Основы теории цепей

1. Способы представления и параметры

2. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока

3. Алгебра комплексных чисел

4. Символический метод

5. Законы цепей в символической форме Список литературы

1. Способы представления и параметры

Переменный ток (напряжение) — это ток (напряжение), изменяющийся во времени либо по величине, либо по направлению, либо и по величине и по направлению. Частным случаем переменного тока является периодический ток.

Минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются мгновенные значения в том же порядке, называется периодом T с функции.

Синусоидальные токи и напряжения — это частный случай периодических токов и напряжений:

Величину обратную периоду называют частотой: Гц.

Периодические токи и напряжения характеризуются:

— амплитудным значением (I_m, U_m) — максимальным значением за период;

— средним значением (I_{0 ,}, I_СР , U_{0 ,}, U_СР)

;

— средневыпрямленным значением (I_{ср. в.}, U_{ср. в.})

;

— действующим значением (I, U, Е, J).

Действующим значением периодического тока называется такая величина постоянного тока, которая за период оказывает такое же тепловое действие, что и периодический ток.

Пусть тогда мгновенная мощность переменного тока:

.

Энергия, выделяющаяся за период в сопротивлении

.

Пусть по тому же сопротивлению R протекает постоянный ток, тогда мгновенная мощность постоянна:

.

Приравнивая энергии и, получим величину постоянного тока, оказывающего такое же тепловое действие, что и периодический ток, т. е. действующее значение периодического тока:

.

Аналогично записывают формулу для действующего значения напряжения.

Активная мощность Р — это среднее значение мгновенной мощности за период:

.

Наиболее распространенным периодическим током является синусоидальный ток. Это связано с тем, что периодические сигналы, встречающиеся в электротехнике, можно представить в виде суммы синусоидальных функций кратных частот (ряд Фурье) и синусоидальный режим является наиболее экономичным режимом в цепях (минимальные потери).

В стандартной форме синусоидальные токи и напряжения записывают следующим образом:

и

— и — амплитудные значения,

— - называется фазой и показывает состояние, в котором находится изменяющаяся величина.

— - угловая частота,

— - начальная фаза, т. е. фаза в момент начала отсчета времени. На графике начальную фазу определяют от момента перехода синусоиды с отрицательных значений к положительным до начала координат.

Два колебания одинаковой частоты совпадают по фазе, если у них одинаковые начальные фазы; сдвинуты по фазе, если у них разные начальные фазы. Синусоида с большей начальной фазой опережает синусоиду с меньшей начальной фазой. Если сдвиг фаз равен говорят, что синусоиды в противофазе. Если сдвиг фаз, то синусоиды в квадратуре.

Для синусоидальных колебаний имеем:

Интеграл от второго слагаемого =0 (см. вывод среднего значения).

В цепях синусоидального тока и напряжения мощность в каждый момент времени различна. Поэтому из равенства теплового действия выводят понятие активной мощности Р.

2. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока

Пусть через каждый элемент протекает синусоидальный ток .

Тогда, согласно компонентным уравнениям и с учетом синусоидальности тока получаем:

;

;

Напряжения на элементах в цепи синусоидального тока так же синусоидальны и имеют ту же частоту, но другие амплитуды и начальные фазы. Учитывая стандартную запись напряжения, получаем

Напряжение на сопротивлении совпадает с током по фазе, напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰, напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰.

Определим мгновенную и активную мощности на каждом элементе:

;

;

.

для R

для L

для C

Таким образом, мгновенная мощность во всех элементах изменяется с двойной частотой тока. Однако мгновенная мощность в сопротивлении R содержит еще постоянную составляющую, поэтому активная мощность получается больше нуля. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют: половину периода мощность поступает от внешней цепи, а во вторую половину периода эти элементы отдают мощность во внешнюю цепь. В те моменты времени, когда индуктивность потребляет активную мощность, емкость генерирует её и наоборот.

