Планирование экспериментов по выяснению регрессивной зависимости

1. Определение характеристик случайной величины

1.1 Определение вида распределения

1.2 Построение графиков

1.3 Определение точечных и интервальных оценок

2. Составление плана эксперимента по выяснению регрессионной зависимости

2.1 Осуществление компьютерного эксперимента

2.2 Проведение статистической обработки результатов компьютерного эксперимента Заключение Список используемых источников Список используемых программных пакетов Приложение А

1. Определение характеристик случайной величины

1.1 Определение вида распределения Построим гистограмму по полученной выборке.

Из априорной информации известно, что программа генерирует выборки заданного объема для непрерывной случайной величины. При этом возможны распределения вида: нормальное, равномерное, экспоненциальное, Рэлея.

Полученная выборка приведена в Приложении А.

Построим гистограмму — рисунок 1, рисунок 2.

Рисунок 1 — гистограмма с ожидаемым распределением Рэлея Рисунок 2 — гистограмма с ожидаемым нормальным распределением По виду гистограммы можно предположить, что случайные величины в выборке распределены либо нормальному закону, либо по закону Рэлея.

Определим симметрично ли это распределение, с помощью критерия симметричности Кевуя.

В выборке имеются порядковые статистики Находим

= -29,9

Для б=0,05 квантиль стандартного нормального распределения равен

Так как

гипотеза симметрии отклоняется.

Следовательно, данная выборка не может быть распределена по нормальному закону.

Определим распределена ли выборка по закону Рэлея с помощью критерия Пирсона (критерий «хи-квадрат»)

Сформулируем гипотезы:

H: Fn (x) = R (a)

Выборка распределена по закону Рэлея

H: Fn (x)? R (a)

Выборка не распределена по закону Рэлея Интервал значений величины рассчитываем по формуле:

Где x_max — верхняя граница интервала;

x_min — нижняя граница интервала.

Определим число интервалов по формуле:

= 1+3,2*log (100) = 7,4

Где? — количество интервалов;

n — объем выборки.

Рассчитаем шаг по формуле:

Где? — количество интервалов В качестве критерия согласия принимают случайную величину (критерий «хи-квадрат»)

(5)

Где n_i — фактическая частота попадания в частичный интервал;

n_i* - теоретическая частота попадания в частичный интервал.

Теоретические частоты попадания в частичный интервал рассчитываем по формуле:

(6)

где n — объем выборки;

р_i*- теоретическая вероятность попадания случайной величины в частичный интервал.

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о распределении Рэлея генеральной совокупности с предполагаемой функцией распределения

()

необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение, оценить параметр a. Так как

и ,

следовательно можно получить систему для определения а* (а* - оценка параметра а).

Отсюда следует, что

~6

Теоретическая вероятность будет рассчитываться по формуле:

Где

()

и — границы интервалов.

Результаты расчетов фактической частоты попадания в частичный интервал и теоретической частоты приведены в таблице 1.

Таблица 1

Рассчитаем значение

= 5,96

По таблице критических точек распределения чІ найдем критическое значение.

Число степеней свободы k определяется по формуле:

k = m-n-1, где

m — число интервалов разбиения

n — число параметров предполагаемого распределения Распределение Рэлея характеризуется одним параметром а, следовательно,

k = 7 — 1 — 1 = 5.

при б=0,05 и при числе степеней свободы k=5 чІкр = 11,1

Так как чІ<�чІкр, следовательно нулевая гипотеза принимается, выборка распределена по Закону Рэлея.

1.2 Построение графиков График функции плотности распределения:

График теоретической функции распределения:

График эмпирической функции распределения:

Построим таблицу:

при, .

1.3 Определение точечных и интервальных оценок Определим точечные оценки:

В качестве оценки параметра, а будем считать величину а*, определяемую формулой:

= 6,28

В качестве оценки математического ожидания будем считать величину, определяемую формулой:

= 1,26

= 7,56

В качестве оценки дисперсии будем считать величину, определяемую формулой:

= 15,444

В качестве оценки СКО будем считать величину (х), определяемую формулой:

= 0,655

(х) = 3,93

В качестве оценки медианы будем считать величину М_е(х), определяемую формулой:

М_е(х) = = 1,117

М_е(х) = 6,702

В качестве оценки моды будем считать величину М_о(х), определяемую формулой:

М_о(Х) =

М_о(х) = 6

где — параметр распределения Определим интервальные оценки:

Для определения интервальной оценки параметра воспользуемся программным продуктом MATLAB 6.5.

Для определения доверительного интервала, в котором с вероятностью р = 0,95% находится параметр воспользуемся командой «[p, ci] = raylfit (x)», где x — исследуемая выборка. Параметр находится в границах 4,2202 < < 7,9658.

Выведем формулу для определения объема выборки:

где n — объем выборки;

— квантиль нормального распределения;

б — уровень значимости;

— абсолютная погрешность.

Зададим уровень значимости б = 0,05 и допустимую абсолютную погрешность = 0,115, тогда = 1,96, следовательно, объем выборки n = 290,48.

