построить эпюры продольной силы N, нормальных напряжений у, перемещение поперечных сечений u;

— определить общее удлинение (укорочение) стержня;

— определить прочность стержня, [?]=160МПа;

— дать характеристику напряженного состояния.

Дано:

[у] = 160 МПа, Е= МПа.

1. Находим реакцию заделки N_А.

— N_A +F₁+F₂+F₃=0; N_A= F₁+F₂-F₃=11+11−16,5=5,5кН

2. Разбиваем стержень на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0? x?0,13

— N_A+N_x1; N_x1= N_A=5,5кН Сечение II-II (л.ч.) 0? x?0,2

— N_A +N_x2+F₁=0; N_x2= N_A— F₁; N_x2=-5,5кН;

Сечение III-III (п.ч.) 0? x?0,6

N_x3+F₃=0; N_x3=-16,5кН

[у] = 160 МПа, у₁=5,5•10³/2,2•10^-4=25 МПа у₂=-5,5•10³/2,2•10^-4=-25 МПа у3=16,5?10³/4,4•10^-4=-37,5 МПа Перемещение поперечных сечений.

;

;

;

;

;

Задача 3

Для стержневой системы требуется:

— найти внутренние усилия в стержнях 1 и 2 и построить эпюры продольных сил N;

— определить площади поперечных сечений стержней 1 и 2 из условия прочности, найти размеры d, а;

— найти перемещение точки В.

1) Определяем внутренние усилия в стержнях 1 и 2:

N_x1-F•sin60?=0> N_x1=F•sin60?=20•0,866=17,32кН

N_x2-F•cos60?=0> N_x2=-F•cos60?=-20•0,5=-10кН

2) Определяем площадь поперечного сечения стержней 1 и 2 из условия прочности, находим размеры d, a.

[?]?N_x1/A> A₁= N_x1/[?]=17,32•10³/140•10⁶=1,24 см²

[?]?N_x2/A> A₂= N_x2/[?]=10•10³/140•10⁶=0,7 см²

А₁=р?d²/4> d=v4A/р=1,26 см А₂=а² > а=vА=0,84 см

3) Определяем перемещение точки В:

?l₁= N_x1•x/A•E=17,32•1,1•10³/0,8•10¹¹•1,24•10^-4=19,21•10^-4м

?l₂= N_x2•x/A•E=-10•0,64•10³/0,8•10¹¹•0,7•10^-4=-11,42•10^-4м

Задание 4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении прямого вала

Цель работы: усвоение методики расчета на прочность и жесткость прямых стержней (валов) при кручении

Задача 1

Для вала, требуется:

— найти момент М₀;

— построить эпюры крутящего момента и максимальных касательных напряжений;

— определить из условия прочности диаметр вала;

— найти углы закручивания на участках вала и полный угол закручивания вала. Построить эпюру углов закручивания по длине вала.

Данные: a = 0,2 м;

М₁ = 400Н•м; М₂ = 320Н•м; М₃ = 320Н•м; М₄ = 0Н•м;

[ф] = 25МПа; G = 8•10⁴ МПа.

Схема вала:

Ход работы.

1. Составить уравнение равновесия внешних моментов относительно оси вала и найти момент заделки:

?М =0: — М_а — М₁ + М₂ + М₃ — М₄ = 0;

М_а = -400 + 320 + 320=240Н•м.

М_а =240Н•м

2. Разбить вал на участки и методом сечений определить крутящий момент и касательные напряжения на каждом участке:

где j — номер участка;

М_i — внешние моменты, приложенные к отсеченной части вала.

· Сечение I — I (в. ч.) (0? x₁? 0,2)

М_кр1¦₀ = М_кр1¦_0,2 =240 Н•м;

ф₁¦₀ = ф ₁¦_0,2 = М₁/W_p= 240/W_p

· Сечение II — II (в. ч.) (0? x₂? 0,2)

М_кр2¦₀ = М_кр2¦_0,2 = М₁-М₂ = 80 Н•м;

ф ₂¦₀ = ф ₂¦_0,2 = 80/W_p

· Сечение III — III (в. ч.) (0? x₃? 0,8)

М_кр3¦₀ = М_кр3¦_0,4 = М₁-М₂-М₃= -1,5 + 1,5= 0 кН•м;

ф ₃¦₀ = ф ₃¦_0,8 = 0/W_p

· Сечение IV — IV (в. ч.) (0? x₄? 0,8)

М₄¦₀ = М₄¦_0,8 = - М_a — М₁ + М₂+ М₃= 400−320−320 = -240 Н•м;

ф ₄¦₀ = ф ₄¦_1.2 = -240/W_p.

