Численные методы решения задач
Преобразуем второе неравенство:. Подставляем в это выражение значения х, равное границам интервала определения корней (2,095 и 2,35). Соответственно получаем: С> -2,5 и С>-1,6. Выбираем большее из этих двух значений и окончательно получаем: Из таблицы значений y (x), найденной для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, для точки пересечения графика с осью абсцисс выбрать 4 последовательные точки… Читать ещё >
Численные методы решения задач (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ УКРАИНЫ Государственное агентство рыбного хозяйства Украины КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Курсовая работа по дисциплине
" Вычислительная техника и программирование"
Тема: Численные методы решения задач Керчь, 2013 г.
Задача 1
Вычислить определенный интеграл
где g (x) — функция, полученная методом наименьших квадратов по заданной совокупности экспериментальных данных.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1
1. По заданным экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость .
2. Построить график функции g (x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.
3. Построить график функции F (g (x), x) на интервале [a, b] с шагом (b-a)/20.
4. Вычислить интеграл методом средних прямоугольников для 20 разбиений и методом трапеций для 10 и 20 разбиений. По значениям, полученным методом трапеций, получить уточнение интеграла по методу Ричардсона и считать его решением всей задачи.
5. Считая значение, полученное методом Ричардсона, точным, определить погрешности значений, полученных методами средних прямоугольников и трапеций.
Исходные данные
x | 2,00 | 2,00 | 2,00 | 2,40 | 2,80 | 2,80 | 3,20 | 3,20 | 3,60 | 4,00 | |
g (x) | 1,544 | 1,171 | 0,911 | 1,544 | 0,588 | 0,540 | 1,021 | 0,580 | 0,789 | 0,740 | |
4,40 | 4,40 | 4,40 | 4,80 | 4,80 | 5,20 | 5,20 | 5,20 | 5,60 | 6,00 | ||
1,071 | 1,100 | 0,727 | 0,677 | 0,348 | 0,579 | 0,478 | 0,746 | 0,592 | 0,725 | ||
Аналитический вид функции РЕШЕНИЕ
1. Строим аппроксимирующую зависимость методом наименьших квадратов.
Последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью выглядит так:
— вычисление логарифмов значений аппроксимируемой функции
— вычисление коэффициентов, а и b по формулам ;
— вычисление коэффициентов с и d по формулам и ;
— вычисление значений g (x) по формуле .
Решаем эту задачу табличным способом в электронных таблицах Excel.
Задание 1.1
При составлении расчетной таблицы был использован метод лианеризации. При этом обе части аппроксимируемой зависимости были подвергнуты процедуре логарифмирования.
Теперь рассчитываем коэффициенты уравнения по формулам:
Поэтому в соответствующие столбцы вводим формулы:
=A32 — для определения квадрата значения х.
=LN (B3) — для определения логарифма функции g (х).
=A3*D3 — для определения .
=СРЗНАЧ (A3:A22) — среднее значение х.
=СРЗНАЧ (B3:B22) — среднее значение g (х).
=СРЗНАЧ (D3:D22) — среднее значение логарифма функции g (х).
Теперь можно посчитать по соответствующей формуле d.
=(A24*D24-E24)/(A242-C24)
А затем определить значение с: =EXP (D24-E26*A24).
Аналитический вид функции g (х) имеет вид .
Теперь подсчитываем эмпирический ряд значений функции g (х) и вектор ошибок, возведенных в квадрат =(F3-B3)^2.
2. Строим график функции g (x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.
3. Строим график функции F (g (x), x) на интервале [a; b], т. е. [1; 7].
x | 1,00 | 1,30 | 1,60 | 1,90 | 2,20 | 2,50 | 2,80 | 3,10 | 3,40 | 3,70 | |
F (x) | 1,511 | 1,589 | 1,635 | 1,664 | 1,681 | 1,692 | 1,698 | 1,701 | 1,701 | 1,700 | |
4,00 | 4,30 | 4,60 | 4,90 | 5,20 | 5,50 | 5,80 | 6,10 | 6,40 | 6,70 | 7,00 | |
1,698 | 1,695 | 1,692 | 1,688 | 1,683 | 1,679 | 1,674 | 1,670 | 1,665 | 1,661 | 1,657 | |
2. Вычисляем интеграл различными методами.
Делаем соответствующие расчеты в электронных таблицах Excel.
Задание 1.4
При определении интеграла функции указанный участок следует разделить на 20 интервалов. Тогда шаг интегрирования будет составлять (7−1)/20=0,3.
1. Составляем ряд расчетных значений подынтегральной функции, используя формулу
=$A$ 2*EXP ($B$ 2*A33)/3+ATAN (2*A33)
2. Рассчитываем сумму по методу левых прямоугольников
3. Рассчитываем сумму по методу правых прямоугольников
4. Рассчитываем сумму по методу средних прямоугольников
5. Переходим к методу трапеций. Здесь рассматриваем два варианта: с разбиением на 10 и на 20 интервалов.
6. Основные формулы для табличного счета имеют вид:
=$A$ 2*EXP ($B$ 2*A33)/3+ATAN (2*A33) — расчет
=$A$ 2*EXP ($B$ 2*D33)/3+ATAN (2*D33) — формула расчета функции для средних прямоугольников.
=$A$ 2*EXP ($B$ 2*G33)/3+ATAN (2*G33) — формула для расчета функции для метода трапеций для 10 интервалов разбиения.
=$A$ 2*EXP ($B$ 2*I33)/3+ATAN (2*I33) — формула для расчета функции для метода трапеций для 20 интервалов разбиения.
аппроксимирующий зависимость интеграл итерация Уточнение по Ричардсону — это по сути экстраполяционный подход к пределу. Здесь следует рассчитывать значение функции по специальным формулам.
Рассчитываем более точно значение интеграла по методу Ричардсона. В соответствии с расчетами по методу трапеций имеем:
1. при разбиении участка интегрирования с h = 0,2 значение интегральной суммы (St1);
2. при разбиении участка интегрирования с k = 0,1 значение интегральной суммы (St2);
3. формулу для расчета метода трапеций, где
Вычисляем значение С:
Теперь можно получить более точное значение интеграла.
J = 10,2 769 — 0,284 333 * 0,6 = 10,37 925
J= | 10,3 792 | Ошибка метода | ||
Sл= | 10,1 349 | Rл= | 0,244 377 | |
Sп= | 10,5 724 | Rп= | 0,193 197 | |
Sc= | 10,3 929 | Rc= | 0,13 615 | |
Sт1= | 10,2 769 | Rт1= | 0,10 236 | |
Sт2= | 10,3 537 | Rт2= | 0,2 559 | |
Sp= | 10,3 792 | Rp= | ||
Анализ вышеуказанной таблицы указывает, что наименьшим отклонением от истинного значения для рассматриваемой функции является метод средних квадратов. Метод трапеций дает несколько худший результат, но предположительно, что с уменьшением шага интегрирования может измениться и результат расчетов.
Задача 2
Методом простых итераций определить корень уравнения
где y (x) — решение задачи Коши
.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2
1. Решить на интервале [xn, xk] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка при начальных условиях методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
2. Построить графики найденных решений.
3. Из таблицы значений y (x), найденной для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, для точки пересечения графика с осью абсцисс выбрать 4 последовательные точки, ближайшие к ней и расположенные по обе стороны от нее.
4. По выбранным четырем точкам построить интерполяционный полином Ньютона P3(x) 3-го порядка.
5. Методом простых итераций с точностью =0,001 найти корень уравнения P3(x)=0 и рассматривать его как приближенное решение основной задачи работы.
Исходные данные
1. Преобразуем дифференциальное уравнение
2. Решаем дифференциальное уравнение указанными методами.