Анализ данных был проведен с допустимой абсолютной погрешностью = 0,115 и уровнем значимости б = 0,05.

случайный величина регрессионный зависимость

2. Составление плана эксперимента по выяснению регрессионной зависимости

2.1 Осуществление компьютерного эксперимента При помощи программы получаем данные для предложенного преподавателем варианта и формулируем задачу.

В химическом процессе выход продукта У (%) зависит от трёх факторов: температуры (X₁), давления (Х₂) и относительной влажности (Х₃). С помощью ПФЭ найти математическое описание процесса в окрестности точки факторного пространства с координатами:: Х_1min=5 °С, Х_1max=40 °С, Х_2min=0,9 атм_, Х_2max=1,1 атм_, Х_3min=0,1, Х_3max=1,0.

Для упрощения обработки результатов эксперимента, произведем кодирование значений факторов по формулам:

х_i^* =(x_i — x_0i)/?x_i,

x_0i = (x_i min + x_i max)/2,

?x_i = (x_i max — x_i min)/2.

где — натуральное значение i-го фактора;

— натуральное значение основного уровня (центра плана по фактору);

?x_i — интервал варьирования фактора;

— кодированный нормированный безразмерный фактор, который принимает значения .

В результате такого кодирования получим матрицу спектра плана в безразмерных величинах

Построим матрицу планирования, используя третий прием, который основан на правиле чередования знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце чередуются через 2, в третьем — через 4

Исходя из матрицы планирования, получим следующие результаты эксперимента, представленные в таблицы 5

Таблица 5

Выход продукта в процентах

Определим уравнение регрессии первого порядка.

Формула для определения коэффициентов соответствующего уравнения регрессии первого порядка:

Y = ₀f₀(x₁…x_m)+ ₁f₁(x₁…x_m)+ …+_pf_p+е

O1=0,125(-y1+y2-y3+y4-y5+y6-y7+y8)

O2=0,125(-y1-y2+y3+y4-y5-y6+y7+y8)

O3=0,125(-y1-y2-y3-y4+y5+y6+7+y8)

O12=0,125(y1-y2-y3+y4+y5-y6-y7+y8)

O13=0,125(y1-y2+y3-y4-y5+y6-y7+y8)

O23=0,125(y1+y2-y3-y4-y5-y6+y7+y8)

O123=0,125(-y1+y2+y3-y4+y5-y6-y7+y8)

2.2 Проведение статистической обработки результатов компьютерного эксперимента Для удобства перепишем таблицу в следующем виде:

Ycp — среднее значение выхода продукта по строчкам

SiІ - оценки дисперсий по строкам, по следующей формуле Где l — количество измерений при данном опыте, l=5

Построим расширенную матрицу планирования, используя третий прием построения

Проверим однородности дисперсий по критерию Кохрена.

Определим оценки дисперсий по строкам, по следующей формуле

(l = 5)

Вычислим сумму дисперсий строк:

= 42,90 239

Для проверки равноточности необходимо выбрать самую большую из построчных дисперсий и вычислить G — критерий:

=11,7431 (опыт № 6)

G=11,7431/42,90 239=0,2737

Если, где — табличное значение критерия при числе степеней свободы н1=l-1 и н2= n (количество опытов), то опыты равноточные.

Для уровня значимости 0,05 табличное значение Кохрена равно G (4,8)= 0.391

G

Тогда общая оценка дисперсии воспроизводимости определяется по формуле:

= 42,90 239/8 = 5,36 279

Рассчитаем коэффициенты в уравнении регрессии по формулам:

b0 = 1/8 (0,856 156 — 66,2496 + 5,518 556 — 65,3409 + 6,208 154 — 64,2793 +

10,22 954 — 63,2899) = -29,543

b1 = 1/8(- 0,856 156 — 66,2496 — 5,518 556 — 65,3409 — 6,208 154 — 64,2793 ;

10,22 954 — 63,2899) = -35,247

b2 = 1/8(-0,856 156+66,2496+5,518 556−65,3409 — 6,208 154 + 64,2793 +

10,22 954 — 63,2899) = 1,323

b3 = 1/8(- 0,856 156 + 66,2496 — 5,518 556 + 65,3409 + 6,208 154 — 64,2793

+ 10,22 954 — 63,2899) = 1,761

b12 = 1/8 (0,856 156 + 66,2496 — 5,518 556 — 65,3409 + 6,208 154 + 64,2793 ;

10,22 954 — 63,2899) = -0,848

b13 = 1/8 (0,856 156 + 66,2496 + 5,518 556 + 65,3409 — 6,208 154 — 64,2793 ;

10,22 954 — 63,2899) = -0,755

b23 = 1/8 (0,856 156 — 66,2496 — 5,518 556 + 65,3409 — 6,208 154 + 64,2793 +

10,22 954 — 63,2899) = -0,07

b123 = 1/8 (- 0,856 156 — 66,2496 + 5,518 556 + 65,3409 + 6,208 154 +

64,2793 — 10,22 954 — 63,2899) = 0,09

Предварительно математическая модель процесса будет выглядеть следующим образом:

Y^*= -29,543 — 35,247x₁ + 1,323x₂ + 1,761x₃ — 0,848x₁x₂ — 0,755x₁x₃ ;

0,07x₂x₃ + 0,09x₁x₂x₃

Оценим значимость коэффициентов, для этого определим дисперсию коэффициентов:

SІbi=SІe/N=5,36 279/8=0,6703

Для оценки погрешности (доверительного интервала) коэффициентов найдем табличное значение критерия Стьюдента для доверительной вероятности 0.95 и числа степеней свобод

н=(l — 1) n=32

Табличное значение критерия Стьюдента: t_0.95,32 = 1,69. Тогда доверительный интервал коэффициентов равен:

b_i = t_{p, f} = 1,69 = 1,38

Сравним коэффициенты с дисперсией коэффициентов:

|b_o| = 29,543 > b_i — коэффициент значим

|b₁| = 35,247 > b_i — коэффициент значим

|b₂| = 1,323 > b_i — коэффициент значим

|b₃| = 1,761 > b_i — коэффициент значим

|b₁₂| = 0.848 > b_i — коэффициент значим

|b₁₃| = 0,755 > b_i — коэффициент значим

|b₂₃| = 0,07 < b_i — коэффициент незначим

|b₁₂₃| = 0,09 < b_i — коэффициент незначим Отбросив (приравняв нулю) незначимые коэффициенты, получим уравнение связи между откликом у и факторами :

Y^*= -29,543 — 35,247x₁ + 1,323x₂ + 1,761x₃ — 0,848x₁x₂ — 0,755x₁x₃

Проверим модель на адекватность. Для проверки адекватности полученной математической модели производится оценка дисперсии адекватности:

d — число значимых коэффициентов в уравнении Для того, чтобы оценить дисперсию адекватности, заполним таблицу:

Найдем оценку дисперсии адекватности:

S²_ад= 1/(8−6)*1,104 359 = 0,55 218

Для проверки модели на адекватность воспользуемся критерием Фишера:

Найдем значение критерия Фишера

F=SІад/SІe=0,55 218/5,36 279= 0,103

Найдем табличное значение критерия Фишера для уровня значимости 0.05 и чисел степеней свобод:

н1 = n — d=2, н2 = n (l — 1)=32

Fтабл. = 3,294

F_расч. < F_табл., из этого следует, что модель адекватна.

После того как мы убедились в адекватности модели стоит произвести ее раскодировку, для этого вместо x₁ подставим выражение (x₁ — 22,5)/17,5, вместо x₂ — выражение (x₂ — 1)/0,1, а вместо x₃ подставим выражение (x₃ — 0,55)/0,45. Благодаря этому, из первоначальной модели:

Y^*= -29,543 — 35,247x₁ + 1,323x₂ + 1,761x₃ — 0,848x₁x₂ — 0,755x₁x₃

получим следующую модель:

Y = - 29,543 — 35,247 ((x1 — 22,5)/17,5) + 1,323((x2 — 1)/0,1) + 1,761 ((x3 ;

0,55) / 0,45) — 0,848 (((x1 — 22,5) / 17,5)*((x2 — 1)/0,1))) — 0,755(((x1 ;

22,5)/17,5))*((x3 — 0,55) / 0,45))).

После преобразований получим:

Y=-11,709−1,48×1+24,13×2+6,07×3−0,49x1x2−0,09x1x3

Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы был составлен план по определению характеристик случайной величины. Был определен вид распределения случайной величины — распределение Рэлея, это было подтверждено с помощью критерия Пирсона. Также получены интервальные и точечные оценки параметров распределения. Так как я воспользовалась критерием Пирсона, следовательно, объем выборки я взяла n=100. В дополнении была получена формула для определения объема выборки с заранее заданной абсолютной погрешностью, равно 0,115, и уровнем значимости, равным 0,05. Согласно этой формуле необходимый нам объем выборки для заданной точности составляет n=290.

Во втором задании курсовой работы был проведен компьютерный эксперимент по выяснению регрессионной зависимости между тремя факторами и выходом продукта в химическом процессе. Была построена матрица планирования для определения порядка сбора данных эксперимента. Затем были определены коэффициенты уравнения регрессии первого порядка. Далее была проведена статистическая обработка результатов эксперимента. Была построена расширенная матрица планирования, с помощью которой мы смогли рассчитать коэффициенты в уравнении регрессии. Была получена предварительная модель уравнения связи между откликами и выходом продукта. С помощью критерия Фишера было определено, что полученная модель является адекватной.

Список использованных источников

1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 816 с.

2. Е. И. Короткова. Планирование и организация эксперимента. Учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2003, 92с.

3. http://vm.psati.ru/online-tv/page-20.html

4. http://matlab.exponenta.ru/statist/book2/1/binofit.php

Список используемых программных пакетов

1. STATISTICA

2. MathCAD 2001i Professional

3. Microsoft Excel

4. Matlab 6.5

Приложение А

Выборка