Эпюра касательных напряжений:

3. Построить эпюры крутящих моментов и наибольших касательных напряжений. Найти опасное сечение вала из условия прочности:

ф _max = M_{k max} / W_p? [ф],

отсюда

W_p? M_{k max} /[ф] = 400 / 25 ?10⁶ = 16•10^-6 м³ =16см³

W_p = рd³/16 — момент сопротивления сечения при кручении, для круглого сечения, следовательно Подбираем ближайший диаметр — d_пр=50мм.

W_p = 3,14•(5)³ / 16 = 24,5cм³ = 24,5•10^-6 м³

Определяем на каждом участке касательные напряжения:

ф₁¦₀ = ф ₁¦_0,2 = 400/24,5•10^-6 = 16,32МПа;

ф ₂¦₀ = ф ₂¦_0,2 = 80/24,5•10^-6 =3,2МПа;

ф ₃¦₀ = ф ₃¦_0,4 = -240/24,5•10^-6=9,8МПа;

4. Определить угол закручивания на каждом участке по формуле:

где М_kj — крутящие моменты на участках;

l_j — длина участков;

G — модуль сдвига, G = 8•10⁴ МПа;

J_p — момент инерции при кручении

J_p = р? d⁴/32 = 3,14•0,05⁴ / 32 = 6,13•10^-7м³

· сечение I-I (л. ч.) (0? l₁? 0,4)

· сечение II-II (л. ч.) (0? l₂? 0,2)

· сечение Ш-III (л. ч.) (0? l₃? 0,2)

Задание 5. Расчеты на прочность и определение перемещений балок при изгибе

Цель работы — усвоение методики расчета на прочность балок при прямом изгибе.

Задача 1

Для балки требуется:

— построить эпюру поперечной силы и изгибающего моментов;

— из условия прочности определить размеры прямоугольного и двутаврового сечений балки и сравнить балки с этими сечениями по расходу материала;

— определить наибольшие касательные напряжения в обоих сечениях балки, проверить выполнения прочности по касательным напряжениям;

— построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки.

Данные: F₁ = 24kH; F₂ = 8kH; h/b = 2,5;

M₁ = 12кН*м; M₂= 10kH*м;q=8kH/ м, а=1,4 м, в=2,6 м

[у] = 160МПа.,[ф]=0,5[у]

Схема балки:

Ход работы

1. Определить реакции опор:

?М_А = 0: -q•2,6•2,7+F•1,4-M+М_з = 0;

М_з = q•2,6•2,7-F•1.4+ М =56.16+ 10−33,6 = 32,56кН.

?y = 0: R_B -q•2,6+F= 0;

R_B =q•2,6-F= -3,2кН.

2. Разбить вал на участки, ось x совместить с продольной осью балки, а начало координат взять на левом конце балки. Составить аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента в продольном сечении на каждом участке:

· Сечение I — I (л. ч.) (0? x₁? 2.6)

Q_y = q• x₁;

Q₁¦₀ = q• 0= 0кН;

Q₁¦_2,6 = q• 2,6=20,8кН.

M_z = -Мq• x₁²/2;

М₁¦₀ = -10 кН•м М₁¦_1,0 = -10 — 8•2,6²/2 = -37,04 кН•м

· Сечение II — II (п. ч.) (0? x₂? 1,4)

Q_y = R_В;

Q₂¦₀ = Q₂¦_1,4 = 3,2 кН.

M_z = R_В•x₂;

М₂¦₀ = -М_з +R_В•x₂ =-М_з =32,56кН•м М₁¦_1,4 = -37,04 кН•м.

3. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента

4. По эпюре изгибающего момента найти опасные сечения, в котором возникает наибольший изгибающий момент M_{z max}. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить момент сопротивления поперечного сечения балки:

у _max = M_{z max} / W_p? [у],

отсюда

W_z? M_{z max} /[у] = 37,04•10³ / 160 •10⁶ = 0,23•10^-3 м³ =230см³

a) По найденному значению W_z находим размеры поперечного сечения:

W_z = b•h²/6,

где h=2,5b, отсюда W_z = b•(2,5b) ²/6 следовательно:

b = 6•10^-2м.

h = 2,5•b = 2,5•6•10^-2 = 15•10^-2м,

h = 15•10^-2м.

b) Подбираем по таблице номер стандартного двутаврового сечения:

номер двутавра — № 22, W_z = 230 см³.

с) Сравниваем балки с заданными сечениями по расходу материала:

площадь прямоугольника:

A₁ = h•b = 6•15•10^-2 = 98•10^-4 м² =90 см²,

площадь двутавра:

A₂ = 30,6 см²,

n = A₁/ A₂ = 90 / 30,6 = 2.9

Двутавр экономичнее прямоугольного сечения в 2,9 раз.

5. Определить наибольшее касательное напряжение в точках поперечного сечения, лежащих на нейтральной линии.

а) касательное напряжение прямоугольника:

где Q_y — наибольшая поперечная сила, определяемая по эпюре поперечных сил, Q_y = 20,8•10³ кН.

А — площадь прямоугольника, A₁=90•10^-4 м².

b) касательное напряжение двутавра:

где Q_y — наибольшая поперечная сила, определяемая по эпюре поперечных сил,

Q_y = 20,8•10³ кН,

S_z^отс— статический момент полусечения, S_z^отс = 131 см³,

J_z — осевой момент инерции, J_z = 2550 см⁴ =2790•10^-8м,

b_y — ширина поперечного сечения по нейтральной линии,

b_y = 5.4мм = 5.4•10^-3м

[у] = 160МПа, [ф] = 80МПа, ф^max = 3,5МПа? 80МПа ф^max = 19,8МПа? 80МПа Прочность по касательным напряжениям обеспечено.

6. Построить эпюры у и ф в опасном сечениях.

Все сечения 2 участка равноопасны:

М_z^max = -37,04кН•м = -37,04•10³Н•м,

Q_y^max = 20,8кН•м = 20,8•10³Н.

Для прямоугольника:

Для двутавра:

Ответ: b = 6•10^-2м, h = 15•10^-2м, № 22, ф^max = 3,5МПа, ф^max = 19,8МПа.

Задача 2

Для балки требуется:

— построить эпюру поперечной силы и изгибающего момента;

— определить из условия прочности размеры поперечного квадратного сечения балки;

— определить прогибы и углы поворотов сечений D или C.

Данные: M = 5кН*м; q=8kH/ м, а=1,6 м, в=2,4 м

[у] = 180МПа.

k = 1,5; q = 2кН/м;

l = 1,2 м; [у] = 160МПа; Е = 2,0•10⁵МПа.

Схема балки:

Ход работы

1. Определить реакции опор:

?М_а = 0: -R_B•4 -M+q•2,4•2,8 = 0;

R_B = (-M+q•2,4•2,8)/ 4= 12,19 кНм.

?y = 0: R_B +R_A -q•2,4= 0;

R_A = -R_B +q•2,4 = -12,19 + 8•2,4= 7,01кН

2. Разбить вал на участки, ось x совместить с продольной осью балки, а начало координат взять на левом конце балки. Составить аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента в продольном сечении на каждом участке:

· Сечение I — I (л. ч.) (0? x₁? 1,6)

Q_y = R_A;

Q₁¦₀ = Q₁¦_1.6 = R_A = 7,01кН;

M_z = F•x₁

М₁¦₀ = 0 кН•м М₁¦_1,6 = 7,01•1,6 = 11,2кН•м

· Сечение II — II (л. ч.) (0? x₂? 2,4)

Q_y = -R_B+q•x₂;

Q₂¦₀ =-R_B=-12,19

Q₂¦_2,4 =7,01 кН;

M_z =R_B• x₂-q•x₂• x₂/2;

М₂¦₀ = 0 кН;

М₂¦_2,4 = R_B• x₂-q•x₂• x₂/2= 2,4•12,19- 8•2,4²/2= 6,2 кНм

2. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

4. Из условия прочности находим размер поперечного сечения:

у _max = M_{z max} / W_z? [у],

отсюда

W_z? M_{z max} /[у] = 11,2?10³ / 180 •10⁶ = 62•10^-6 м³ =62см³

По найденному значению W_z находим размеры поперечного сечения:

W_z = a³/6,

a = 7,2cм.

Ответ: a = 7,2cм.

Задача 3

Балка изготовлена из материала, у которого [?_р]=[?_с]х. Требуется:

— построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента;

— из условия прочности по нормальным напряжениям найти размер, а заданного сечения балки и определить высоту h и ширину b сечения, расположить сечение относительно нагрузки рационально с учетом условия экономичного использования материала;

— построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасных сечениях.