Определение пределов и производных
Несовпадение полученных результатов уже говорит о невыполнении условий непрерывности, и в точке имеет разрыв. С осью ОХ график функции пересекается в точке С осью ОУ график функции пересекается в точке (0;1,5). Т.к. полученные результаты совпадают, условие непрерывности выполняется и у непрерывна в точке =; Для раскрытия такого вида неопределенности можно воспользоваться следующей формулой… Читать ещё >
Определение пределов и производных (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Контрольная работа № 8
Выполнила студентка группы ДЭФ-101
Васильева Кристина
Задание № 58
Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя):
А) Найти:
Решение При х>? числитель и знаменатель этой дроби являются бесконечно большими функциями, такое отношение, условно обозначаемое символом, представляет собой неопределенность, для раскрытия которой нужно провести преобразования.
Разделим числитель и знаменатель почленно на наивысшую в данной дроби степень х (на):
Замечание:
;; представляют собой бесконечно малые функции при х>?, т. е. их пределы равны 0.
Б) Найти:
Решение:
Для раскрытия такого вида неопределенности [] сделаем следующие преобразования:
В) Найти:
Решение:
Для раскрытия такого вида неопределенности [] сделаем следующие преобразования:
Г) Найти:
Решение:
Для раскрытия неопределенности [] сделаем следующие преобразования:
При вычислении заданного предела мы воспользуемся следующим результатом, называемым «первым замечательным пределом»:
При этом под б подразумевается любая бесконечно малая функция.
Д) Найти:
Решение:
Неопределенность представляет собой вид [], т.к.:
Для раскрытия такого вида неопределенности можно воспользоваться следующей формулой:
=(
Задание № 68
Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции:
y=
Исследуем непрерывность функции в точке =;
т.к. полученные результаты совпадают, условие непрерывности выполняется и у непрерывна в точке =;
Исследуем непрерывность функции в точке
Несовпадение полученных результатов уже говорит о невыполнении условий непрерывности, и в точке имеет разрыв.
Схематический график (рис.1)
Задание № 78
Найти производные:
А) у =
= 3(
Б) у =
В)
Г)
Д)
Правило вычисления производной функции, заданной неявно, заключается в том, что дифференцируют левую и правую часть равенства в предположении, что у есть функция от х:
(
Задание № 88
Найти и для функции, заданной параметрически:
Задание № 98
предел график производный дифференциальный Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:
А)
Функция определена при всех значениях х.
С осью ОХ график функции пересекается в точке С осью ОУ график функции пересекается в точке (0;1,5)
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция не является периодической.
Функция непрерывна, т.к. определена при всех значениях Х.
Вертикальных асимптот нет.
Находим горизонтальные и наклонные асимптоты.
то наклонных и горизонтальных асимптот нет.
Находим производную данной функции:
В интервале (;
В интервале (-1;3) функция убывает.
В интервале (3; функция возрастает.
Х=-1 точка максимума Х=3 точка минимума Находим вторую производную функции:
точка перегиба
x | (; | — 1 | (-1;3) | (3; | ||
; | ||||||
; | ; | — + | ||||
y | Вып. | 2,5 max | Вып. | — 3,9 min | Вып. | |
Схематический график (рис.2)
Б)
Область определения (;
С осью ОХ график функции пересекается в точке (
С осью ОУ график функции пересекается в точке (0;1,5)
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. область определения не симметрична.
Функция не является периодической.
На интервале (- функция непрерывна.
Вертикальные асимптоты:
вертикальная асимптота
Ищем наклонные асимптоты:
=
наклонная асимптота.
Находим производную данной функции:
=
В интервале (функция убывает.
В интервале (-3;-2) функция возрастает.
В интервале (-2; -1) функция возрастает.
В интервале (-1; функция убывает.
Находим вторую производную функции:
выпукла вниз
х | ( | — 3 | (-3;-1) | — 1 | — 2 | (-1; | |
; | ; | ||||||
; | ; | ; | ; | ; | |||
y | Вып. | 6 min | Вып. | 2 max | Верт.асимп. | Вып. | |
Схематический график (рис.3)
Задание № 108
Найти частные производные функции: