Π‘ΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅ R
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈΠ· Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ mixsmsn ΠΊ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ. ΠΡΠΎ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅ R (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ³Π»Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ»Π°Π²Π° 1. ΠΠ±Π·ΠΎΡ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
1.1 EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ FMM
1.2 ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ R Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° FMM
ΠΠ»Π°Π²Π° 2. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
2.1 ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°
2.2 ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π°ΡΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠ»Π°Π²Π° 3. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²
3.1 ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅
3.2 Π Π΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ. Π‘ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ (Finite Mixture Model — FMM). Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ², ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠΈ, Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΡΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΡΡΠΊΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΆΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ Ρ Π²ΠΎΡΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π² Π°Π½Π³Π»ΠΎΡΠ·ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Expectation-Maximization (EM).
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈΠ· ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ R. Π Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΈ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ·ΡΠΊ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ R ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±Π°ΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ R Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π°ΡΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ — ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ: ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡΠΌ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π² R, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΎΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π°Π΄Π°ΠΏΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ΅Π΄ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ½Π³ΠΎΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΉ.
Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Π°Π²Π° 1. ΠΠ±Π·ΠΎΡ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
1.1 EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ FMM
EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ FMM ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΡΡΡΠ°Ρ ΠΏΠ°ΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π·Π°Π±ΠΎΠ»Π΅Π²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΊΠ»ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π‘Π ΠΈΠ»ΠΈ, Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ°, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΏΡ ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π°.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΊ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ FMM, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ (Maximum Likelihood-based Inference — ML), Π±Π°ΠΉΠ΅ΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΠΎΠ½ΡΠ΅-ΠΠ°ΡΠ»ΠΎ c ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠΈ ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π° (Bayesian approach based on Markov chain Monte Carlo), ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ (Online EM). ΠΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌΠΈ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΆΠ΅ΡΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ , ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈ Ρ. ΠΏ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ΅Π΄ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ½Π³ΠΎΠ² Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΎΠ»Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Ρ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΈ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΡΡ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ R, ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅.
ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ EM Π½Π° Π±Π°Π·Π΅ ML ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ Π΄Π»Ρ FMM Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ Π³Π°ΡΡΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ (Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ) ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° Π΄Π»Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ — Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ EM ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ t-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π‘ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ°. ΠΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ . ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ.
1.2 ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ R Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° FMM
Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅Π΄Π° ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ R ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΈΡΡΠ΅ΡΠΏΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΊΡΡΠ³Π° ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ Π½Π° ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ CRAN Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Contributed extension packages, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ»ΠΊΠ΅ CRAN Task Views Π²ΡΠ΅ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Cluster, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Model-Based Clustering, ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ° ML estimation.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠ΅ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ R, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ: EMCluster, FisherEM, teigen, mclust. ΠΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ° mclust ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π². ΠΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΎΠΉ R, ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ML ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ mixsmsn, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π° ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ: ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ (Skew.normal) ΠΈ t-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π‘ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ° (Skew.t), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Ρ-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ (Skew.slash) ΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°ΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ (asymmetric contaminated-normal — Skew. cn). Π ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ° ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ (Normal) ΠΈ t-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ (t). Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ΅ mixsmsn.
ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ R ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ pdf, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ CRAN Π½Π° ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊ. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏ ΠΊ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ html.
ΠΠ»Π°Π²Π° 2 ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
2.1 ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ. ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ. ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ (FMM) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π³Π΄Π΅ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊ,
— Π°ΠΏΡΠΈΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ², ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠΎ ,
— ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ,
— ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ).
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ, — Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΡ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌ ΠΈΡ ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π½Π° k-ΠΎΠΉ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΠ°ΠΉΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π°ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΡΠΈΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ:
ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ — Π°ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΡΠΈΠΎΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ .
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ
Π³Π΄Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΈΠ·, ΡΠΎ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π° ΠΏΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΡΠΈΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎΠΊ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π²ΠΈΠ΄
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΡ ΡΡ Π΅ΠΌΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ΅, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ ΠΠ-Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ Π°ΠΏΡΠΈΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ k ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ () ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΠ-Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ°ΠΏΠ°:
— ΡΡΠ°ΠΏ Π (Expectation): ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΡΠΈΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ², Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ;
— ΡΡΠ°ΠΏ Π (Maximization): ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎΠΊ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π°ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΡΠΈΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ².
Π Π°Π±ΠΎΡΠ° Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.
2.2 ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π°ΡΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ΅ mixsmsn Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ SMSN (Scale Mixtures of Skew-Normal distribution), Π° ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ FMSMSN (Finite Mixures of Scale Mixtures of Skew-Normal distributions), Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π² Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ΅ Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ·ΠΎΠ²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Normal), Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Skew.normal), Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅Ρ-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Skew.slash) ΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π· Π·Π°ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (asymmetric contaminated-normal — Skew. cn), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ t-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ° (t) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΡ (Skew.t). ΠΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
Π‘ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ N-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (skew-normal) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ
Π³Π΄Π΅ — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ N-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠ²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ ,
— ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°,
— Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ).
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° SMSN.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° SMSN, Π΅ΡΠ»ΠΈ
Π³Π΄Π΅ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ,
— ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ,
U — Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Z, Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ , — ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ²).
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ°ΡΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Y ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π³Π΄Π΅ Π²ΡΠ±ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° SMSN.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° SMSN, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ΅ mixsmsn ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ:
1) Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈ ;
2) ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ;
3) ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ t-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ — ΠΠ°ΠΌΠΌΠ°-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅;
4) ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅Ρ-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ — ΠΠ΅ΡΠ°-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅;
5) ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π·Π°ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (skew-contaminated normal), Π΅ΡΠ»ΠΈ U ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1, Π³Π΄Π΅ .
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ FMSMSN Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ Ρ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ l ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° SMSN ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ: .
ΠΠ»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΉ Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° SMSN, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π²ΡΡΠ΅, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ) Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ — FMNOR, ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ — FMSN, ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ t-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — FMST, ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅Ρ-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — FMSSL ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π·Π°ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ — FMSCN.
ΠΠ»Π°Π²Π° 3. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠΈΠΏΠ° FMSMSN Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 2.2. Π ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 3.1 ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ mixsmsn Π² R: Π²Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΈΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΎΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ². Π ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 3.2 ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π΅Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° SMSN Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
3.1 ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΡ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ FMSN Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ:
;
ΠΡΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°: Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ FMNOR ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ FMSN. ΠΠ»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠ΅Π² AIC, BIC, EDC ΠΈ ICL. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ 1. Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°ΠΌ, Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ FMSN, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 1. — ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ | AIC | BIC | EDC | ICL | |
FMNOR | 7773.877 | 7827.863 | 7821.447 | 7838.332 | |
FMSN | 7644.406 | 7718.022 | 7709.274 | 7723.102 | |
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 1 Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Ρ Π½Π°Π½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π°Π½Π΅ΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ FMNOR, Π° ΡΠΏΡΠ°Π²Π° — FMSN. Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΡ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 1. - ΠΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ FMNOR, FMSN
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΉ (Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ) Ρ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΎΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ Π² Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ΅ mixsmsn, Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ .
3.2 Π Π΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΊ ΠΊΠ²Π°ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΉ (16 ΠΊΠ²Π°ΡΡΠ°Π»ΠΎΠ², 300 ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΉ, 4800 Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ). ΠΡΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π²ΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ: FMNOR, FMSN, FMSSL, FMSCN, ΠΈ FMT ΠΈ FMST. ΠΠ»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΡ Π½Π° 4 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°, Ρ. Π΅. ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ 4 ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π² ΡΠΌΠ΅ΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ 4 Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΠ² Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΡ ΠΈΠ· 4796 Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ FMSSL, FMSCN Π½Π΅ Π±ΡΠ»Π° Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½ΡΡΠ° ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ EM Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ 2.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 2. — ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ | AIC | BIC | EDC | ICL | |
FMNOR | 158 380.4 | 161 482.2 | 164 056.9 | 161 956.3 | |
FMSN | 155 541.7 | 159 006.1 | 161 881.8 | 159 468.5 | |
FMT | 141 542.8 | 144 644.6 | 147 219.2 | 145 131.8 | |
FMST | 140 066.1 | 143 530.5 | 146 406.2 | 144 054.5 | |
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ 2, Π½Π°ΠΈΠ»ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ FMST (ΡΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ t-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠ΅Π² Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈΠ· Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠΈ mixsmsn ΠΊ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ. ΠΡΠΎ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π½Π΅Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ. Π ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ, ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ (ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ), ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΡ Π²ΡΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΡΠ°Π»Π°ΠΌ ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ:
1) ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²Π»Π΅Π½ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠΈΠΏΠ° EM, ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ;
2) ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²Π»Π΅Π½ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΡΡ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ R, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ;
3) ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡ, ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ;
4) Π²ΡΡΠ²Π»Π΅Π½Ρ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΡΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ±ΠΈΠ»ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΡΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² R, Π΄Π°Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π±Π΅Π· Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π²Π²ΠΈΠ΄Ρ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ° ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ·ΡΠΊΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ R.
ΠΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ
1. ΠΠΉΠ²Π°Π·ΡΠ½, Π‘. Π. ΠΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ°. ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠ½ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ / Π‘. Π. ΠΠΉΠ²Π°Π·ΡΠ½ [ΠΈ Π΄Ρ.]. Π.: Π€ΠΈΠ½Π°Π½ΡΡ ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ°, 1989. — 607Ρ.
2. Mengersen, K. Mixtures: Estimation and Applications / K. Mengersen, C.P. Robert, D.M. Titterington. — Hoboken, N.J.: Wiley, 2011. — 311 p.
3. Fraley, C. Model-based Clustering, Discriminant Analysis and Density Estimation / C. Fraley, A.E. Raftery // J. of the American Statistical Association. — 2002. -Vol. 97, № 458. — P. 611−631.
4. Basso, R.M. Robust Mixture Modeling Based on Scale Mixtures of Skew-normal Distributions / R.M. Basso, V.H. Lachos, C.R.B. Cabral, P. Ghosh // Computational Statistics & Data Analysis. — 2010. — Vol. 54. — P. 2926−2941.
5. Dempster, A.P. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm / A.P. Dempster, N.M. Laird, D.B. Rubin // Journal of the Royal Statistics Society. Ser. B. — 1977. — Vol. 39, № 1. — P. 1−38.
6. ΠΠ°Π»ΡΠ³ΠΈΠ½, Π. Π. Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΡΠ΅Π΄ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ½Π³ΠΎΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΉ: ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²Π΅ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ / Π. Π. ΠΠ°Π»ΡΠ³ΠΈΠ½ [ΠΈ Π΄Ρ.] // ΠΠ°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΠ΅ΡΡΠ½ΠΈΠΊ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±Π°Π½ΠΊΠ°. — № 5. — 2013. — 73 Ρ.
7. Bilmes, J.A. A Gentle Tutorial of the EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation for Gaussian Mixture and Hidden Markov Models: Technical Report / J.A. Bilmes; Int. Computer Science Institute, Berkeley CA. — Berkeley, 1998. — 13 p.
8. Comprehensive R Archive Network: [Electronic resource] / R Foundation. — Mode of access: http://cran.rstudio.com/index.html. — Date of access: 27.10.2014.
9. Prates, M.O. mixsmsn: Fitting Finite Mixture of Scale Mixture of Skew-Normal Distributions / M.O. Prates, C.R.B. Celso, V.H. Lachos // J. of Stat. Software. — 2013. — Vol. 54, № 12. — P. 1−20.
ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π ΠΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ Π·Π°ΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ°