Основы теории цепей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.О. СУХОГО КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к курсовой работе по дисциплине «Информатика»

на тему: «Основы теории цепей»

Исполнитель студент

Гулаев А.А.

Руководитель преподаватель Самовендюк Н.В.

Гомель 2011

Содержание Введение

1. Теоретические сведения

1.1 Определения, свойства и классификация математических моделей

1.2 Возможности системы MathCAD

1.3 Краткие сведения по электротехнике

1.4 Web-технологии, основные понятия и теги

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Описание математической модели. Анализ исходных данных и результатов

3. Графическая схема алгоритма и её описание

4. Описание документа MathCAD

5. Строим сводный график

Заключение

Список использованных источников

Приложение, А Распечатка документа Mathcad

Приложение Б Распечатка web-сайта

Введение

Компьютерная революция, свершившаяся на наших глазах в течении двух последних десятилетий не могла не затронуть систему народного образования. Рассматривая положение, которое в этой системе занял персональный компьютер, мы должны, прежде всего, отметить уникальность этого положения. С одной стороны, он стал естественным объектом учебного процесса, а с другой стороны — сам явился ценным техническим средством обеспечения общего процесса образования. На ЭВМ хорошо решаются дифференциальные уравнения.

В деятельности инженера компьютер стал необходимым инструментом, позволяющим осуществлять весь спектр повседневных расчетов. Благодаря своей возможности проводить большое число вычислений за короткое время, компьютер позволил современному инженеру значительно усложнить методику расчетов, охватить большее количество параметров, ускорить внедрение. Применение ЭВМ ликвидирует рутинные, нетворческие этапы проектирования, но при этом усиливаются значение неформальных элементов — оценки результатов, принятие решений и др. Умением применять программные средства должен обладать каждый современный инженер.

1. Теоретические сведения

1.1 Определения, свойства и классификация математических моделей Моделирование, как важная часть производства, незаменима на стадии проектирования технических объектов.

Моделирование — процесс замещения объекта при исследовании некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель — это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Существует два вида моделирования: предметное и абстрактное.

При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Одним из основных компонентов системы проектирования становится математическая модель. Математическая модель — совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих важнейшие для проектировщика свойства объекта.

Существуют также функциональные модели. Они описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений, учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза.

По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные — на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический «чёрный ящик» .

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа. Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.

Если при моделировании учитываются инерционные свойства технического объекта и (или) изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической. В противном случае модель статическая.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма — последовательности вычислений.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних).

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п. [1]

1.2 Возможности системы MathCAD

математический модель алгоритм mathcad

MathCAD — это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования.

Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, MathCAD позволяют решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам.

Для решения дифференциальных уравнений в MathCAD введен ряд функций. Вначале остановимся на функциях, дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных в обычной форме Коши:

rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) — возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n — число шагов, k — максимальное число промежуточных точек решения, и s — минимально допустимый интервал между точками);

Rkadapt (y, x1, x2, n, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed (y, x1, x2, n, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.

Функция Rkadapt благодаря автоматическому изменению шага решения дает более точный результат. Естественно, по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя и не всегда — если решение меняется медленно, это может привести к заметному уменьшению числа шагов. Таким образом, функция Rkadapt наиболее привлекательна для решения систем дифференциальных уравнений, имеющих относительно медленно изменяющиеся решения. [2]

1.3 Краткие сведения по электротехнике Электротехника — это наука в техническом использовании электромагнитных явлений. Знания электротехники позволяет создавать и эксплуатировать электротехнические устройства.

Электрический магнитный объект с происходящими в нём и в окружающем его пространстве с физическими процессами в электротехнике принято заменять некоторым расчётом эквивалентно — электрической цепи.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи принято понимать разность потенциалов между крайними точками этого участка.

Электрический ток — представляет собой направленное движение вещества несущие заряд (в металле — электроны, в жидкостях и газах — ионы). Величина или сила током определяется количеством электричества (электрическим зарядом) протекающих через поперечное сечение проводника в единицу времени.

Электрический ток не изменяющийся по времени и направлению в течении сколь угодно промежутка времени называется постоянным. В противном случае переменным.

Первый закон Кирхгофа:

1. Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю.

2. Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов вытекающих из него.

Второй закон Кирхгофа:

1. Алгебраическая сумма падений напряжений в любом контуре замкнутой электрической цепи равна алгебраической сумму ЭДС входящих в этот контур.

2. Алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю.

Задачи теории электрических цепей могут быть разделены на два противоположных исходных данных и конечной цели. Задача анализа и анализ синтеза.

Целью анализа является расчёт электрических процессов заданных в цепях когда известна структура, конфигурация, топология цепи, параметры её элементов и требуется определить токи, напряжение, мощность отдельных её участков.

Целью синтеза является обратная задача, определение синтеза электрической цепи при которых электрический процесс будет подчинятся заданным закономерностям или будет изменятся в желательном для нас направлении. [3]

1.4 Web-технологии, основные понятия и теги Интернет Интернет — мировая (планетарная) компьютерная сеть. Она составлена из разнообразных компьютерных сетей, объединенных стандартными соглашениями о способах обмена информацией (протоколами) и единой системой адресации.

Протоколы Интернет Интернет использует протоколы семейства TCP/IP. Они хороши тем, что обеспечивают относительно дешёвую возможность надёжно и быстро передавать информацию даже по не слишком надёжным линиям связи, а также строить программное обеспечение, пригодное для работы на любой аппаратуре.

Система адресации Система адресации обеспечивает уникальными координатами каждый компьютер (точнее, практически каждый ресурс компьютера) и каждого пользователя Интернета, создавая возможность взять именно то, что нужно, и передать именно туда, куда нужно.

При написании гиперссылки можно ссылаться на услуги, предлагаемые в Интернете другими авторами, возможно с другого континента — навигатору расстояния не важны — был бы правильно указан адрес и работала бы связь! Так что Интернет-странички обычно испещрены взаимными ссылками, не признающими национальных и иных географических границ — настоящая Всемирная Паутина (World Wide Web — WWW).

Конечно, Интернет — небывалое творение, понимать и определять его можно по-разному и с разными целями. Hапример, фактически Интернет существовал и без HTML. Однако в своем современном виде он немыслим без гипертекста и связанных с ним мощных и удобных навигаторов. Именно гипертекст сделал Интернет доступным любому ребенку (а также взрослому, преодолевшему теперь уже совсем низкий психологический «компьютерный барьер»).

Имеются и другие мировые компьютерные сети, формально не входящие в Интернет, но связанные с ним посредством так называемых шлюзов (gateway). Hередко словом «Интернет» обозначают всю совокупность мировых компьютерных сетей — Сеть с большой буквы. [4]

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

С использованием системы MathCAD составить линейную схему замещения электрической цепи.

Рассчитать функции силы тока, напряжения и ЭДС в зависимости от времени по законам Кирхгофа. Построить графики полученных функций.

Найти общее сопротивление всей цепи и общий ток в цепи по закону Ома и сравнить полученные значения с расчетами, выполненными в п. 2. Построить графики функций.

Рассчитать резонансную частоту и исследовать влияние изменяемого параметра-частоты на амплитуду силы тока. Построить графики полученных функций.

Сделать выводы по результатам расчетов.

Создать Web-сайт, в котором должны быть представлены полученные результаты.

