Расчёт параметров настройки ПИ и ПИД регуляторов

Содержание Введение

1. Задание на проектирование

2. Расчёт КЧХ объекта в требуемом диапазоне частот

3. Расчёт параметров настройки ПИ и ПИД регуляторов

4. Определение устойчивости замкнутой АСР

5. Оценка качества управления и выбор регулятора

Заключение

Введение

Автоматизация производства является на современном этапе важнейшим фактором научно-технического прогресса во всех отраслях промышленности, в том числе пищевой.

Важной задачей автоматизации предприятий пищевой промышленности является создание локальных автоматических систем регулирования (АСР), характеризующимся высоким быстродействием, точностью и надежностью.

Принципы построения АСР являются общими независимо от природы регулируемой величины и конструкции регулирующей аппаратуры. Изучение и практическое использование этих принципов в ходе расчета реальной системы регулирования является целью выполнения настоящего курсового проекта.

При создании АСР производственных объектов основное значение имеет правильный выбор регуляторов и расчет оптимальных параметров их настройки. Эти задачи решаются на стадии проектирования АСР. Согласно методике, выработанной на основе теоретических исследований и проверенной в практике наладки и эксплуатации АСР, правильный выбор регуляторов и определение параметров их настройки требует знания динамических свойств объекта регулирования. Эти свойства управляемого объекта вполне определяются его комплексной частотной характеристикой (КЧХ) .

Целью расчета и исследования АСР является формирование такой системы, которая обеспечивала бы наилучшее (оптимальное) качество управления. При этом объект управления является заданным и задача по формированию оптимальной системы управления сводится к выбору наилучшего регулятора. На практике наибольшее распространение получили ПИ и ПИД-регуляторы, т.к. в большинстве случаев они оказались значительно более эффективными по сравнению с остальными.

Цели управления состоят в достижении максимальной производительности процесса, стабилизации высокого качества выпускаемой продукции, наибольшего коэффициента использования энергии, сырья и оборудования, максимального объема реализации продукции и снижения затрат на единицу продукции.

Теория управления изучает общие закономерности присущие системам управления независимо от их природы. Существует два принципа управления. Один из них называется управлением по возмущению, а другой управлением по отклонению.

Под объектом контроля и управления понимается комплекс сложных и простых статических и динамических систем и элементов, характеристики которых формируются, контролируются и настраиваются по определенным алгоритмам. Технологический объект управления (ТОУ) определяется как совокупность технологического оборудования и реализованного на нем по соответствующим инструкциям и регламентам технологического процесса.

Описание объекта осуществляется построением его математической модели, которая может быть описана системой уравнений, определяющих зависимость выходных параметров объекта от внешних и внутренних воздействий при его функционировании. На основе анализа модели формулируются задачи контроля и управления, синтезируется система управления, определяется степень автоматизации и ее эффективность.

Управляющее воздействие это изменение регулирующей величины, возмущения воздействия некоторых величин, не относящихся напрямую к рабочему процессу, но оказывающих воздействие на рабочий процесс, как правило, это воздействие окружающей среды. Всегда существуют влияющие на объект и исходящие со стороны внешней среды воздействия, которые приводят к нежелательным отклонениям выходных величин от их заданных значений, эти воздействия называют возмущающими или просто возмущениями.

Устройство, выполняющее функции формирования управляющих воздействий называются управляющим устройством, простейшим управляющим устройством является регулятор.

частота регулятор автоматический

1. Задание на проектирование Значения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ) представлены в таблицах 1а и 1б. Для каждого из исследуемых объектов значения этих характеристик определены при четырех различных частотах,. Значения этих частот и предельно допустимой чувствительности приводятся в таблице 2.

Значения АЧХ и ФЧХ объектов.

Таблица 1а.

Значения АЧХ и ФЧХ объектов.

Таблица 1б.

Установим взаимосвязь между КЧХ объекта и ее амплитудой и фазой .

Поскольку каждое значение КЧХ объекта является комплексным числом, имеющим вещественную и мнимую части, то

(1)

Комплексное число можно представить не только в обычном виде (33), но и в так называемой тригонометрической форме, т. е. как

(2)

где амплитуда и фаза КЧХ объекта задаются равенствами

; (3)

. (4)

Таким образом, согласно выражению (2), зная значения амплитуды и фазы объекта можно определить значение его КЧХ. Напротив, на основании информации о КЧХ объекта можно, воспользовавшись выражениями (3) и (4) определить ее амплитуду и фазу. В таблицах 1а и 1б они приводятся в отдельных столбцах для каждого из значений частоты., .

Значения частот и чувствительности.

Таблица 2.

При выполнении курсового проекта необходимо по данным таблиц 1а, 1б и 2 рассчитать и построить график КЧХ исследуемого объекта. Затем, по этим же данным выполнить расчет оптимальных значений параметров настройки ПИ и ПИД — регуляторов. Проанализировать замкнутые системы с этими регуляторами на устойчивость и оценить также их запас устойчивости. Далее, следует определить качество управления, обеспечиваемое при использовании ПИ и ПИД-регуляторов, и выбрать из них наилучший.

