Тесты для исследования эффективности рынка

Моделирование большого количество теоретических экономических и финансовых концепций, к примеру, гипотеза финансовой эффективности рынка, гипотеза рациональных ожиданий агентов или теория о сглаживании потребления агентов во времени, осуществляется с применением мартингалов или последовательности разностей мартингалов (MDS). Подробнее об использовании MDS для моделирования различных экономических и финансовых концепций раскрыто в работах Hall (1978), Lo (1997).

Для моделирования гипотезы финансовой эффективности используется так называемая гипотеза разностей мартингалов (MDH), которая утверждает, что наилучший прогноз будущих значений временного ряда при данном информационном множестве, в рамках минимальных среднеквадратических ошибок (MSE), является безусловное математическое ожидание. Более формально, при выполнении MDH, действительные значения стационарного временного ряда почти наверное, сходятся к безусловному математическому ожиданию.

.

Для удобства тестирования математическое представление гипотезы немного модифицируется и приобретает следующих вид:, где — информационное множество в момент времени, а — функция весов. В данном случае — представляет любое линейное или нелинейное преобразование прошлых значений временного ряда. В зависимости от выбора функции весов, тесты разделяются на линейные и нелинейные, которые соответственно проверяют временной ряд на линейную или нелинейную зависимость.

На данный момент существует большое количество тестов для проверки гипотезы эффективного рынка в слабой форме. Как было показано в предыдущем разделе, эффективный рынок может быть описан различными математическими моделями. Тесты, рассмотренные ниже, проверяют гипотезу эффективного рынка исходя из свойств, представленных моделей.

Тест Дикки — Фуллера (ADF).

Одним из стандартных подходов тестирования рынка на слабую гипотезу эффективности является проверка ряда доходностей на единичный корень. Основная идея состоит в том, что если ряд содержит единичный корень, то он соответственно не стационарен и следует случайному блужданию (Lim K.P. and Brooks R.D., 2011). Самым популярным тестом является тест Дикки — Фуллера (Dickey D.A. and Fuller W.A., 1979).

Тест Дикки — Фуллера был сконструирован таким образом, чтобы распознать содержит ли временной ряд единичный корень или нет, что в свою очередь указывает на стационарность: в первом случае ряд не стационарен, во-втором соответственно стационарен. Также этот тест часто используется для проверки слабой формы рыночной эффективности. Основная гипотеза Дикки — Фуллера заключается, в том что ряд не стационарен т. е. содержит единичный корень, если она не отвергается, то ряд характеризуется как случайное блуждание, и тем самым подтверждается наличие слабой формы эффективности рынка.

Следуя оригинальной статье Dickey and Fuller (1979) можно выделить три различных регрессионных модели для тестирования их на стационарность:

рыночный гипотеза транзакционный капитал При тестировании проверки наличия слабой формы эффективности на финансовом рынке за берут разницу между доходностями акции текущего и предыдущего периода, — это свободный член или параметр дрейфа, — временной тренд и — ошибка. Регрессионная модель 1 — это базовая спецификация теста Дикки-Фуллера. Модель 2 дополнительно включает в себя параметр дрейфа, а 3-ая модель помимо всего перечисленного также учитывает временной тренд. Ключевым параметром во всех спецификациях является. Основная гипотеза H0 состоит в том, что, альтернативная —, если не отвергается H0, то временной ряд содержит единичный корень и является нестационарным, поэтому он характеризуется как случайное блуждание, что подтверждает наличие слабой формы эффективности на рынке.

Важной предпосылкой в тесте Дикки — Фуллера является отсутствие автокорреляции в ошибках. Для случая присутствия автокорреляции был разработан расширенный тест Дикки — Фуллера (Augmented Dickey-Fuller). Эта расширенная версия теста просто добавляет к изначальным регрессионным моделям достаточное количество лаговых переменных, т. е. фактически преобразует авторегрессию первого порядка в авторегрессию s — ого порядка, где s выбирается исходя из структуры данных с помощью модифицированного информационного критерия Акаике. Модель авторегрессии для расширенного теста выглядит следующим образом:

(9).