Результаты решения задачи показаны в таблице.
Задание 2.1
Решаем задачу по методу Эйлера с использованием формулы:. При решении задачи методом Эйлера используется следующий алгоритм: очередной аргумент ищется, как приращение по функции относительно предшествующего значения: =B7+$B$ 4*(SIN (A7)-B7/A7). Дальнейшие формулы имеют вид:
Усоверш. Метод Эйлера ;
=C7+$B$ 4/2*((SIN (A7)-C7/A7)+(SIN (A8)-(C7+$B$ 4*(SIN (A7)-C7/A7))/A8))
Модиф. Метод Эйлера ;
=D7+$B$ 4*(SIN (A7+$B$ 4/2)-(C7+$B$ 4/2*(SIN (A7)-C7/A7))/(A7+$B$ 4/2))
В методе Рунге-Кутта используется следующая формула:
здесь коэффициенты вычисляются по следующим формулам:
К0 — =$B$ 4*(SIN (A7)-I7/A7).
К1 — =$B$ 4*(SIN (A7+$B$ 4/2)-(I7+E8/2)/(A7+$B$ 4/2))
К2 — =$B$ 4*(SIN (A7+$B$ 4/2)-(I7+F8/2)/(A7+$B$ 4/2))
К3 — =$B$ 4*(SIN (A7+$B$ 4)-(I7+G8)/(A7+$B$ 4))
Итоговая формула имеет вид =I7+(E8+2*F8+2*G8+H8)/6.
3. Строим графики найденных решений.
4. Выбираем из таблицы 4 последовательных точки y (x).
2,095 | — 0,8 452 | |
2,18 | — 0,1 094 | |
2,265 | 0,5 574 | |
2,35 | 0,11 551 | |
5. По выбранным четырем точкам строим интерполяционный полином Ньютона.
x | f (x) | ||||||
2,095 | — 0,8 452 | — 0,8 452 | A0 | ||||
2,18 | — 0,1 094 | 0,86 560 | 0,86 560 | A1 | |||
2,265 | 0,5 574 | 0,82 508 | 0,82 508 | 0,82 508 | A2 | ||
2,35 | 0,11 551 | 0,78 445 | 0,78 445 | 0,78 445 | 0,78 445 | A3 | |
6. Находим корни уравнения P3(x)=0 с точностью =0,001.
Получен полином следующего вида:
Подставляем значения х из таблицы и получаем:
После преобразования получаем:
Найдем корень этого уравнения на интервале [2,095; 2,35] методом простых итераций. Для этого продифференцируем найденное уравнение:
Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства .
Проверяем это условие:
Для поиска корня методом простых итераций преобразуем найденный полином к виду. Поэтому выполняем следующие преобразования:
Продифференцируем функцию :
Из условия сходимости метода следует:
Так как в левой части стоит модуль, то оно распадается на два неравенства:
Из первого неравенства следует, что С<0.
Преобразуем второе неравенство:. Подставляем в это выражение значения х, равное границам интервала определения корней (2,095 и 2,35). Соответственно получаем: С> -2,5 и С>-1,6. Выбираем большее из этих двух значений и окончательно получаем:
— 1,6 < C < 0.
Выбираем значение С из этого интервала: С = - 1
Производим подсчет методом простых итераций.
X | p (x) | R | |
2,10 | 2,17 952 | 0,8 452 | |
2,17 952 | 2,19 091 | 0,1 139 | |
2,19 091 | 2,191 608 | 0,698 | |
2,19 161 | 2,191 643 | 3,56E-05 | |
Корень уравнения соответственно равен 2,19 161.
1. Ершов М. Н. Численные методы решения задач / Конспект лекций. — Керчь: КМТИ, 2002. — 58с.
2. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512с.
3. Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. — Томск: МП «РАСКО», 1991ю — 272с.
4. Дженкинс Р. и др. Excel 97. Руководство пользователю. — С-Пб.: Феникс, 1999. — 1024с.