Расчет системы передачи сообщений

Содержание Обозначения и сокращения Введение

1. Задание и исходные данные на курсовой проект

2. Источник сообщения

3. Дискретизатор

4. Кодер

5. Модулятор

6. Канал связи

7. Демодулятор

8. Декодер

9. Фильтр-восстановитель Заключение Список использованных источников

Обозначения и сокращения

АЧХ — амплитудно-частотная характеристика;

ИХ — импульсная характеристика;

МО — математическое ожидание;

СКО — среднеквадратическое отклонение;

СП — случайный процесс;

ФВЧ — фильтр верхних частот;

ФНЧ — фильтр нижних частот;

ФЧХ — фазо-частотная характеристика;

ЧМ — частотная модуляция;

ЭВМ — электронная вычислительная машина — комплекс технических средств, где основные функциональные элементы (логические, запоминающие, индикационные и др.) выполнены на электронных элементах;

CD — Compact Disc — компакт диск; оптический носитель информации в виде пластикового диска с отверстием в центре;

DVD — Digital Versatile Disc — цифровой многоцелевой диск;

DCS — Digital Communication System — системы цифровой связи.

Введение

Цифровая обработка сигналов как направление развития науки зародилась в 1950;х годах и поначалу представляла собой довольно экзотическую отрасль радиоэлектроники, практическая ценность которой была далеко не очевидной. Однако за прошедшие пятьдесят лет благодаря успехам микроэлектроники системы цифровой обработки сигналов не только воплотились в реальность, но и вошли в нашу повседневную жизнь в виде CDи DVD-проигрывателей, модемов, мобильных телефонов и многого другого. Более того, в некоторых прикладных областях цифровая обработка сигналов стала вытеснять «традиционную» (аналоговую). В значительной мере это произошло в аудиотехнике, интенсивно идет процесс перехода телевизионного вещания на цифровую основу.

Системы цифровой связи становятся все более привлекательным вследствие постоянно растущего спроса и из-за того, что цифровая передача предлагает возможности обработки информации, не доступные при использовании аналоговой передачи. Отличительной особенностью DCS является то, что за конечный промежуток времени они посылают сигнал, состоящий из конечного набора элементарных сигналов (в отличие от систем аналоговой связи, где сигнал состоит из бесконечного множества элементарных сигналов). В системах DCS задачей приемника является не точное воспроизведение переданного сигнала, а определение на основе искаженного шумами сигнала, какой именно сигнал из конечного набора был послан передатчиком. Важным критерием производительности системы DCS является вероятность ошибки.

Системы цифровой связи интенсивно развиваются вследствие следующих преимуществ:

— Высокая помехозащищенность и слабая зависимость качества передачи от длины линии связи в результате использования в канале связи регенеративных ретрансляторов, кроме того, наличие двух состояний принимаемого сигнала исключает накопление шумов и других возмущений. В аналоговых системах даже наличие небольших возмущений может привести к значительному искажению сигнала.

— Стабильность параметров каналов связи цифровых систем передачи, которая обеспечивается устранением эффектов ухудшения качества сигналов канале связи. Такое устранение или выравнивание выполняется устройствами компенсации или эквалайзерами, легко реализуемыми в цифровых системах связи.

— Эффективное использование пропускной способности каналов цифровых систем связи при передаче дискретных сообщений на основе применения временного или кодового разделения каналов.

— Высокие технико-экономические показатели из-за малых габаритов, массы, высокой надежности системы и, самое важное, цифровые системы могут производиться по более низким ценам.

Цель данной курсовой работы — расчет основных характеристик системы передачи сообщений, состоящей из источника сообщений, дискретизатора, кодирующего устройства, модулятора, линии связи, демодулятора, декодера и фильтра-восстановителя.

1. Задание и исходные данные на курсовую работу Рассчитать основные характеристики системы передачи сообщений, структурная схема которой имеет следующий вид (рисунок 1).

Рисунок 1 — Структурная система передачи сообщений: ИС — источник сообщения; Д — дискретизатор; К — кодер; М — модулятор; ЛС — линия связи; ДМ — демодулятор; ДК — декодер; Ф — фильтр-восстановитель Исходные данные для расчета Таблица 1 — Исходные данные для расчета системы передачи сообщения

2. Источник сообщения

Источник сообщений — это некий объект или система (подразумевается либо человек, либо ЭВМ, либо автоматическое устройство или что-либо другое), информацию о состоянии или поведении которого следует передать на определенное расстояние.

Информация, передаваемая от источника сообщений, является непредвиденной для получателя. Поэтому количественную меру передаваемой по системе связи информации в теории электрической связи выражают через вероятностные характеристики сигналов (сообщений). Сообщение — это форма представления информации. Сообщения могут иметь непрерывный или дискретный характер.

Дискретными называются сообщения, которые представляются последовательностью из конечного числа отдельных, резко различимых элементов, между которыми нет промежуточных значений, т. е. дискретная информация представляется в виде конечной совокупности символов (печатные тексты и документы, состояния цифровых автоматов и т. д.).

Сообщение называется непрерывным, если оно является непрерывной функцией времени (музыка, речь, изображения объемов, телеметрические данные). Непрерывные сообщения можно преобразовать в дискретные. Для передачи на расстояние сообщение преобразуется в сигнал.

Источник сообщений выдает сообщение a (t), представляющее собой непрерывный стационарный случайный процесс, мгновенные значения которого в интервале [a_min; a_max] распределены по заданному трапециевидному закону, а мощность сосредоточена в полосе частот от 0 до F_c.

Для источника сообщений требуется:

— Записать аналитическое выражение и построить график одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения a (t).

— Найти МО, дисперсию и СКО.

— Построить график случайного процесса и на графике обозначить максимальное и минимальное значения сигнала, МО и СКО.

Плотностью вероятности w (x) непрерывной случайной величины x называется производная ее функции распределения F (x) (1).

. (1)

Плотность вероятности, как и функция распределения F (x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

Трапециевидный закон распределения плотности вероятности задается системой вида (2):

. (2)

С учетом, что a_min= 0, система принимает вид (3):

. (3)

На рисунке 2 изображен трапециевидный закон распределения, отрезки которого, исходя из вышеуказанной системы, необходимо рассчитать.

Рисунок 2 — Трапециевидный закон распределения плотности вероятности

Зададим условие нормировки для плотности вероятности (4):

(4)

Формула для вычисления площади трапеции, заданной трапециевидным законом распределения плотности вероятности (5):

(5)

где H — высота трапеции;

R — длина верхнего основания трапеции;

a_max — длина нижнего основания трапеции.

С учетом условия нормировки и a_max =1,8 В получаем:

.

.

Для записи аналитического выражения закона распределения необходимо рассчитать функции (k₁a+b₁, Н, k₂a+b₂), которыми он задается. Для этого воспользуемся участками трапеции рисунка 2.

Рассчитываем первый участок. Выбираем две точки: (0;0) и (2/8 a_max; H) и составляем систему уравнений (6).

(6)

Решая систему, получаем: k₁=1,647; b₁=0.

Аналогично рассчитываем третий участок. Выбираем две точки (¾ a_max; H) и (a_max; 0) и составляем систему уравнений (7).

(7)

из системы получаем: k₂=-1,647; b₂=2,963.

Таким образом, закон распределения плотности вероятности будет иметь следующий аналитический вид (8).

. (8)

По полученному выражению (8) строим график одномерной плотности вероятности сообщения a (t), мгновенные значения которого заданны в интервале [0; 1,8]

Рисунок 3 — График одномерной плотности вероятности сообщения a (t)

Числовыми характеристиками СП служат начальный момент первого порядка — МО m (t), центральный момент второго порядка — дисперсия ?²(t) и СКО ?(t). Они полностью определяются одномерным распределением и являются детерминированными функциями времени.

Применительно к нашему распределению плотности вероятностей МО (m (t)) вычисляется по формуле (9):

(9)

Подставляем значения в (9) и вычисляем:

Дисперсия (?²(t)) вычисляется по формуле (10):

(10)

Подставляем значения в (10) и вычисляем:

СКО (?(t)) определяется как квадратный корень из дисперсии случайного процесса. Вычисляется по формуле (11):

. (11)

Подставляем значение дисперсии в (11) и находим СКО:

Строим график случайного процесса и на графике обозначаем максимальное и минимальное значения сигнала, МО и СКО.

Рисунок 4 — График случайного процесса

3. Дискретизатор Дискретизация — это процесс перевода непрерывного аналогового сигнала в дискретный или дискретно-непрерывный сигнал. Обратный процесс называется восстановлением. При дискретизации только по времени, непрерывный аналоговый сигнал заменяется последовательностью отсчётов, величина которых может быть равна значению сигнала в данный момент времени. Возможность точного воспроизведения такого представления зависит от интервала времени между отсчётами? t. Дискретизатор — устройство осуществляющее дискретизацию.

Передача непрерывного процесса осуществляется дискретными методами. Для этого сообщение а (t) дискретизируется по времени и квантуется по уровню с равномерным шагом. Шаг квантования по уровню а= 0,1 В.

Для дискретизатора требуется:

— Определить шаг дискретизации по времени (t).

— Определить число уровней квантования (L).

— Рассчитать среднюю мощность шума квантования (P_шк).

— Рассматривая дискретизатор как источник дискретного сообщения объемом алфавита L, определить его энтропию и производительность (Н, Н'). Отсчеты, взятые через интервал t считать независимыми.

Шаг дискретизации — интервал времени между двумя последовательными отсчетами аналогового сигнала. Определяется исходя из теоремы Котельникова, которая может быть записана следующим образом (12):

F_д?2F_c, (12)

где F_д — частота дискретизации;

F_c — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала.

Исходя из частоты дискретизации, интервал дискретизации можно посчитать по формуле (13):

. (13)

Подставляем значения в (13) и вычисляем:

Квантование — разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Число уровней квантования можно подсчитать по формуле (14):

(14)

Подставляем значения в (14) и вычисляем:

Одной из причин, приводящих к отличию принятого сообщения от переданного цифровой системой передачи, является шум квантования, другой — помехи в канале, которые накладываются на передаваемые символы кодовых комбинаций и могут вызвать ошибки. Ошибки в символах приводят к ошибочному декодированию всей кодовой комбинации. Шум квантования не связан (не зависит) с помехами в канале и целиком определяется выбором числа уровней квантования. Его можно сделать сколь угодно малым, увеличивая число уровней квантования. При этом придётся увеличивать число кодовых символов, приходящихся на каждый отсчёт, а, следовательно, сокращать длительность символа и расширять спектр сигнала в канале.

Если считать, что ошибка квантования равномерно распределена в пределах интервала квантования шириной (т. е. принимает все возможные значения с равной вероятностью), то средняя мощность шума квантования (дисперсия ошибок для устройства квантования) определяется выражением (15)

(15)

В итоге после подстановки в (15) получаем:

Энтропия — средняя информативность источника на один символ, определяющая неожиданность выдаваемых сообщений для источника без памяти. Энтропия определяется по формуле (16) — формула Шеннона:

(16)

По условию задания появление любого значения сигнала равновероятно, т. е. p (a₁)= p (a₂)=… p (a_n), т. е. p=1/L. Таким образом, формула Шеннона переходит в формулу Хартли, позволяющую рассчитать максимальное значение энтропии (17):

(17)

Подставляем значения в (17) и получаем:

Если источник сообщения имеет фиксированную скорость символ/с, то производительность источника можно определить по формуле (18), как энтропию в единицу времени (секунду):

. (18)

Подставляем в (18) и вычисляем:

.

4. Кодер

Кодирование осуществляется в два этапа. На первом этапе производится примитивное кодирование каждого уровня квантованного сообщения kразрядным двоичным кодом.

На втором этапе к полученной k-разрядной двоичной кодовой комбинации добавляются r-разрядные проверочные символы, формируемые в соответствии с правилами кодирования по коду Хэмминга.

Для кодера требуется:

— Определить число разрядов кодовой комбинации примитивного кода k, необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения.

— Определить избыточность кода при использовании кодирования Хэмминга.

— Записать двоичную кодовую комбинацию, соответствующую передаче j-го уровня, считая, что при примитивном кодировании на первом этапе j-му уровню ставится в соответствии двоичная кодовая комбинация, представляющая собой запись числа j в двоичной системе счисления. В полученной кодовой комбинации указать информационные и проверочные разряды.

— Определить число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени V_n и длительность двоичного символа T.

Число разрядов двоичной кодовой комбинации для кодирования L уровней находим по формуле (19):

. (19)

Так как L=18, то получаем:

Код Хемминга — это блочный код, позволяющий исправлять одиночные и фиксировать двойные ошибки, разработанный Ричардом Хеммингом в 40-х годах прошлого столетия. В то время он работал в лаборатории Белла на электромеханической счетной машине Bell Model V. Ввод данных в эту машину осуществлялся с помощью перфокарт. Это была самая ненадежная часть вычислительной машины. Перфокарты часто считывались неправильно. Исправление и обнаружение ошибок ввода данных отнимало огромное количество времени, а пропущенные ошибки могли привести к неверным результатам работы. Желая застраховаться от возможных сбоев и ускорить процесс обработки данных, Хемминг в 1950 году разработал способ кодирования.

Идея кодов Хемминга заключается в разбиении данных на блоки фиксированной длины и вводе в эти блоки контрольных бит, дополняющих до четности несколько пересекающихся групп, охватывающих все биты блока.

Хемминг рассчитал минимальное количество проверочных бит, позволяющих однозначно исправлять однократные ошибки.

Если длина информационного блока, который требуется закодировать — k бит, количество контрольных бит, используемых для его кодирования — r, то закодированный блок будет иметь длину: n = r+k бит. Для каждого блока такой длины возможны n различных комбинаций, содержащих ошибку.

Если для информационных данных длиной k подобрать такое количество контрольных бит r, что максимально возможное количество различных последовательностей длиной k+r будет больше или равно максимальному количеству различных закодированных информационных блоков, содержащих не больше одной ошибки, то точно можно утверждать, что существует такой метод кодирования информационных данных с помощью r контрольных бит, который гарантирует исправление однократной ошибки.

Следовательно, минимальное количество контрольных бит, необходимых для исправления однократной ошибки, определяется из равенства (20):

(20)

Преобразовав (20) получаем формулу (21):

. (21)

Первое целое число, удовлетворяющее этому условию, r = 4 бит.

Тогда полная длина кодовой последовательности: n = k + r = 9 бит.

Определим избыточность кода по формуле (22):

. (22)

Получаем:

Кодированный j=17 уровень, согласно варианту, будет иметь следующую двоичную кодовую комбинацию, занимающую k=5 разрядов:

17₁₀ = 10 001₂.

Все биты, порядковые номера которых являются степенью двойки, — это контрольные разряды (проверочные биты). Т. е. если порядковый номер бита обозначить символом «l», то для контрольных бит должно быть справедливо равенство (23):

l=2^t, (23)

где t — любое положительное целое число.

Исходя из выражения (23), для последовательности 10 001₂ проверочными будут: 1, 2, 4 и 8 биты, т.к. 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8.

Определим расположение проверочных бит в результирующей закодированной последовательности. Обозначим информационные биты символом k, а контрольные биты символом r. Индекс около этих символов будет означать их порядковый номер в закодированной последовательности.

Размещение информационных и контрольных бит в результирующей последовательности будет следующим:

Таблица 2 — Кодовая последовательность j уровня

Осталось определить значения проверочных бит. Определим, какие группы контролируют проверочные биты. Для этого разложим порядковые номера информационных бит по степени двойки:

И₃: 3 = 2⁰ + 2¹ = 1 + 2 => Информационный бит И₃ проверяется контрольными битами П₁ и П₂.

И₅: 5 = 2⁰ + 2² = 1 + 4 => Информационный бит И₅ проверяется контрольными битами П₁ и П₄.

И₆: 6 = 2¹ + 2² = 2 + 4 => Информационный бит И₆ проверяется контрольными битами П₂ и П₄.

И₇: 7 = 2⁰ + 2¹ + 2² = 1 + 2 + 4 => Информационный бит И₇ проверяется контрольными битами П₁, П₂ и П₄.

И₉: 9 = 2⁰ + 2³ = 1 + 8 => Информационный бит И₉ проверяется контрольными битами П₁ и П₈.

Рассчитаем значения контрольных бит. Для этого определим группы для всех контрольных бит, просуммируем их по модулю два, а результат запишем в соответствующие контрольные биты.

П₁ = И₃И₅И₇И₉ = 1001=0

П₂ = И₃И₆И₇ = 100=1

П₄ = И₅И₆И₇ = 000=0

П₈ = И₉ = 1

Таким образом, размещение информационных и контрольных бит в результирующей последовательности будет следующим b (t)=11 000 011 (таблица 3).

Таблица 3 — Размещение информационных и контрольных бит в результирующей последовательности

Проверочные биты в данной таблице выделены курсивом.

Число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени V_n, определяется числом отсчетов и числом двоичных символов n кодовой последовательности b (t), приходящихся на один отсчет (24):

. (24)

При n=9 и получаем из выражения (24):

Длительность двоичного символа вычисляется по формуле (25):

_. (25)

с.

5. Модулятор

Модуляция — процесс изменения одного или нескольких параметров высокочастотного несущего колебания по закону низкочастотного информационного сигнала (сообщения). Передаваемая информация заложена в управляющем (модулирующем) сигнале, а роль переносчика информации выполняет высокочастотное колебание, называемое несущим. В результате модуляции спектр низкочастотного управляющего сигнала переносится в область высоких частот. Это позволяет при организации вещания настроить функционирование всех приёмо-передающих устройств на разных частотах с тем, чтобы они «не мешали» друг другу.

В качестве несущего могут быть использованы колебания различной формы (прямоугольные, треугольные и т. д.), однако чаще всего применяются гармонические колебания. В зависимости от того, какой из параметров несущего колебания изменяется, различают амплитудную, частотную, фазовую и другие виды модуляции. Модуляция дискретным сигналом называется цифровой модуляцией или манипуляцией.

Для модулятора требуется:

— Записать аналитическое выражение для модулированного сигнала.

— Изобразить временные диаграммы модулирующего b (t) и модулированного u (t) = u (b (t)) сигналов, соответствующие передаче j-го уровня сообщения a (t).

— Привести выражение и начертить график корреляционной функции модулирующего сигнала В (?).

— Привести выражение и начертить график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала G_В(?).

— Определить ширину энергетического спектра модулирующего сигнала? F_B из условия? F_B=?V_k (где? выбирается в пределах от 1 до 3). Отложить полученное значение? F_B на графике G_В(f).

— Привести выражение и построить график энергетического спектра G_u(?) модулированного сигнала.

— Определить ширину энергетического спектра? F_u модулированного сигнала и отложить значение? F_u на графике G_u(f).

Изобразим временные диаграммы модулирующего b (t) и модулированного u (t) = u (b (t)) сигналов, соответствующие передаче j-го уровня сообщения a (t).

Рисунок 5 — Временные диаграммы модулирующего b (t) и модулированного u (t) сигналов

Корреляция, в математической статистике — вероятностная или статистическая зависимость. Корреляция возникает тогда, когда зависимость одного из признаков от другого осложняется наличием ряда случайных факторов.

Корреляционная функция дает качественное представление о линейной зависимости между значениями одной или двух случайных функций в выбранные моменты времени.

Свойства корреляционной функции:

— Корреляционная функция четна: .

— Абсолютное значение автокорреляционной функции при любых не может превышать значения при =0.

— Корреляционная функция имеет максимум при =0.

— Абсолютное значение корреляционной функции ограничивается значением дисперсии: .

— Случайные процессы, наблюдаемые в стационарно устойчиво работающих системах, имеют конечное время корреляции:.

Корреляционная функция случайного синхронного телеграфного биполярного сигнала с единичной высотой импульсов имеет следующий вид:

(26)

где T — длительность импульсов.

Исходя из формулы (26) построим корреляционную функцию модулирующего сигнала В (?) (рисунок 6).

Рисунок 6 — Корреляционная функция модулирующего сигнала В (?)

Спектральная плотность величины — предел отношения величины (напряжения, мощности и др.), соответствующий узкому участку оптического спектра, к ширине этого участка.

Для нахождения спектральной плотности мощности G_b(?) сигнала b (t) необходимо воспользоваться теоремой Хинчина — Винера, которая устанавливает связь между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса.

Исходя из теоремы Хинчина — Винера, спектральная плотность мощности модулирующего сигнала G_b(?) рассчитывается по формуле (27):

. (27)

Или с учетом того что,, по формуле (28):

. (28)

Построим график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала G_b(f) (рисунок 7).

Рисунок 7 — График спектральной плотности мощности модулирующего сигнала G_b(f)

Условная ширина энергетического спектра модулирующего сигнала находится из условия (29):

(29)

где? выбирается в пределах от 1 до 3. Возьмем 1, тогда получаем:

Из рисунка 7 видно, что условная ширина энергетического спектра равна расчетной ().

Для нахождения f₀ воспользуемся формулой (30):

(30)

Энергетический спектр G_u(f) модулированного сигнала находим по формуле (31):

. (31)

Построим график энергетического спектра G_u(f) модулированного сигнала (рисунок 8).

Рисунок 8 — График энергетического спектра G_u(f) модулированного сигнала Ширина энергетического спектра? F_u модулированного сигнала находится по формуле (32):

. (32)

Из рисунка (8) видно, что большая часть энергии модулирующего сигнала сосредоточена в полосе? F_U, равной расчетной 36*10⁶ Гц.

Находим. Вычисляем по формуле (33).

. (33)

Далее получаем:

В случае ЧМ несущее колебание промодулировано по закону изменения частоты первичного сигнала (частота меняется от f₀-f до f₀+f). При ЧМ под несущим колебанием будем понимать синусоидальное колебание, частота которого модулируется передаваемым сигналом. В нашем случае модулирующим сигналом является бинарный сигнал и, следовательно, несущий сигнал переключается сигналами с одной частоты на другую (частотная манипуляция). При значении бита «0» несущий сигнал будет иметь следующий вид:

U₀(t) = U_m cos (2?(f₀-f)t). (34)

при «1»

U₁(t) = U_m cos (2?(f₀+f)t). (35)

Исходя из полученных f₀ и, запишем аналитическое выражение для модулированного сигнала.

При «0»

. (36)

при «1»

. (37)

6. Канал связи

Передача сигнала U (t) осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом n (t) с равномерным энергетическим спектром N₀/2 (белый шум).

Для канала связи требуется:

— Определить мощность шума в полосе частот F_k = ?F_u;

— Найти отношение сигнал — шум Р_с /Р_ш;

— Найти пропускную способность канала С;

— Определить эффективность использования пропускной способности канала К_с, определив ее как отношение производительности источника Н' к пропускной способности канала С.

Канал связи — совокупность средств, предназначенных для передачи сообщений. Канал можно представить как последовательное соединение устройств, выполняющих различные функции в общей системе связи.

Классификация каналов связи возможна с использованием различных признаков. В зависимости назначения систем каналы делят на телефонные, телевизионные, телеграфные, фототелеграфные, звукового вещания, телеметрические, смешанные и т. п. В зависимости от того, распространяется ли сигнал между пунктами связи в свободном пространстве или по направляющим линиям, выделяют каналы радиои проводной связи.

Более существенна классификация каналов электросвязи по диапазону используемых ими частот.

Радиосвязь осуществляется с помощью электромагнитных волн, распространяющихся в частично ограниченном (например, землей и ионосферой) пространстве. В настоящее время в радиосвязи применяются частоты от 3*10³ до 3*10¹¹ Гц.

Для современного этапа развития техники связи характерна тенденция к переходу на все более высокие частоты. Это вызвано рядом веских причин, в частности, необходимостью получить остронаправленное излучение при небольших размерах излучателей, меньшей интенсивностью атмосферных и многих видов промышленных помех в более высокочастотных диапазонах, возможностью применения помехоустойчивость широкополосных систем модуляции и т. д.

Наибольший интерес для теории связи представляет классификация каналов по характеру сигналов на входе и на выходе каналов. Различают:

а) дискретные (по состояниям), на входе и выходе которых сигналы дискретны;

б) непрерывные (по состояниям), на входе и выходе которых сигналы непрерывны. Примером может служить канал, заданный между выходом модулятора и входом демодулятора в любой системе связи;

в) дискретные со стороны входа и непрерывные со стороны выхода или наоборот. Такие каналы называются дискретно-непрерывными или полунепрерывными.

Всякий дискретный, или полунепрерывный, канал содержит внутри себя непрерывный канал. Следует помнить, что дискретность и непрерывность канала не связана с характером передаваемых сообщений. Можно передать дискретные сообщения по непрерывному каналу и непрерывные сообщения по дискретному.

Канал связи в данной работе является непрерывным и неискажающим. Он осуществляет передачу сигнала U (t) с аддитивным флуктуационным шумом n (t) с равномерным энергетическим спектром N₀/2 (белый шум).

(38)

где µ=1 — коэффициент передачи канала.

В каналах связи аддитивные помехи возникают по различным причинам и могут принимать различные формы, индивидуальные реализации которых трудно учесть. Такие помехи чаще вызывают необратимые изменения передаваемых сигналов. Аддитивные помехи по своей структуре разделяют на три основных класса: распределенные по частоте и времени (флуктуационные), сосредоточенные по частоте (квазигармонические) и сосредоточенные во времени (импульсные).

Флуктуационные помехи порождаются в системах связи случайными отклонениями тех или иных физических величин (параметров) от их средних значений. Источником такого шума в электрических цепях могут быть флуктуации тока, обусловленные дискретной природой носителей зарядов. Наиболее распространенной причиной шума в аппаратуре связи являются флуктуации, обусловленные тепловым движением. Зная спектральную плотность мощности, можно определить мощность шума в полосе (промодулированого сигнала) по формуле (39).

. (39)

.

Поскольку сигналы U₀(t) и U₁(t) равновероятны, то средняя мощность сигнала U (t), передаваемого каналом равна (40):

(40)

где Е₀ и Е₁ — энергии сигналов U₀(t) и U₁(t) соответственно;

— длительность сигналов.

Е₀ и Е₁ рассчитываются по следующей формуле, как интеграл от квадрата несущего гармонического сигнала (41):

(41)

Для синусоидальных сигналов, которые используются в рассматриваемой системе, в результате интегрирования получаются следующие выражения:

. (42)

(43)

После подстановки в (41) и (42) получаем:

Таким образом, после подстановки Е₀ и Е₁ в выражение (40) получаем:

.

Отношение сигнал шум находится как отношение мощности полезного сигнала к мощности шума (44):

(44)

Рассматривая все возможные многоуровневые и многофазные методы шифрования, теорема Шеннона — Хартли утверждает, что пропускная способность канала С, означающая теоретическую верхнюю границу скорости передачи данных, которые можно передать с данной средней мощностью сигнала Р_с через аналоговый канал связи, подверженный аддитивному белому гауссовскому шуму мощности P_ш равна (45):

(45)

Определим эффективность использования пропускной способности канала К_с, как отношение производительности источника Н' к пропускной способности канала С (46):

. (46)

7. Демодулятор В демодуляторе осуществляется оптимальная когерентная обработка принимаемого сигнала z (t) = U (t) + n (t).

Для демодулятора требуется:

— Записать алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.

— Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

— Вычислить вероятность ошибки оптимального демодулятора.

— Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки.

Канал с аддитивным гауссовским шумом отображается линейной цепью с постоянной передаточной функцией, сосредоточенной в определенной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот F_c, имеющие ограниченную среднюю мощность Р_с (либо пиковую мощность Р_пик).

Предположим, что все искажения в канале строго детерминированы и случайным является только гауссовский белый аддитивный шум со спектральной плотностью N₀. Это значит что при передаче символа «1» принимаемое колебание можно записать математической моделью z (t) = U₁(t) + n (t), где U₁(t) — известный переносчик для символа «1». Передаче символа «0» соответствует известный переносчик U₀(t): z (t) = U₀(t) + n (t).

Неизвестна реализация помехи и позиция (индекс 1 или 2), переданного сигнала, который и должна распознать решающая схема. Распознавание осуществляется на основе метода идеального наблюдателя (Котельникова).

Для когерентного приемника границы начала и конца принимаемого сигнала точно известны, т. е. передаваемые сигналы финитны и имеют одинаковую длительность, а в канале нет ни многолучевого распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличение длительности сигнала (либо они скорректированы).

Критерии оптимальности — это условие максимума или минимума основного показателя качества приема, представляющего интерес для пользователя системы связи. Таковым при приеме дискретных сообщений является средняя вероятность ошибки (коэффициент ошибок). Критерий ее минимума (или, что тоже самое, максимума вероятности правильного приема) называют критерием «идеального наблюдателя».

Алгоритм работы оптимального по критерию максимального правдоподобия когерентного демодулятора при передаче двоичных сообщений может быть представлен в следующем виде (47), (48):

если

(47)

то принятым считается сигнал U₀(t), если

(48)

то принятым считается сигнал U₁(t).

Структурная схема оптимального демодулятора для ЧМ и когерентного приема, работающая в соответствии с алгоритмом, представленным выше, изображена на рисунке 9.

Рисунок 9 — Структура оптимального приемника для сигналов с ЧМ (- перемножители; Г₀, Г₁ — генераторы опорных сигналов U₀(t) и U₁(t); - интеграторы; - вычитающие устройства; РУ — решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные Т (при замыкании ключа), номер i — ветви с максимальным сигналом (i=0,1))

Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений оценивается вероятностью ошибки при заданном отношении сигнал/шум.

