ДАННЫЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ Вариант № 14
Линейная производственная задача Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица, А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.
В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:
С1 С2 С3 С4 27 39 18 20
a11 a12 a13 a14 B1 2 1 6 5 140
a21 a22 a23 a24 B2 0 3 0 4 90
a31 a32 a33 a34 B3 3 2 4 0 198
2 1 6 5 140
А= 0 3 0 4 В = 90 С= 27, 39, 18, 20 (1)
3 2 4 0 198
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.
Математическая модель задачи:
Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4),
максимизирующую прибыль z=27×1+39×2+18×3+20×4 (2)
при ограничениях по ресурсам
2x1 + x2 + 6×3 + 5×4 140
3x2 + 4×4 90, (3)
3x1 +2×2 +4×3 198
где по смыслу задачи
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0. (4)
(2)-(4) — математическая модель линейной производственной задачи:
(2) — целевая функция;
(3) — линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);
(4) — условие не отрицательности задачи.
Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
2x1 + x2 + 6×3 + 5×4 + x5 = 140
3x2 + 4×4 + x6 = 90, (5)
3x1+ 2×2 + 4×3 + x7 = 198
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.
х5 — остаток 1-го ресурса;
х6 — остаток 2-го ресурса;
х7 — остаток 3-го ресурса.
Среди всех решений системы уравнений (5), удовлетворяющих условию неотрицательности
xi 0, i=1…7, (6)
надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид — дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение
х1= 0, х2= 0, х3= 0, х4 = 0, х5= 140, х6= 90, х7= 198 (7)
по которой мы пока ничего не производим.
Из выражения (2) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию второго вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы (5) общее решение х5= 140 — 2×1 — x2 — 6×3 — 5x4
х6= 90 — 3×2 — 4×4 (8)
х7= 198 — 3×1 -2×2 — 4x3
Мы пока сохраняем в общем уравнении x1= x3 = x4 = 0 и увеличиваем только x2. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств
140 — x2 ≥ 0×2 ≤ 140
90 -3×2 ≥ 0 или x2 ≤ 30, т. е. 0 ≤ x2 ≤ 30
198 -2×2 ≥ 0×2 ≤ 99
Дадим x2 наибольшее значение x2 = 30, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (8). Получаем для системы уравнений (5) частное неотрицательное решение х5= 140 — 2×1 — 30 — 6×3 — 5x4
х6= 90 — 90 — 4x4
х7= 198 — 3×1 — 60 — 4x3
х1= 0, х2= 30, х3= 0, х4 = 0, х5= 110, х6= 0, х7= 138 (9)
Нетрудно убедиться, что это решение является базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (5), для получения которого достаточно было принять в системе (5) неизвестную х2 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, так как
min = min (140; 30; 99) = 30,
