Доказательство теоремы подробно рассмотрено в [6].
Остановимся далее на рассмотрении ряда важных свойств.
Выведем формулу плотности распределения следующего случайного вектора
Данный вектор является образом гауссовского случайного вектора:
с независимыми компонентами при отображении
Отображение A задается треугольной матрицей с единичным определителем.
Распределение имеет следующий вид:
а после замены переменных будет:
3. Обобщенные винеровские процессы
Обобщенный винеровский процесс (процесс дробного броуновского движения) с параметром α, αϵ (0, 2], определяется как гауссовский процесс w (t) с нулевым средним и корреляционной функцией, определяемой формулой:
Очевидно, что для обобщенного винеровского процесса выполнено wа (0) = 0, и Dwа (t) = -t-а.
При α = 1 получается «обыкновенный» винеровский процесс:
При α → 0 процесс стремится к белому шуму, а при α = 2 выполнено K2(t, s) = ts и реализации процесса являются прямыми линиями.
Имеют место следующие представления:
Здесь z (λ) — комплексный стандартный винеровский процесс, а ξ(λ), η(λ) — независимые вещественные стандартные винеровские процессы:
Для α = 1 константа A равна 1, а в общем случае она определяется из равенств:
Процесс авторегрессии
Одной из широко используемых моделей СП на практике является процесс авторегрессии (модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии описывает механизм порождения ряда следующим образом:
Xt = a Xt — і + St, t = 1, …, n,
где st — процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию oS ,
X0 — некоторая случайная величина, а — некоторый постоянный коэффициент.
При этом E (Xt) = a E (Xtі), так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если E (Xt) = 0 для всех t = 0, 1, …, n.
C помощью уравнения модели авторегрессии описывается связь между текущим отсчетом и предыдущими отсчетами дискретного случайного процесса:
где — коэффициенты авторегрессии;
— порядок модели авторегрессии;
— текущее значение отсчета случайного процесса;
— независимые отсчеты СП (белый шум).
Для большей наглядности распишем уравнение АР для нескольких порядков:
.
На основании уравнения авторегрессии можно синтезировать цифровой генератор процесса АР:
Перепишем уравнение модели авторегрессии в виде:
.
и синтезируем на основании полученного выражения обеляющий фильтр (ОФ) модели АР.
Основное назначение ОФ состоит в декорреляции коррелированного СП. Если на вход такого фильтра подать информационный сигнал, то на выходе получаем некоррелированный случайный процесс типа белого шума лишь в том случае, если параметры обеляющего фильтра будут соответствовать статистике входного сигнала.
Рассмотрим применимость модели АР для моделирования НЧ и ВЧ процессов:
Для порядка модели уравнение АР записывается в виде:
.
В идеальном случае ошибка. Тогда
.
В случае низкочастотного процесса, поскольку амплитуда сигнала медленно изменяется во времени и соседние отсчеты как правило имеют одинаковый знак.
В случае высокочастотных процессов Как видно на рисунках, даже при порядке модели АР, уже можно описывать простейшие спектры сигналов. В дальнейшем будет показано, что моделью АР второго порядка можно описать спектр вида:
Необходимо заметить, что чем сложнее по своей форме спектр входного сигнала, тем больший порядок модели АР требуется для его точного описания.
Итак, параметрами обеляющего фильтра (ОФ) и генератора процесса авторегрессии являются порядок модели АР, т. е. число звеньев фильтра, а также коэффициенты модели АР (коэффициенты усиления цифрового фильтра).
Заключение
Все наблюдаемые процессы, которые характеризуют физические, природные, экономические, политические и иные явления, в самом общем виде можно классифицировать как детерминированные и случайные. Подобный подход позволяет полагать одни характеристики важными, другими характеристиками пренебрегать, выполнять расчеты и прогнозы. В свете этого знания о случайных процессах, возможности их применения и моделирования становятся чрезвычайно важными.
Цель данной работы состояла в том, чтобы изучить винеровские случайные процессы и процессы авторегрессии. Для достижения цели был определен круг задач и сформирована литературная база источников; в ходе работы приведены формулы и вероятностные характеристики процессов. Подводя итоги, можно отметить, что цель работы достигнута, задачи решены. Более того, нельзя не сказать о практической ценности проведенного исследования — данная работа может быть полезна студентам, изучающим теорию случайных процессов, в качестве методического пособия по ее основам.
Артамонов Н. В. Теория случайных процессов. М., МГИМО, 2008 — 108 с.
Булинский А.В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов, 2005 — 436 с.
Леванова Д.С., Щербаков В. И., Хрущева И. В. Основы математической статистики и теории случайных процессов. М., Лань — 336 с.
Броуновское движение (винеровский процесс). Белый шум. [Электронный ресурс] ;
http://studopedia.net/8_32 866_brounovskoe-dvizhenie-vinerovskiy-protsess-beliy-shum.html
Винеровский процесс. [Электронный ресурс] ;
http://ofim.oscsbras.ru/~klokov/probability/simulations/wiener.htm
Колесников А.В. ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Смирнова В. А. Распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом. [Электронный ресурс] ;
http://fizmathim.com/raspredelenie-funktsionalov-ot-vinerovskogo-protsessa-s-lineynym-snosom#ixzz3M8qspYuH