Вероятность ошибки оптимального когерентного демодулятора для канала с аддитивным нормальным белым шумом при передаче двоичных сообщений для ЧМ вычисляется следующим выражением (49):

(49)

где Ф (х) — функция Крампа (интеграл вероятностей), которая может быть вычислена по формуле (50):

(50)

где (51)

Эквивалентная энергия сигналов находится по формуле (52):

(52)

Подставляем в формулу (50), находим x:

.

Находим Ф (х) по формуле (50):

Таким образом, вероятность ошибки равна:

Для АМ вероятность ошибки сигналов равна:

Для ФМ сигналов вероятность ошибки сигналов равна:

Исходя из анализа параметров уравнения, для перехода к АМ с сохранением значения ошибки, необходимо эквивалентную энергию уменьшить в 2 раза. А для перехода к ФМ ее необходимо в 2 раза увеличить.

8. Декодер В декодере декодирование осуществляется в два этапа. На первом этапе производится обнаружение и исправление ошибки в кодовой комбинации. Считать, что ошибка произошла в i-ом разряде. На втором этапе из нее выделяются информационные символы, а затем k — разрядная двоичная кодовая комбинация преобразуется в элемент квантованного сообщения.

Дешифратор (декодер) — устройство, преобразующее двоичный код в позиционный (или иной). Другими словами, дешифратор осуществляет обратный перевод двоичных чисел. Единице в каком-либо разряде позиционного кода соответствует комбинация нулей и единиц в двоичном коде, а отсюда следует, что для преобразования необходимо иметь не только прямые значения переменных, но еще и инверсии.

Для декодера требуется:

— Оценить обнаруживающую способность q кода Хэмминга.

— Записать алгоритм обнаружения ошибок.

— Определить вероятность не обнаружения ошибки P_но.

Обнаруживающая способность q кода Хэмминга определяется d_min — наименьшим расстоянием по Хеммингу между кодовыми комбинациями (53):

. (53)

Теорема Хемминга гласит, для того чтобы код позволял исправлять все ошибки в z (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодовыми словами было равно (54):

. (54)

В нашем случае код исправляет одну ошибку, т. е. z=1. Значит наименьшее расстояние между кодовыми словами:

.

обнаруживающая способность

.

Таким образом, код обнаруживает две ошибки и одну исправляет.

В нашем случае код длиной n=r+k=9 разрядов имеет после передачи по линии связи ошибочный разряд i = 7.

Таблица 4 — Появление ошибки в 7 разряде кода после передачи

Алгоритм обнаружения и исправления одной ошибки:

а) Проверить на четность единиц все группы, контролируемые проверочными разрядами;

П₁: П₁ И₃И₅И₇И₉ = 1 011=1

П₂: П₂И₃И₆И₇ =1101=1

П₄: П₄И₅И₆И₇ = 0001=1

П₈: П₈И₉ = 11=0

б) Определить группы контрольных битов, для которых проверка четности единиц не прошла (получились значения 1);

Группы, не прошедшие проверку на четность: П₁, П₂, П₄

в) Выбрать из этих групп общие биты (в одном из них и будет находится ошибка);

Общий бит: И₇.

г) Для того, чтобы уточнить, в каком именно бите произошла ошибка, необходимо обратится к группам, в которых проверка на четность прошла успешно, в этих группах все биты — корректны. В этих группах необходимо найти один из 2-х определенных нами ранее битов. Найденный бит верный, значит, методом исключения определяем другой бит как неправильный (ошибочный);

В нашем случае у нас общий бит один, поэтому он и будет являться ошибочным. Т. е. бит И₇.

д) Инвертируем ошибочный бит: 1 0

Можно доработать описанный выше алгоритм, и сделать так, чтобы он не только исправлял однократные ошибки, но и фиксировал двойные. Для этого, после того, как информационные данные закодированы, к полученному коду приписывается еще один разряд, дополняющий его до четности единиц (чтобы сумма по модулю 2 для всех кодированных символов была равна 0).

Вероятность не обнаружения ошибки определяется по формуле (55):

(55)

где n — число разрядов;

q — обнаруживающая способность кода Хэмминга;

р — вероятность ошибки в одном разряде, ();

С — число сочетаний из n по а, которое вычисляется по формуле (56):

(56)

Таким образом, формула (55) приходит к виду (57):

(57)

Подставляя n=9, q=2, p = = 0,108 в формулу (57), найдем вероятность не обнаружения ошибки.

Таким образом, вероятность не обнаружения ошибки (P_но) равна 0,2957.

9. Фильтр-восстановитель

ФНЧ — один из видов аналоговых или электронных фильтров, эффективно пропускающий частотный спектр сигнала ниже некоторой частоты (частоты среза), и уменьшающий (подавляющий) частоты сигнала выше этой частоты. Степень подавления каждой частоты зависит от вида фильтра.

В отличие от ФНЧ, ФВЧ пропускает частоты сигнала выше частоты среза, подавляя низкие частоты.

Реализация ФНЧ может быть разнообразной, включая электронные схемы, программные алгоритмы, акустические барьеры, механические системы и т. д.