Так как сопротивление R потребляет активную мощность, то его называют активным сопротивлением. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют, поэтому их называют реактивными сопротивлениями и обозначают соответственно Oм и Oм.

Для расчета режима в цепи синусоидального тока можно записать систему уравнений по законам Кирхгофа, используя полученные соотношения между напряжением и током на элементах. Это будет система тригонометрических уравнений. Уравнения будут содержать синусоиды различной амплитуды и начальной фазы и необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный метод анализа режимов цепей синусоидального тока — метод комплексных величин или символический метод.

3. Алгебра комплексных чисел

Комплексным числом называют пару чисел, изображающих вектор на комплексной плоскости. Будем изображать комплексное число заглавной буквой с чертой внизу (). Вводится мнимая единица:

Комплексное число может быть представлено в разных формах:

— показательная форма: — это вектор на комплексной плоскости, где — длина (модуль) вектора, — аргумент или фаза. Фазу всегда отсчитывают против часовой стрелки от положительного направления вещественной оси;

— алгебраическая форма: — это точка на комплексной плоскости, где — координаты по вещественной и мнимой осям, причем:

,

если ,

=

если <.

Переход от одной формы записи комплексного числа к другой:

.

Складывать комплексные числа предпочтительно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма:

Вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма (вектор разности направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого):

Умножать и делить комплексные числа удобнее в показательной форме:

; .

Комплексные числа, не зависящие от времени, обозначают заглавными буквами с чертой внизу:, а комплексно сопряженные им числа обозначают еще и звездочкой сверху: это числа, у которых та же вещественная часть, а мнимая с обратным знаком.

Комплексные числа, которые являются функциями времени, обозначают заглавными буквами с точкой сверху:, а комплексно сопряженные им числа обозначают заглавными буквами со звездочкой сверху: это числа, у которых тот же модуль, но фаза с обратным знаком.

Так как, то умножить комплексное число на j это значит, не изменяя его модуля, увеличить фазу на 90⁰ или повернуть соответствующий вектор на 90⁰ против часовой стрелки. Разделить на j - наоборот:

.

4. Символический метод

Пусть есть комплексное число с линейно изменяющимся во времени аргументом:. На комплексной плоскости это число представляет неизменный по длине вектор, вращающийся против часовой стрелки с постоянной скоростью .

Любую синусоидальную функцию времени можно представить в виде проекции на вещественную или мнимую ось соответствующего вращающегося вектора.

Проекция вектора на мнимую ось дает синусоидально изменяющуюся функцию времени:

Вводят специальное обозначение (символы):

— комплекс амплитудного значения тока или

— комплекс амплитудного значения напряжения. Они содержат информацию об амплитуде и начальной фазе синусоидального колебания.

Комплекс амплитудного значения деленный на, дает комплекс действующего значения:

и .

Комплекс амплитудного или комплекс действующего значения позволяют перейти к мгновенному значению, например:

;

.

5. Законы цепей в символической форме

1. Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.

Подставим вместо каждого мгновенного значения тока его представление в виде комплекса амплитудного значения, тогда .

Так как в любой момент времени нулю равна сумма проекций вращающихся векторов, следовательно, нулю должна равняться сумма самих вращающихся векторов, т. е. получим. Так как, то сократим на нее и получим .

Алгебраическая сумма комплексов амплитудных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.

Поделив на, получим первый закон Кирхгофа для комплексов действующих значений.

2. Второй закон Кирхгофа

После аналогичных преобразований получим:

или .

Алгебраическая сумма комплексов амплитудных (действующих) значений напряжений на всех элементах контура, кроме ЭДС равна алгебраической сумме комплексов амплитудных (действующих) значений ЭДС этого же контура.

Однако для самих амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа не выполняются.

1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С. М. Милюков, В. П. Рынин; Под ред. В. П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с., 2004. 20 с. (№ 3282, № 3624)

3. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В. Н. Зуб, С. М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с.

4. Теоретические основы электротехники. / Г. И. Атабеков, С. Д. Купалян, А. В. Тимофеев, С. С. Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.

5. М. Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.