Методы проектирования избирательных рекурсивных цифровых фильтров

Уральский технический институт связи и информатики (филиал) Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики.

Контрольная работа.

По дисциплине Цифровая обработка сигналов Тема: «Методы проектирования избирательных рекурсивных цифровых фильтров».

Куреннов Сергей.

Исходные данные.

Таблица 1. Исходные данные.

1. Листинг программы (в пакете MatLAB) и графики АЧХ и ФЧХ фильтров.

1.1 График АЧХ и ФЧХ фильтра Баттерворта.

1.2 График АЧХ фильтра Чебышева 1 типа.

1.3 График АЧХ фильтра Чебышева 2 типа.

1.4 График АЧХ эллиптического фильтра.

2. Расчет нормированного ФНЧ-прототипа.

2.1 Расчет разрядности коэффициентов Ак и Вк 1 способ.

2.1 Расчет разрядности коэффициентов Ак и Вк 2 способ.

4. Расчет разрядности ОУ и регистров памяти.

5. Структурная схема спроектированного ЦФ Вывод по проделанной работе Список литературы.

1. Листинг программы (в пакете MatLAB).

1.1 График АЧХ и ФЧХ фильтра Баттерворта.

Fd=18 000;

fp=4500;

fs=4000;

Rp=2;

Rs=45;

Wp=[2*fp/Fd];.

Ws=[2*fs/Fd];.

[n, Wn]=buttord (Wp, Ws, Rp, Rs);.

[a, b]=butter (n, Wn,'high');.

freqz (a, b).

1.2 График АЧХ фильтра Чебышева 1 типа.

Fd=18 000;

fp=4500;

fs=4000;

Rp=2;

Rs=45;

цифровой обработка сигнал фильтр

Wp=[2*fp/Fd];

Ws=[2*fs/Fd];

[n, Wn]=cheb1ord (Wp, Ws, Rp, Rs);

[a, b]=cheby1(n, Rp, Wn,'high');

freqz (a, b).

1.3 График АЧХ фильтра Чебышева 2 типа.

Fd=18 000;

fp=4500;

fs=4000;

Rp=2;

Rs=45;

Wp=[2*fp/Fd];

Ws=[2*fs/Fd];

[n, Wn]=cheb2ord (Wp, Ws, Rp, Rs).

[a, b]=cheby2(n, Rs, Wn,'high');

freqz (a, b).

n = 11.

Wn = 0.4444.

1.4 График АЧХ эллиптического фильтра.

Fd=18 000;

fp=4500;

fs=4000;

Rp=2;

Rs=45;

Wp=[2*fp/Fd];

Ws=[2*fs/Fd];

[n, Wn]=ellipord (Wp, Ws, Rp, Rs).

[a, b]=ellip (n, Rp, Rs, Wn,'high');

freqz (a, b).

n = 6.

Wn = 0.5000.

2. Расчет нормированного ФНЧ-прототипа.

Проектирование ЦФ может осуществляться как методами математического, так и методами эвристического синтеза. Математический синтез успешно используется для проектирования нерекурсивных ЦФ при линейном представлении аппроксимирующей функции. При этом аппроксимационная задача является линейной.

Для линейных задач разработаны эффективные процедуры решения (по крайней мере, численные).

Для рекурсивных ЦФ аппроксимационная задача является нелинейной, поэтому в каждом конкретном случае требуется разработка своего алгоритма решения. По этой причине при проектировании рекурсивных ЦФ используют эвристический синтез. Чаще всего синтез проводится по аналоговым нормированным ФНЧ-прототипам.

1) Получим аналитическое выражение передаточной функции ФНЧ — прототипа для одного из фильтров — выберем ФНЧ прототип Баттерворта 3-го порядка.

Обобщенная передаточная функция фильтров Баттерворта, Чебышева и эллиптических:

(1.1).

где коэффициенты F, Q, C, A_0k, (k = 1, r) табличные данные,.

(1.2).

Для фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка.

Q = 1, F = 1, A_0k = 1, C = 0,.

(1.3).

Подставим значения этих коэффициентов в выражение (1.1):

. (1.4).

Найдем значения коэффициентов в выражении (1.4).

(1.5).

(1.6).

(1.7).

2) Найдём полюсы передаточной функции s_pk по формуле:

(1.8).

Так как — комплексно-сопряжённое для, то имеем:

Подставим найденные значения в формулы (1.5) и (1.6).

(умножение комплексной величины на сопряжённую ей даёт единицу) Из формулы (1.7) найдем нормирующий множитель :

3) Получаем нашу передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа:

(1.9).

2.1 Расчет цифрового фильтра 1 способ.

1-ый этап — денормирование частоты в аналоговой области. В результате получаем передаточную функцию H (p) аналогового фильтра, частоты среза которого соответствуют заданным. Операция денормирования соответствует отображению комплексной S-плоскости в комплексную P-плоскость. При этом используется следующая замена аргумента:

При подстановке в выражение (1.1) получаем формулу:

.

где согласно Таблицы 3 «Методики»:

; ;

;

рад/с;

;

Подставим численные значения в выражения передаточной функции H (p) аналогового фильтра:

2-ой этап — дискретизация — в результате выполнения которого получают передаточную функцию ЦФ H (z). Операция дискретизации соответствует отображению комплексной P плоскости в комплексную Z-плоскость. При этом мнимая ось P-плоскости должна отображаться в единичную окружность Z-плоскости, а левая полуплоскость P-плоскости — во внутреннюю часть круга единичного радиуса Z-плоскости. Выполнение этих требований гарантирует сохранение селективных свойств и устойчивости фильтра при дискретизации.

.

Наиболее часто при дискретизации используют билинейное преобразование, в этом случае:

где — частота дискретизации.

Билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра в этой форме приводит к передаточной функции дискретного фильтра следующего вида:

Расчет коэффициентов по этой формуле идет в соответствии с таблицей 5 «Методики»:

;

;

;

;

;

;

2.2 Расчет цифрового фильтра 2 способ.

Возможно также объединение этапов денормирования и дискретизации:

.

При этом получается двухэтапная процедура синтеза. Если для дискретизации используется билинейное преобразование, то процедура называется обобщенным билинейным преобразованием.

Формулы обобщенного билинейного преобразования приведены в таблице 7 и таблице 8 «Методики».

Таблица 2.1 (таблица 7 «Методики»).

Таблица 2 (таблица 8 «Методики»).

Найдем численные значения параметра преобразования и коэффициенты блоков передаточной функции:

(2.22),.

где — нормированная частота среза.

Следовательно,.

;

Сравним значения коэффициентов, полученные при расчете первым и вторым способом (таблица 4).

Таблица 2. Результаты вычислений а, b.

Расхождения в вычислениях можно объяснить тем, что при билинейном преобразовании происходит деформация частотной шкалы, описываемая выражением.

(где — «аналоговая», а — «цифровая» частота). Эта деформация должна учитываться на этапе синтеза ФНЧ-прототипа при задании частоты .

Для проверки точности наших вычислений получим коэффициенты передаточной функции цифрового фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка с помощью системы MatLab.

Напишем программу:

>> Fd=18 000;

fp=4500;

fs=4000;

Wn=2*(fp/Fd);

>> [b, a]=butter (3,Wn,'high').

Wn =0.5000.

Результат:

b = 0.1667 -0.5000 0.5000 -0.1667.

a = 1.0000 -0.0000 0.3333 -0.0000.

Констатируем факт, что вычисления вторым способом (при совмещении этапов денормирования и дискретизации), привели к более точным вычислениям.

Подставляем полученные значения в выражение передаточной функции:

Таким образом получим передаточную функцию цифрового фильтра:

3. Расчет разрядности ОУ и регистров памяти.

Цифровые фильтры с заданной передаточной функцией можно построить различными способами. В любом реальном цифровом фильтре шумы и погрешности, появляющиеся при квантовании, существенно зависят от структуры фильтра.

Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью и откликом может быть записано в виде:

то есть текущий отсчет отклика определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.

Z-преобразование, соответствующее цифровому фильтру, можно выразить в виде дробно-рационального полинома от переменной z^-1, т. е.

причем (степени числителя и знаменателя одинаковы.).

Проведя вычисления запишем разностное уравнение для нашего случая:

В соответствии с полученным уравнением построим схему фильтра методом прямого построения.

4. Структурная схема спроектированного ЦФ.

Рисунок 1. Структурная схема фильтра верхних частот.

Вывод.

При выполнении работы по теме «Методы проектирования избирательных рекурсивных цифровых фильтров» были достигнуты цели:

1) приобретены навыки практической работы в системе MATHCAD и в системе MATLAB.

2) изучены математический аппарат и теоретические основы теории цифровой обработки сигналов (ЦОС);

3) изучены методы проектирования алгоритмов ЦОС.

4) практически отработаны методы и средства проектирования и проведены расчеты избирательных рекурсивных цифровых фильтров высоких частот.

1 Гадзиковский В. И. Основы теории и проектирования цифровых фильтров: Учебное пособие для радиотехнических специальностей вузов. — М.: высшая школа, 1996. — 256 с.: ил.

2 Гадзиковский В. И. Методы цифрового моделирования радиотехнических систем: Учебное пособие. — Екатеринбург: УГТУ, 1995. — 182 с.: ил.

3 Изучение методов проектирования избирательных рекурсивных цифровых фильтров: Методические указания к лабораторной работе по курсу цифровой обработки сигналов / В. И. Гадзиковский. — Екатеринбург: Уральский филиал СибГУТИ, 2001. — 20 с.