Идеальный ФНЧ (sinc-фильтр) полностью подавляет все частоты входного сигнала выше частоты среза и пропускает без изменений все частоты ниже частоты среза. Переходной зоны между частотами полосы подавления и полосы пропускания не существует. Идеальный ФНЧ может быть реализован лишь теоретически с помощью умножения входного сигнала на прямоугольную функцию в частотной области, или, что даёт тот же эффект, свёртки сигнала во временной области с sinc-функцией.

Однако такой фильтр практически нереализуем для большинства сигналов, так как sinc-функция имеет ненулевые значения для всех моментов времени вплоть до бесконечности. Его можно использовать только для уже записанных цифровых сигналов либо для идеально периодических сигналов.

Реальные фильтры для приложений реального времени могут лишь приближаться к идеальному фильтру.

Для фильтра восстановителя нижних частот требуется:

— Указать величину частоты среза F_c.

— Изобразить идеальные АЧХ и ФЧХ фильтра — восстановителя.

— Найти ИХ g (t) идеального фильтра — восстановителя и начертить ее график.

Частоту среза фильтра-восстановителя находим по теореме Котельникова, которая может быть описана формулой (12):

(58)

Фильтр — восстановитель характеризуется комплексной передаточной функцией W (j) и для идеального ФНЧ АЧХ описывается следующим выражением (59):

(59)

Построим график АЧХ идеального ФНЧ по формуле (59).

Рисунок 10 — АЧХ идеального ФНЧ Для идеального ФНЧ ФЧХ описывается следующим выражением (60):

(60)

где ?_зад — время задержки (маленькая величина порядка 10^-4 — 10^-5 с).

Построим ФЧХ для идеального ФНЧ по формуле (60).

Рисунок 11 — ФЧХ идеального ФНЧ ИХ фильтра определяется прямым преобразованием Фурье от комплексной передаточной функции (61):

(61)

Далее преобразовываем выражение (61) и получаем формулу (62).

(62)

Строим график ИХ ФНЧ по формуле (62).

Рисунок 12 — График ИХ ФНЧ

Заключение

В данной работе были проведены исследования основных характеристик системы передачи сообщений, которая состояла из источника сообщений, дискретизатора, кодера, модулятора, канала связи, демодулятора, декодера и фильтра-восстановителя.

При расчете модулятора и демодулятора одним из основных параметров является ЧМ-модуляция, используемая во многих приборах. Работа содержит структурные и принципиальные схемы элементов системы передачи с пояснениями, по которым можно разобрать принцип работы того или иного устройства.

В ходе выполнения работы были решены следующие ключевые задачи:

— построение графиков случайного процесса и одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения;

— нахождение математического ожидания, дисперсии и СКО;

- определение шага дискретизации по времени и числа уровней квантования;

— определение энтропии и производительности дискретизатора;

— построение временных диаграмм модулирующего и модулированного сигналов и графика корреляционной функции модулирующего сигнала.

— построение графиков спектральной плотности мощности модулирующего сигнала и энергетического спектра модулированного сигнала;

— определение эффективности использования пропускной способности канала и определение мощности шума в канале;

— составление алгоритма оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом для демодулятора;

— определение вероятности не обнаружения ошибки декодером;

— оценка обнаруживающей способности кода Хэмминга;

— нахождение ИХ идеального фильтра восстановителя и построение ее графика;

— построение идеальных АЧХ и ФЧХ фильтра — восстановителя.

Полученные данные в ходе выполнения курсовой работы приведены в таблице 5.

Таблица 5 — Результаты выполнения работы

В технике применяется достаточно много видов модуляций и для выбора наиболее подходящей необходимо производить расчеты, используя разные модуляции. Это даст возможность сравнить и дать оценку, какая модуляция больше подходит для использования в данной системе передачи.

Результаты, полученные при расчетах, дают действующую картину работы всех элементов при передаче сообщения, его преобразования и подтверждают возможность таких процессов.

сообщение модулятор декодер сигнал

Список использованных источников

1 Зюко А. Г. Теория передачи сигналов: Учебник для вузов [Текст] / А. Г. Зюко, Л. М. Финк, Д. Д. Кловский, М. В. Назаров. — Москва: Связь, 1980 — 288с.

2 Золотарев В. В. Помехоустойчивое кодирование. Методы и алгоритмы: Справочник. [Текст] / В. В. Золотарев. — М.: Горячая линия — Телеком, 2004. — 126 с.

3 Мацканюк А. А. Основы теории информации и кодирования: учебное пособие для вузов. [Текст] / А. А. Мацканюк. — Сочи: РИО СГУТКД, 2010. — 165 с.

4 Вычислительные системы (ВС) и сети. Коды Хемминга. [Электронный ресурс] / Официальный сайт компании HiT

5 Прокис Д. Цифровая связь: Пер. с англ. [Текст]/ Д. Прокис. — Москва: Радио и связь, 2000 — 800 с.

6 Нефедов В. И. Основы радиоэлектроники и связи. [Текст] / В. И. Нефедов. — М.: Высшая школа, 2005.

7 Каганов В. И. Радиотехнические цепи и сигналы. [Текст] /В.И. Каганов — М.: Горячая линия — Телеком, 2004.

8 Информация о ФНЧ. [Электронный ресурс] / Официальный сайт Википедии