Анализ деформированного состояния

Тензор деформации представим в симметричном виде (см. рис), когда и т. д. Анализ деформированного состояния проведем по аналогии с вышеприведенным анализом напряженного состояния. Три взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми при деформации тела равны нулю, называются главными деформациями и обозначаются .

Главные деформации находятся из уравнения, аналогичного уравнению (12.4) для определения главных напряжений.

(12.15).

Здесь и инварианты деформированного состояния:

(12.16).

Решение кубического уравнения (12.15) дает три величины главных деформаций .

В случае плоской деформации, когда, например, по аналогии с ПНС, формулы (12.10), получим и.

(12.17).

Экстремальные сдвиги находятся по формулам, аналогичным (12.6) для определения экстремальных касательных напряжений.

(12.18).

Для изотропных материалов направления главных деформаций совпадает с направлениями главных напряжений.

Выясним физический смысл инварианта: Рассмотрим кубик, у которого ребра совпадают с направлениями главных деформаций и до нагружения тела их длины равны 1. Его объем. После деформации его объем станет. Относительное изменение объема обозначим.

Деформации малы, поэтому величины второго и третьего порядка малости можно не учитывать, тогда.

(12.19).

Итак, первый инвариант деформированного состояния определяет относительное изменение объема тела.

Октоэдрический сдвиг, по аналогии с (12.7) — октаэдрических касательных напряжений, определяется так.

(12.20).

Последняя формула получена с учетом (12.18).