Расчеты с простыми процентами

1. Задания по теме «Расчеты с простыми процентами»

Ссуда в размере 100 000 руб. выдана 21 января под 8% годовых. Срок возврата ссуды — 5 октября. Определите размер погасительного платежа, применяя:

А) точные проценты с фактическим числом дней ссуды;

Б) обыкновенные проценты с фактическим числом дней ссуды;

В) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

А) Найдем по таблице № 1 фактическое число дней ссуды — 257. Дней в году 365. Применяем формулу для нахождения размера погасительного платежа.

S=P (l+ni),

где P — первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит) = 100 000;

S — наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

n — срок кредита, измеряемый в годах = 257 дней;

i — годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях) = 8%.

S=100 000*(1+(257/365)*0,08)=105 632,88 руб.

Б) Фактическое число дней ссуды — 257. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:

S=100 000*(1+ (257/360)*0, 08) =105 711, 11 руб.

В) Число дней ссуды — 254. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:

S=100 000*(1+ (254/360)*0, 08) =105 644, 44 руб.

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — 6%, в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0,5%.

Определите множитель наращения за 2,5 года.

Решение

Если в течение срока кредита процентная ставка изменяется, то множитель наращивания равен:

где n — срок кредита, измеряемый в годах;

i — годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

В нашем случае n=6%, n=6%, n=6,5%, n=7%, n=7,5%.

k=1+0,5*0,06+0,5*0,06+0,5*0,065+0,5*0,07+0,5*0,075=1,165

Обязательство уплатить через 180 дней 300 000 руб. с процентами по ставке 6% годовых было учтено в банке за 120 дней до срока, учетная ставка 7,5%.

Определите:

А) полученную при учете сумму;

Б) эквивалентную ставку процентов, дающую при учете тот же результат (К=360).

Решение

А) Используем формулу для нахождения суммы выплаты:

где d количество дней кредита;

P — первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);

S — наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

K — дней в году (в зависимости от метода);

i — годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

S=300 000*(1+ (60/360)*0,075=303 750 руб.

Б) Найдем прибыль банка за 180 дней:

S=300 000*(1+ (180/360)*0,075=309 000 руб.

Изменим формулу для вычисления эквивалентной процентной ставки:

i= (((S/P) — 1*k)/d

i= (((309 000/300000) — 1)*360)/60=18%

Решено консолидировать (объединить) три платежа со сроками 15 мая, 15 июня, 15 августа. Суммы платежей 10 000, 20 000 и 15 000 руб. соответственно. Срок консолидированного платежа 1 августа. Ставка процентов — 8%.

Определите сумму консолидированного платежа. При начислении процентов используйте метод 365/360.

Решение

Найдем по таблице № 1 сроки платежей на 1 августа. d=78; d=47; d=-14.

Используя формулу:

где d количество дней кредита;

P — первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);

S — наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

K — дней в году (в зависимости от метода);

i — годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

S=10 000*(1+ (78/360)*0, 08) =10 173, 33 руб.

S=20 000*(1+ (47/360)*0, 08) =20 288, 88 руб.

S=15 000*(1 — (14/360)*0, 08) =14 953, 33 руб.

Консолидированный платеж:

S=10 173, 33+20 288, 88+14 953, 33=45 415, 54 руб.

2. Задания по теме «Расчеты со сложными процентами»

Кредит в размере 300 000 руб. выдан на срок 3 года 160 дней. Контрактом предусмотрена ставка сложных процентов, равная 6,5% годовых.

Определите сумму долга на конец срока, используя:

А) точный метод начисления сложных процентов;

Б) смешанный метод начисления сложных процентов. Сравните полученные результаты.

Решение

а) Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу точного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+)

где j — номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, равного одному году;

т — количество начислений процентов в год =1

п — срок кредита, измеряемый в годах

S_T = 300 000 * (1 + (0,065/ I)) ¹*^{3, 44} = 372 566, 58 руб.

б) Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу смешанного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+)(1+D (mn))

где E (mn) — целая часть показателя степени в предыдущей формуле

D (тп) — дробная часть показателя степени в предыдущей формуле

S_c = 300 000 * (1 + (0,065 / 1))^1*3 * (1 +(0,065 / 1 * 0,44)) = 372 749,09 руб.

Сумма долга вычисленного точным методом больше.

Сравните условия вложения средств в банк в следующих случаях:

1) номинальная ставка 26% при ежемесячном начислении процентов;

2) номинальная ставка 27% при ежеквартальном начислении процентов;

3) номинальная ставка 28% при начислении процентов каждые полгода;

Сравнение проведите двумя способами, используя: а) эффективную ставку процентов; 6) время удвоения вклада.

Решение

а) Найдем эффективную ставку процентов по формуле:

i= (1+)-1

т — количество начислений процентов в год: m₁ = 12, m₂ = 4, m₃ = 2.