Как и ранее — это разница между текущим и прошлым значениями доходностей временного ряда, взятого с финансового рынка. Знак суммы показывает количество включенных лагированных переменных в первой разности для преодоления автокорреляции в ошибках. Как и в оригинальном тесте, ключевым параметром является. Нулевая гипотеза и выводы, соответствующие ей, полностью аналогичны оригинальному тесту. Однако статистика для проверки значимости результата, как в оригинальном, так и в расширенном тестах при выполнении H0, несмотря на схожесть подсчета со статистикой Стьюдента, следует не стандартному распределению, а распределению или Дикки — Фуллера, в честь авторов, его критические значения были подсчитаны в 1951 году James G. MakKinnon, и на данный момент доступны всем желающим.

На данный момент разработаны более искусные тесты на нахождение единичного корня. Тем не менее, как отмечается в работе (Rahman A. And Saadi S., 2008) наличие единичного корня не достаточно для доказательства слабой формы эффективности рынка. Помимо этого, тесты такого рода требуют, чтобы ряд не был серийно коррелирован.

Линейные тесты для проверки MDH.

Одним из самых распространенных тестов для проверки гипотезы разницы в мартингалах является VR. Во всех его модификациях используются линейные функции веса. Впервые он был представлен в работе Lo A.W. and MacKinlay A.C. (Lo A.W. and MacKinlay A.C., 1988), в которой также было представлено асимптотическое распределение для статистики VR теста, а сама методология была разработана в статье Cochrane (1988). На сегодняшний день существует огромное количество его модификаций, некоторые из которых также будут описаны.

Общая идея всех VR тестов опирается на тестировании данных на соответствие модели случайного блуждания против альтернативы следования стационарным процессам. В основе теста лежит свойство линейности выборочных интервалов. Подробнее об этом будет сказано далее.

Тест Lo MacKinlay.

Следует остановиться на работе Lo A.W. and MacKinlay A.C. (Lo A.W. and MacKinlay A.C., 1988), по подробней. Этот тест направлен на проверку автокорреляции доходностей ценных бумаг. Если значимая корреляция обнаруживается, то это считается явным признаком, свидетельствующим против слабой гипотезы эффективного рынка (Lim K.P. and Brooks R.D., 2011). При тестировании обычно выделяют разную частотность (день, неделя, месяц). Чаще всего, чем короче период, тем вероятнее наличие корреляции (Lehmann B., 1990 and Jegadeesh N., 1990).

В статье Lo A.W. and MacKinlay A.C. 1988 года было представлено две статистики для проверки отдельных интервалов и, последняя является устойчивой к гетероскедастичности, что особенно важно при изменяющейся волатильности в финансовых рядах. Подробное описание этих статистик представлено ниже.

(10).

(11).

Эта статистика построена таким образом, что является асимптотически стандартной нормальной. Для того чтобы понять ее смысл необходимо проследить логику авторов статьи. Их отправной точкой служит тот факт, что дисперсия приращений процесса случайного блуждания линейна по интервалам, по которым берутся данные. Это означает, что дисперсия превосходит дисперсию в k раз. Авторы обозначают за цену ценной бумаги в момент времени t. Далее определяют как случайное блуждание логарифма цен.

Отношение дисперсий определяется следующим образом:

(12).

В представленном соотношении является — ой дисперсии, а — дисперсия. Нулевая гипотеза заключается в том, что статистически не отличается от единицы. Для расчета и используются следующие формулы:

(13).

(14).

(15).

(16).

Нужно также уточнить, что — это последнее наблюдение временного ряда, а — первое. Всего наблюдений.

Для того чтобы рассчитать устойчивую к гетероскедастичности статистику, необходимо применить формулу:

(17).

(18).

В свою очередьоценивается по формуле:

(19).

Приведенная статистика была применена Lo A.W. and MacKinlay A.C. (1988) к недельным значениям цен индекса CRSPNYSE-AMEX. В выборку было включено 1216 недельных значений с сентября 1962 по декабрь 1985 года. Гипотеза о случайном блуждании недельных доходностей индекса была отвергнута. Однако авторы отмечают, что наличие сериальной корреляции в доходностях не обязательно означает отсутствие слабой формы эффективности рынка.