2. Расчёт КЧХ объекта в требуемом диапазоне частот

Рассмотрим замкнутую систему автоматического регулирования представленную на рис.1

Рис. 1

Замкнутая система автоматического регулирования.

Чтобы лучше представить область частот, в которой необходимо исследовать динамические свойства управляемого объекта построим на комплексной плоскости годограф КЧХ. При этом на мнимой и вещественной осях системы координат соответственно в одинаковом масштабе откладываются значения величин и для каждого из значений, , представленных в таблице 2.

Для определения по данным таблиц 1а и 1б значений величин и КЧХ объекта, заданную выражением (2), представим в виде

. (5)

Сопоставив выражения (33) и (37) установим, что

; (6)

При выполнении расчетов по формулам (6) необходимо учесть, что значения фазы КЧХ объекта в таблице 1 заданы в радианах.

Для облегчения расчетов при построении годографа КЧХ объекта используем компьютерную программу CHASTXAR, написанную на алгоритмическом языке Турбо Паскаль. С помощью данной программы можно решить задачу интерполяции, т. е. определить промежуточные значения величин и по отношению к данным таблицы 1. Результаты расчётов, полученные при использовании программы CHASTXAR сведём в таблицу 3.

КЧХ объекта

Таблица 3.

На основании данных таблицы 3 построим годограф КЧХ объекта.

Рис. 2. Фрагмент годографа КЧХ объекта

3. Расчёт параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов Тип автоматического регулятора, обеспечивающего наилучшее качество регулирования, определяется на основе выбора между ПИ и ПИД — регуляторами, получившими наибольшее распространение на практике. При этом на основании данных о динамике управляемого объекта, представленных в таблицах 1а, 1б и 2, осуществляется расчет параметров настройки сначала ПИ, а затем ПИД — регулятора.

Цель расчета заключается в определении таких значений параметров настройки регулятора, при которых обеспечивалось бы выполнение условия

(7)

и ограничения на запас устойчивости, где — предельно допустимое значение величины. На практике часто принимают, что.

При выполнении указанных расчетов используем метод вспомогательной функции, реализованный на основе компьютерных программ PIREG и PIDREG.

Рассмотрим объект управления, данные о КЧХ которого приведены в таблицах 1а, 1б и 2. Данные полученные по завершении работы программы PIREG сведём в таблицу 4.

ПИ — регулятор

Таблица 4

Данные полученные по завершении работы программы PIDREG сведём в таблицу 5.

ПИД — регулятор

Таблица 5

На основании представленных здесь результатов расчета можно сделать вывод, что для рассматриваемого объекта применение ПИД-регулятора позволяет в несколько раз увеличить отношение по сравнению со случаями использования ПИ регулятора. На основании выражения определим значение следующего отношения:

(8)

где и — значения ошибки управления при использовании ПИ и ПИД-регуляторов. Следовательно, в рассматриваемом случае, как видно из равенства (8), переход от ПИ-регулятора к ПИД-регулятору позволяет уменьшить математическое ожидание ошибки управления более чем в 1,2 раза.

4. Определение устойчивости замкнутой АСР Для того, чтобы автоматическая система регулирования могла выполнять свои функции, она должна, прежде всего удовлетворять требованию устойчивости, то есть возвращаться к равновесному состоянию после снятия возмущения, нарушившего ее равновесие.

Согласно динамической теории устойчивости линейных систем, основы которой сформулированы А. М. Ляпуновым, устойчивость линейной системы зависит от корней ее характеристического уравнения. Линейная АСР является устойчивой только в том случае, если все действительные корни и вещественные части комплексно-сопряженных корней ее характеристического уравнения будут отрицательными.

Определение корней характеристического уравнения обычно связано с трудоемкими вычислениями и далеко не всегда возможно, т.к. для реальных объектов часто не удается построить достаточно достоверные параметрические математические модели, описывающие их динамику. Поэтому для практических расчетов, как правило, пользуются косвенными признаками, позволяющими без определения корней характеристического уравнения исследовать систему на устойчивость. Такие признаки получили название критериев устойчивости.

Наиболее часто употребляемыми критериями устойчивости являются алгебраические критерии Рауса-Гурвица, а также критерии Михайлова и Найквиста, основанные на частотных представлениях. В настоящем курсовом проекте использован критерий Найквиста.

Критерий Найквиста основан на рассмотрении КЧХ разомкнутой системы

(9)

по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой АСР. Это обусловлено наличием однозначной зависимости между передаточной функцией разомкнутой системы и характеристическим уравнением замкнутой АСР.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Система регулирования, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф комплексной частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, i0).

Для того, чтобы воспользоваться критерием Найквиста, необходимо определить КЧХ регулятора и рассчитать по данным таблиц 1а, 1б и 2 КЧХ объекта, а затем найти КЧХ разомкнутой системы по формуле (9), для этого воспользуемся программой CHASTXAR. Результаты расчётов сведём в таблицу 6.

КЧХ разомкнутой системы Таблица 6

Рис. 3. КЧХ разомкнутой системы с ПИ — регулятором Используя данные таблицы 6, исследуем замкнутую систему на устойчивость. Соответствующие годографы КЧХ разомкнутых систем представлены на рис. 2 и 3.