1) i = (1 +(0,26 / 12)¹²— 1 = 0,2933

2) i= (1 + (0,27 / 12)⁴ — 1 = 0,2985

3) i_|= (1 + (0,28 / 12)² — 1 = 0,2996

б) Найдем время удвоения по формуле:

т ₂=

1) т₂ = In 2 / (12 ln (1 +(0,26/ 12))) = 2,6947

2) т₂ = In 2 / (4 ln (1 + (0,27 / 4))) = 2,6529

3) т₂ = In 2 / (2 ln (1 + (0,28 / 2))) =2,645

Вклад под 28% самый выгодный.

Кредит в сумме 100 000 руб. взят на 5 лет с ежегодным начислением процентов по ставке 5%. Соглашение пересмотрено так, что через два года производится выплата 30 000 руб., а еще через четыре года выплачивается оставшаяся часть долга.

Решение

1) Найдем сумму выплаты через 2 года

S = 100 000 * (1 +(0,05 / 1) = 110 250 руб.

Т.к. вкладчик погасил часть платежа, то сумма составит:

S = 110 250 — 30 000 = 80 250 руб.

2) Найдем сумму выплаты через 4 года

S₀ = 80 250 * (1 + (0,05 / I)¹ *⁴ = 97 544,37 руб.

3. Задания по теме «Количественный анализ потоков платежей»

Вычислите коэффициент аккумуляции за 5 лет для потока платежей пренумерандо, если взносы осуществляются ежеквартально, начисление процентов ежеквартальное по номинальной ставке 10%.

Решение

Коэффициент аккумуляции для потока платежей пренумерандо вычисляется по формуле:

;

где п — срок потока платежей в годах — 5 лет р — количество выплат в течение года — 4

т — количество начислений процентов в течение года — 4

a q находится по формуле:

q=1+,

j — номинальная ставка сложных процентов — 10%

q = 1 +0, 1 / 4= 1,025

k = 1,025^4/4 * ((1,025^4*5) — 1)/(1,025^4/4 — 1) = 26,18

Решите предыдущую задачу при условии, что взносы осуществляются ежемесячно, а начисление процентов — ежеквартально.

Решение

Таким образом р — количество выплат в течение года — 12 т — количество начислений процентов в течение года — 4

q — 1,025

Применяем ту же формулу:

;

k_a = 1,025^4/12 * ((1,025⁴ *⁵) — 1) / (1,025^4/12 — 1) = 86,52

Решите задачу 3.2 для потока платежей постнумерандо.

Решение

Коэффициент аккумуляции для потока платежей постнумерандо вычисляется по формуле:

;

k=(1,025−1)/(1,025−1)=65,54

В банк вносятся ежегодно, в начале года, вклады. Величина первого вклада — 100 000 руб., каждый следующий вклад на 20 000 руб. больше предыдущего. Проценты начисляются ежегодно по ставке 10%.

Определите аккумулированную сумму вклада за 5 лет.

Решение

Для переменных годовых рент с постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная сумма могут быть вычислена по формуле:

S=uq;

процент платеж постнумерандо вклад где q вычисляется по формуле

q=1+,

где и — величина первой выплаты потока — 100 000

d — величина, показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей — 20 000

n — срок потока платежей в годах — 5 лет

j — номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год — 10%

т — количество начислений процентов в течение года — 1

q — множитель наращения периода начисления процентов

q=1+0,1/1=1,1

S_a = (100 000 * 1,1 * (1,1⁵ — 1) / (1,1 — 1)) +(20 000 * 1,1 *((1,1⁵-1) / (1,1 — -1)²)-

(5/(1,1 — 1))) = 914 683 руб.

В задаче 3.2 определить текущую (первоначальную) стоимость вклада при постоянных выплатах, равных 100 000 руб.

Решение

Определим текущую стоимость вклада через стоимость постоянных потоков платежей:

;

где r — величина постоянных выплат, образующих поток;

п — срок потока платежей в годах;

р — количество выплат в течение года;

т — количество начислений процентов в течение года;

q=1+;

j — номинальная ставка сложных процентов.

q= 1,025

Р_а = 100 000 * 1,025^4/4 * (1,025^4*5 — 1)/(1,025 ^4*5 * (1,025 ^4/4 — 1)) — 1 598 100

В банк вносятся ежегодно, в начале года, вклады. Величина первого вклада — 100 000 руб., каждый следующий вклад на 5% больше предыдущего. Проценты начисляются ежегодно по ставке 10%.

Определите аккумулированную сумму вклада за 5 лет.

Решение:

Для переменных годовых рент с постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная сумма могут быть вычислена по формуле:

S=uq;

где q вычисляется по формуле

q=1+,

где и — величина первой выплаты потока — 100 000

d — величина, показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей — 5%

п — срок потока платежей в годах — 5 лет

j — номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год — 10%

т — количество начислений процентов в течение года — 1

q — множитель наращения периода начисления процентов.

q = 1 +0,1 / 1 = 1,1

S_a — (100 000 * 1,1 * (1,1⁵ — 1)/(1,1 — 1)) + (5000 * 1,1 * ((1,1⁵ — 1)/(1,1 — 1)²) — (5 / (1,1 — 1))) = 732 341,5 руб.

