Основы механики

1. Движение материальной точки задано уравнением, где;. Определить момент времени, в который скорость точки. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики координаты, пути, скорости и ускорения этого движения.

Дано:, , .

Найти: t, x, a.

Решение: Мгновенная скорость — первая производная пути по времени:

из формулы видно, что скорость изменяется линейно и движение равноускоренное. Скорость точки будет равна нулю :

Откуда время остановки:

.

Координата точки в этот момент времени:

.

Ускорение — первая производная скорости или вторая производная пути по времени: .

Графики координаты и пути одинаковы (до):

2. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время 2 уменьшило свою частоту от до. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за это время.

Дано:, , .

Найти:, N.

Решение: Угловое ускорение — изменение угловой скорости в единицу времени:

Зная угловую скорость:

и

найдем угловое ускорение:

.

Так как движение равнозамедленно, то угол поворота:

С другой стороны угол поворота и тогда выразим число оборотов:

.

Без промежуточных расчетов:

Угловое ускорение — изменение угловой скорости в единицу времени:

Зная угловую скорость:

и

найдем угловое ускорение:

.

Так как движение равнозамедленно, то угол поворота:

С другой стороны угол поворота и тогда выразим число оборотов:

.

3. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы с массами и. На какое расстояние опустится больший груз за .

Дано:, , .

Найти: S.

Решение: Так как второй груз по массе больше, чем первый, то он соответственно будет двигаться вниз, а первый вверх с таким же ускорением. (Так как о блоке ничего не сказано, считаем его неподвижным и силы натяжения нити по разные стороны блока считаем одинаковыми). Проекции сил на вертикальную ось OY, действующие на каждый груз по II закону Ньютона, будут:

Откуда выразим силы натяжения нитей:

Так как силы натяжений равны с каждой стороны блока, то:

Откуда выразим ускорение груза:

.

С этим ускорением груз за 2 секунды переместился на:

.

ускорение угловой инерция оборот

4. Нить с привязанными к ее концам грузами массами m=50г и m=60г перекинута через блок диаметром D=4см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение =1,5рад/с. Трением пренебречь.

Дано:, ,, .

Найти: J.

Решение: Так как второй груз по массе больше, чем первый, то он соответственно будет двигаться вниз, а первый вверх с таким же ускорением. Линейное ускорение грузов через угловое:

.

Проекции сил на вертикальную ось OY, действующие на каждый груз по II закону Ньютона, будут:

откуда выразим силы натяжения нитей:

По закону динамики вращательного движения:

.

Момент возникает из-за действия сил натяжения нитей по обеим сторонам блока и поэтому:

тогда уравнение примет вид:

Откуда выразим момент инерции блока:

.

Без промежуточных расчетов: Так как второй груз по массе больше, чем первый, то он соответственно будет двигаться вниз, а первый вверх с таким же ускорением. Линейное ускорение грузов через угловое:

.

Проекции сил на вертикальную ось OY, действующие на каждый груз по II закону Ньютона, будут:

откуда выразим силы натяжения нитей:

По закону динамики вращательного движения:

.

Момент возникает из-за действия сил натяжения нитей по обеим сторонам блока и поэтому:

тогда уравнение примет вид:

Откуда выразим момент инерции блока:

.

Подставив численные значения:

.