Рис. 4. КЧХ разомкнутой системы с ПИД — регулятором

Применяя критерий Найквиста к фрагменту годографа КЧХ разомкнутой системы, представленному на рис. 3, можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы с ПИ-регулятором, т.к. данный годограф не охватывает точку с координатами (-1, i0).

Об устойчивости замкнутой системы с ПИД-регулятором можно сделать вывод из рис. 4, т.к. и в этом случае годограф КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1, i0).

Определим теперь, выполняется ли для замкнутой системы ограничения на запас устойчивости, с этой целью необходимо построить график АЧХ замкнутой системы .

Для запаса устойчивости используем показатель колебательности замкнутой системы М_кл, значение которого определяется выражением:

(10)

Считают, что замкнутая система обладает требуемым запасом устойчивости, если выполняется следующее ограничение:

(11)

где — предельно допустимое значение величины. На практике часто принимают, что (12)

Для построения графика АЧХ также используем программу CHASTXAR и данные из таблиц 1а, 1б и 2. Результаты расчётов сведём в таблицу 7.

АЧХ замкнутой системы

Таблица 7

На основании графиков, представленных на рис. 5, можно сделать вывод, что замкнутая система как с ПИ, так и с ПИД-регулятором при оптимальных параметрах настройки не только устойчива, но и обладает заданным запасом устойчивости, т.к. максимальное значение АЧХ в обоих случаях не превышает значения 1,62. Кроме того, из рис. 4 видно, что АЧХ замкнутой системы при использовании ПИД-регулятора имеет лишь один пик максимума, что позволяет, избежать нежелательного затягивания переходных процессов.

Рис. 5.

АЧХ замкнутой системы по каналу от входа до выхода: 1 — система с ПИ — регулятором; 2 — система с ПИД-регулятором.

5. Оценка качества управления и выбор регулятора Качество управления оценивается на основе критериев и. Согласно равенству (9) при использовании ПИД-регулятора критерий удается уменьшить более чем в 1,2 раза, по сравнению со случаем применения ПИ-регулятора.

Чтобы сделать окончательный вывод о целесообразности использования ПИ или ПИД-регулятора, необходимо проанализировать, в каком из этих случаев величина критерия окажется меньшей. Для этого воспользуемся АЧХ замкнутой системы. Поскольку спектральная плотность возмущающих воздействий обычно неизвестна, то воспользуемся гипотезой о низкочастотном характере возмущений и в этом случае оценим эффективность применения каждого регулятора.

Данные о КЧХ управляемого объекта представлены в таблицах 1а, 1б и 2, а значения параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов в таблицах 4 и 5. Для построения графика АЧХ замкнутой системы воспользуемся программой CHASTXAR, результаты расчётов сведём в таблицу 8.

АЧХ замкнутой системы

Таблица 8

Рис. 6. АЧХ замкнутой системы по каналу от входа до ошибки: 1 — система с ПИ — регулятором; 2 — система с ПИД-регулятором.

Согласно рис. 6 для систем с ПИ и ПИД-регуляторами соответственно и, т. е.. Кроме того, на всем интервале частот выполняется неравенство

. (13)

Представим интеграл

(14)

где — КЧХ замкнутой системы, соответствующая каналу на вход которого поступает возмущающее воздействие, а на выходе регистрируется сигнал ошибки; - спектральная плотность возмущающего воздействия, в виде

(15)

где

; (16)

; (17)

(18)

а — частота, такая что

; (19)

. (20)

С учетом соотношений (19), (20) и выражений (16), (17), (18) приходим к выводу, что равенство (15) можно представить в виде

(21)

т.к. согласно (20) и (17), (18) имеют место равенства .

Если, то принимая во внимание выражение (21), а также неравенство (13) приходим к выводу, что при использовании ПИД-регулятора значение критерия будет меньше, чем в случае применения ПИ-регулятора.

Следовательно, ПИД-регулятор в рассмотренном случае оказался более предпочтительным по сравнению с ПИ регулятором, т.к. его применение способствовало выполнению требований и .

Заключение

В данной курсовой работе проведён расчёт комплексно частотной характеристики (КЧХ) объекта, определены оптимальные значения параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов. Проведены анализ замкнутой системы с данными регуляторами на устойчивость и оценка запаса устойчивости. По результатам расчётов можно сделать вывод о целесообразности использовании системы с ПИД-регулятором — при практически одинаковых показателях устойчивости, у ПИД-регулятора минимальное математическое ожидание ошибки управления.

1. Теория автоматического управления. / Под ред. А. В. Нетушила — М.: Высшая школа, 1982.

2. Бессекерский В. А., Попов В. П. Теория автоматического регулирования. — М.: Наука, 1975.

3. Шавров А. В., Коломиец А. П. Автоматика. — М.: Колос, 1999.

4. Клюев А. С. Автоматическое регулирование. — М.: Энергия, 1973.

5. Основы автоматического регулирования и управления. /Под ред. В. М. Пономарева и А. Н. Литвинова. — М; Высшая школа, 1974.