Через 5 лет необходимо начать инвестирование проекта, требующее ежегодных вложений по 1 млн руб. в начале каждого года в течение 5 лет. Определите величину ежегодных платежей для аккумуляции необходимых для осуществления инвестиций средств при условии, что вложения производятся ежегодно (в конце года). Считайте, что проценты начисляются ежегодно по ставке 7%. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.

Решение

1) Найдем совместную стоимость потока платежей постнумерандо, на конец вложений, по формуле:

;

где г — величина постоянных выплат, образующих поток — 1 мил. руб.

п — срок потока платежей в годах — 5 лет р — количество выплат в течение года — 1

т — количество начислений процентов в течение года — 1

q находится по формуле:

q=1+;

j — номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год — 7%

q = 1 +0,07/1= 1,07

Р_р= 1 000 000* 1,07 * (1,07⁵ — 1)/(1,07⁵ * (1,07^1/1 — 1)) = 4 387 211 руб.

2) Для того что бы определите текущую стоимость вклада воспользуемся формулой:

S=r

где г — величина постоянных выплат, образующих поток — необходимо найти?

п — срок потока платежей в годах;

р — количество выплат в течение года;

т — количество начислений процентов в течение года;

j — номинальная ставка сложных процентов.

S/r = ((1 +0,07/ 1)⁵ — 1)/((1 +(0,07/1)¹ — 1) = 5,75

r = 4 387 211 / 5,75 =762 895,16 руб.

Решите предыдущую задачу при условии, что аккумуляция средств осуществляется в течение трех лет платежами пренумерандо. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.

Решение

Т.к. совместную стоимость потока платежей равна 4 387 211 руб., a q = 1,07. Применим формулу для аккумуляции средств пренумератдо:

S=r (1+)

S_a/r = (1 +0,07/ I)^1/1 * ((1 + 0,07/ l)³ — l)/((1 +(0,07/1)-1) = 3,43

r=4 387 211/3,43=1 279 070 руб.

4. Планирование погашения долгосрочных задолженностей

Рассчитайте величину платежей погашения кредита в 5 млн руб. равными аннуитетами постнумерандо в течение 10 лет, если ставка сложных процентов равна 8% при ежегодном начислении процентов.

Составьте план амортизации с указанием частей аннуитета, идущих на погашение основного долга и выплату процентов на текущий остаток долга.

Решение:

1) Найдем величину платежей по формуле:

R = S

где q = 1 + i

R = 5 000 000 * (1,08¹⁰ * (1,08 — 1))/(l, 08¹⁰-l) — 745 150 руб.

2) Составим план амортизации:

b=R-Si

S= S

Кредит в 50 млн руб. взят на 10 лет под 10% годовых с выплатой равными аннуитетами постнумерандо. После 8 лет выплат решено погасить остаток долга единовременным платежом. Определите величину погасительного платежа.

Решение

Найдем величину платежа по формуле:

S= S

где q = 1 + i q=1,1

S_k= 50 000 000 * 1,1⁸* (1,08^10-8 — 1)/(1,08¹⁰ — 1)= 15 389 033 руб.

Затем в 10 млн. рублей на 5 лет может быть получен в трех различных банках на следующих условиях:

1) курс займа С = 80, процентная ставка — 6%;

2) курс займа С = 90, процентная ставка — 7%;

3) курс займа С = 95, процентная ставка — 8%;

Сравните условия займов и определите наиболее выгодные из них.

Решение

А) Найдем для каждого случая курс займа, по формуле:

C=

Отсюда следует — S_d = S₀ * 100 / С где So — величина суммы, полученной должником;

S_d — величина долга, записанная кредитором за должником.

1) S_d1= 10 000 000 * 100 / 80 = 12,5 млн руб.

2) S_d2 = 10 000 000 * 100 / 90 = 11,11 млн руб.

3) S_d3 = 10 000 000 * 100/95 = 10,52 млн руб.

Б) Для того чтобы сравнить условия займов найдем величину погасительного платежа по формуле:

R = S

где q = 1 + i q = 1,06 q₂^:=l, 07 q₃=l, 07

1) R = 12 500 000 * 1,06⁵ * (1,06 — 1) / (1,06⁵ — 1) = 2,967 млн руб.

2) R = 11 110 000 * 1,07⁵ * (1,07 — 1)/(1,07⁵ — 1) = 2,709 млн руб.

3) R=10 520 000 * 1,08⁵ * (1,08 — 1)/(1,08⁵ — 1) = 2,634 млн руб.

Платеж № 3 самый выгодный.

1. Четыркин Е. М. Методы финансовых и экономических расчетов. — М.: Дело ЛТД, 1995 г.

2. Кочович Е. Финансовая математика. — М.: Финансы и статистика, 1994 г.