2.2 Описание математической модели. Анализ исходных данных и результатов

Расчетная схема представляет собой цепь синусоидального тока

Рисунок 2.1- Цепь синусоидального тока

В соответствии с законом Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжения на всех элементах контура равна ЭДС источника. Поэтому математическая модель цепи синусоидального тока имеет вид системы дифференциальных уравнений Напряжение изменяется с частотой и амплитудным значением Um

Исходными данными являются:

Um, В — параметр напряжения

L, мГн — индуктивность цепи

C, мкФ — емкость конденсатора

R, Ом — сопротивление щ, рад/с — угловая скорость

Решением является:

I5, Ic, I3 — сила тока участков цепи

E (t) U (t) I (t) — функции ЭДС, напряжения и силы тока Все данные должны быть представлены в виде векторов и построены графические зависимости данных векторов от времени.

Выбираем блочный метод для решения систем линейных уравнений при помощи стандартных функций пакета Mathcad.

3. Графическая схема алгоритма и ее описание

Рисунок 3.1- Графическая схема алгоритма

Графическая схема алгоритма, изображенного на рисунке 3.1 имеет вначале линейный тип зависимости: ввод исходных данных, создание базовой модели, решение дифференциального уравнения и построение графиков функций сил тока по законам Кирхгофа и Ома, а затем циклический тип зависимостиисследование влияния частоты на амплитуду силы тока решение уравнений для 10 опытов, построение графика влияния частоты на амплитуду силы тока и аппроксимация полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.

4. Описание документа Mathcad

Создадим базовую модель.

Зададим исходные данные и найдем общее сопротивление цепи

При решении дифференциального уравнения нужно создать вектор начальных условий из двух элементов v, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, (0 0), количество точек, в которых ищется решение — 1000, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения — D

В результате получаем функцию тока Iс

Строим графики функций силы тока в зависимости от времениПриложение А, рисунок А.1.

По закону Ома определяем общий ток в цепи. На одном графике строим функции общего тока, рассчитанные по закону Кирхгофа и символическим методом — Приложение А, рисунок А.2.

Далее проводим семь опытов, в которых, изменяя щ, находим амплитудные значения тока. Используя блочный метод решения уравнения находим Imax. Строим графики полученных функций — Приложение А, рисунки А.3-А.10.

Затем подбираем аппроксимирующую функцию с помощью полинома третьей степени и уточняем резонансную чатоту — Приложение А, рисунок А.11

5. Строим сводный график

Исходя из совпадения данных графиков можно сделать вывод, что расчёты были проведены верно.

Заключение

В данной работе проводилось исследование электрической цепи синусоидального тока. Было определено различными методами значение общего тока и построены графики, подтверждающие правильность расчётов. Далее мы вычислили резонансную частоту путём проведения восьми опытов. При этом в цепи наблюдали максимальное значение тока и использую полином третьей степени построили аппроксимирующую функцию. По этой функции уточнили значение резонансной частоты. В заключении был создан Web-сайт по данной курсовой работе.

Список использованных источников

1 Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов 2-е изд., испр. и доп./В.П. Тарасик — Мн.:Дизайн-ПРО, 2004;604с

2 Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO: Универсальная система математических расчетов. — М.: СК Пресс, 1998;320с

3 Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.

4 Асенчик О. Д. Подготовка Web-страницГомель: ГГТУ им. П. О. Сухого, 2004;32с.

Приложение, А РАСПЕЧАТКА MATHCAD

Составим базовую модель для решения дифференциального уравнения

График зависимости значения тока от времени

Рисунок А.1 — График зависимости силы тока, найденной по закону Кирхгофа

Находим общий ток в цепи по закону Ома и сравниваем его с общим током найденным по закону Кирхгофа

Исследуем влияние частоты на амплитуду силы тока

Рисунок А.2 — График зависимости сил общего тока, найденных по закону Кирхгофа и закону Ома

Рисунок А.3 — График зависимости общего тока при w=600

Опыт 3

Рисунок А.5 — График зависимости общего тока при w=1800

Опыт 5

Опыт 7

Сведем полученные значение амплитуд тока в вектор

Делаем апроксимацию полученных значений силы тока от частоты и строим график

Приложение Б Распечатка web-сайта

Главная

Задача

Графическая схема

Модель

Исследования

Заключение