Асимптотическое поведение решений интегральных уравнений типа Вольтерра

Настоящая диссертация посвящена изучению вопроса допустимости некоторых пар пространств для линейных интегральных операторов Вольтерра t.

Кх) (t) = J K (t, s) x{s)ds, а, а также изучению асимптотики решений линейных и нелинейных интегральных уравнений t, а и t.

X (t) = J K (t, s).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель — профессор Цалюк З.Б.) — на IV Северо — Кавказской региональной конференции «Функциональнодифференциальныеуравнения и их приложения», Махачкала, 1997; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения — IX, Воронеж, 1998; на VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование», Ростов-на-Дону, 1999; на конференции «Вопросы функционального анализа и математической физики», Баку, 1999; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2000; на Международной конференции «Нелинейный анализ и функционально — дифференциальные уравнения», Воронеж, 2000; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения — XII, Воронеж, 2001; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2001; на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2003; на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 2001.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] -[55]. В работах [38], [39], выполненных совместно с В. Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Автору диссертации принадлежит выбор методов исследования и доказательства. В работах [40], [41] В. Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и определение общих параметров исследования.

В первой главе исследуются вопросы действия операторов и уравнений в пространстве функций, имеющих на бесконечности конечный (в частности, нулевой) предел по мере Лебега (пространства Ар [а, оо) и С? о[а, оо) соответственно). Подобные утверждения интересны тем, что каждое условие допустимости для оператора в терминах ядра автоматически даёт соответствующее условие допустимости в терминах резольвенты для уравнения. С другой стороны, наличие этих условий позволяет рассматривать интегральные уравнения как операторные и применять при их исследовании соответствующие методы функционального анализа (напр., различные принципы неподвижной точки).

Для линейных интегральных операторов Вольтерра общего вида получены достаточные условия допустимости пары пространств функций, имеющих нулевой предел по мере.

Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия: J а.

2) для каждого Т > а.

3) для любого замкнутого множества F С [а, оо) конечной меры и любого 5 > 0 существует такое То, зависящее от F и 5, что.

Тогда пара оо) — Сц[а, оо) J допустима для оператора К.

В случае пространства функций, имеющих конечный предел по мере также удалось получить лишь достаточные условия. Теорема 1.5. Пусть выполнены следующие условия: t.

1) \К\ = sup [ \K (t, 5)|| ds < 00- t^a J a.

2) для каждого T > а функция т.

J (Т — s) K (t, s) ds a имеет конечный предел no мере при t -> 00;

3) для любого замкнутого множества F С [а, оо) конечной меры и любого 5 > 0 существует такое То, зависящее от F и 5, что.

4) функция t.

J K (t, s) ds a имеет конечный предел no мере при t —> 00.

Тогда пара оо), Aq[", 00) j допустима для оператора К.

Для операторов с неотрицательным или разностным ядром в случае пространства функций, имеющих нулевой предел, удалось указать необходимые и достаточные условия (теоремы 1.2 и 1.3). Аналогичное утверждение доказано и для скалярных операторов с вырожденным ядром (теорема 1.4).

Подобные задачи для других пространств исследовались многими авторами (Цалюк З.Б., Дербенёв В. А., Пуляев В. Ф., Азбелев Н. В. и др.). Оператор суперпозиции.

Фж изучался такими авторами, как, например, Немыцкий В. В., Красносельский М. А., Антоневич А. Б. и др. в различных пространствах.

Нами указаны необходимые и достаточные условия действия такого оператора в пространствах С[)[а, оо) и Agfa, оо).

Теорема 1.10. Для допустимости пары (с$[а, оо), Сд[а, оо)^ относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) для любого г > 0 существует такое С = С (г) > 0- что при любых t Е [а, оо) и? Е Rn: ||?|| ^ г выполняется неравенство.

Ы t, 0HC;

2) для любого S > 0 существует такое г = г ($) > 0, что alt> a: max ||<0(?,?)|| ^ 5 > < оо.

I J.

Теорема 1.11. Для допустимости пары ^Aq[<2,оо), Ад[а, оо)^ относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) для любых г > 0 и £о? найдется такое С = С (г, £о) > 0, что при всех t? [а, оо) и? ? Rn: ||f — £о|| ^ г выполняется неравенство М.

2) для любого ?0 €.

3) для любых 5 > 0 и £о? существует такое г = г (?о, Я) > 0, что filt^a: max \(p (t, Q — II > 5 <

L IK-&IK" —).

В рассматриваемых пространствах С д[а, оо) и Ад [а, оо) операторы Вольтерра могут быть вполне непрерывными лишь в исключительных случаях, что делает достаточно затруднительным применение методов неподвижной точки, основанных на компактности. Однако, при этом остаётся возможным использование принципа сжатых отображений и порядковых свойств положительных операторов, что и иллюстрирует следующее утверждение, описывающее достаточные условия разрешимости нелинейного интегрального уравнения t x (t) = J K (t}s)ip (s, x (s)) ds + f (t) a в пространствах Cpfa, оо) и Ag[a, оо).

Теорема 1.12. Пусть п х п — матрица K (t, s) удовлетворяет условиям теоремы 1.1 (1.5), а n-мерная вектор-функция (p (t,?) = Ф^Лъ • • • Лп) — условиям теоремы 1.10 (1.11), и существует такая непрерывная на [а, оо) матрица uj (t), что 0 ~ 4>(t, v) | < ь>№ ~ V (V*? a v е R").

Тогда, если t sup f \K (t, s)\ ||w (s)|| ds < oo, t^a J a и существует такое Tq ^ а, что t.

J K{t, s) u{s)ds^B (W^To),.

T0 где В — nxn — матрица, собственные числа которой по модулю меньше 1, то уравнение t x (t) = J K{t, s).

Следует отметить, что условия, наложенные на ядро в этом утверждении, фактически означают его устойчивость.

Во второй главе рассматриваются задача допустимости для линейного интегрального оператора Вольтерра с периодическим ядром пары пространств асимптотически а—периодических по мере функций (аР" [а, оо)) и вопрос о разрешимости соответствующего линейного интегрального уравнения в указанном пространстве.

Интегральные операторы и уравнения с периодическими ядрами изучались многими авторами ([21], [31], [35], [37] и др.). Подобные исследования в близких классах функций проводили, например, Кара-петянц Н.К. и Самко С. Г. ([17]). Асимптотика решений линейных интегральных уравнений изучалась, в частности, в работах [23], [24], [8] - [13] и др.

Во второй главе установлен критерий принадлежности функции пространству асимптотически о—периодических по мере функций.

Лемма 2.2. Для того чтобы непрерывная и ограниченная на [а, оо) функция x (t) принадлежала пространству аР" [а, оо), необходимо и достаточно, чтобы последовательность {x (t—ku)} сходилась по мере на [а, оо) к некоторой непрерывной на [а, оо) функции y (t).

Оказывается, что в этом случае функция y (t) является а—периодической составляющей функции x (t).

Установлено также, что если x (t) — асимптотически о—периодическая по мере функция, то равномерно относительно к € N.

Нами найдены также условия, обеспечивающие действие линейного интегрального оператора в пространстве аР" [а, оо).

Теорема 2.2. Для допустимости пары ^aP™[0, оо), aP" [0, oo) J относительно оператора К необходимо, чтобы выполнялись условия:

Km [x (t + кш) — x{t)} = О.

— 00 непрерывны на [0,оо) и lim (pk (t) — 0- t-l 00 ш.

5- lim J K (t, s) sds⁰. о.

Обратно, если выполнены указанные условия, и.

4) для любого замкнутого множества F С [0, оо) конечной меры и любого S > О существует такое Tq, зависящее от F и 8, что.

JoT0: J \K (t, s)\ds>51 <�оо, FD[T0:t] J то пара ^aP" [0,оо), aP" [0,oo)^ допустима для оператора К.

Известно, что если для оператора Вольтерра допустима пара (ВСп[а, оо), ВСп[а, оо)), то для него будут допустимыми и многие пары естественных подпространств пространства ВС" [а, оо). В некотором смысле, этим свойством обладают и операторы Вольтерра с периодическими ядрами: допустимость для оператора К пары ^аР" [0,оо), аР" [0,оо)^ влечёт за собой допустимость для него и пары ^Cq[0, оо),.

Cq[0, оо)^. Показано также (теорема 2.3), что необходимым и достаточным условием действия оператора с разностным ядром в пространстве аР" [а, оо) является суммируемость на [а, оо) его ядра. Более того, в этом случае линейный интегральный оператор К переводит пространство асимптотически о—периодических по мере функций в пространство асимптотически о>-периодических функций.

Указаны условия в терминах резольвенты (теоремы 2.4 и 2.5), при которых решения линейного интегрального уравнения Вольтерра являются асимптотически о—периодическими по мере функциями.

Следующее утверждение является более общим по сравнению с теоремой 1.12 в линейном случае. На практике данное утверждение применяется в основном при малых ш, в частности, при т = 1.

Теорема 2.6. Пусть ядро K (t:s) удовлетворяет условиям 1−4 теоремы 2.2, и для некоторого натурального т существует такая пхпматрица В, собственные числа которой по модулю меньше 1, что для всех t ^ 0 выполняется неравенство t о.

JKm (t, s) О.

Тогда пара ^аР" [0, оо), аР^[0, оо)^ допустима для уравнения t x (t) = J K (t, s) x (s) ds + f (t). a.

В первых двух главах настоящей работы изучались интегральные операторы и уравнения в некоторых подпространствах пространства непрерывных функций. Полученные при этом условия являлись, как правило, достаточными. В главах 3 и 4 аналогичные задачи решаются в пространстве измеримых ограниченных в существенном функций (L^(a, оо)) и различных его подпространствах.

В силу специфики пространства L^a, оо), некоторые задачи здесь представляются более трудными, чем в пространстве BCn[a, оо). С другой стороны, рассматривая линейные интегральные операторы и уравнения в подпространствах измеримых ограниченных в существенном функций, имеющих на бесконечности конечный (AoL^(a, оо)) или нулевой (CoL^(a, оо)) предел, оказалось возможным указать условия допустимости таких пар пространств, которые являются необходимыми и достаточными одновременно.

Теорема 3.3. Для того чтобы пара (CoL^(a, оо), CoL^(a, оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t.

1) vraisup / \K (t, s)|| ds = Г < ооte[o, oo) J a.

2) для любого измеримого ограниченного множества, А С [а, оо) vrailim / Kit, s) ds = 0. f-> 00 J 4 ' A.

Теорема 3.4. Для того чтобы пара (AoL?,(a, оо), AoL^(a, оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t ij vrai sup / \K (t, s)|| ds = Г < ооб[а, оо) J.

2) для любого измеримого ограниченного множества, А С [а, оо) существует конечный предел lilim / K (t, s) ds- -+00 J.

3) существует конечный предел vrai. оо, А vrai lim t-> 00 t im / K (t, s) ds.

3 J.

Кроме того, установлена взаимосвязь между допустимостью этих пар пространств для уравнения и устойчивостью (асимптотической устойчивостью) ядра (теоремы 3.5 и 3.6). Теорема 3.5. Ядро K (t, s) уравнения t устойчиво на [а, оо) тогда и только тогда, когда пара оо),.

L^(a, оо)) допустима для этого уравнения.

Теорема 3.6. Ядро K (t, s) уравнения асимптотически устойчиво на [а, оо) тогда и только тогда, когда пара (CoL^(a, оо), CoL^(a, оо)) допустима для этого уравнения.

Ранее подобные результаты были получены в случае пространства непрерывных функций.

Имеет место гипотеза (автором которой является профессор Ца-люк З.Б.) о том, что из устойчивости интегрального уравнения и допустимости пары (X, X), где X — замкнутое подпространство из L^a, оо), обладающее L-свойством, для оператора следует допустимость этой пары и для интегрального уравнения. Нам удалось доказать справедливость этого предположения для подпространств CoL?>(a, оо) и A0L^(a, oo).

Теорема 3.8. Пусть ядро K (t, s) устойчиво и пара (CoL^,(a, оо), CoL^(a, оо)) допустима для оператора К. Тогда пара (CoL^(a, оо),.

CoL^(a, оо)) допустима и для уравнения t x (t) = j K (t, s) x (s) ds + f (t). a.

Теорема 3.9. Пусть ядро K (t, s) устойчиво и пара (AoL^(a, оо), AoL^(a, оо)) допустима для оператора К. Тогда пара (AoL^(a, оо), AoL^(a, оо)) допустима и для уравнения.

Доказательство этих утверждений существенно использует результаты, полученные в работе [27].

В четвёртой главе рассматриваются линейные интегральные операторы и уравнения Вольтерра с периодическими ядрами. В отличие от результатов второй главы, где особенности пространства аР" [а, оо) позволили указать лишь достаточные, близкие к необходимым условия допустимости для интегральных операторов и уравнений, здесь найдены условия, являющиеся необходимыми и достаточными.

В первом параграфе уточнены результаты теорем 3.3 и 3.4 для оператора с периодическим ядром (теоремы 4.1 и 4.2) и сформулирован критерий принадлежности пространству измеримых асимптотически и) — периодических функций (aPwL^(0, оо)). Лемма 4.1.

1) Если x (t) 6 аРД^ДО, оо) и x^t) — её ш — периодическая составляющая, то lim x (t + кш) = Xu{t) fc—> 00 равномерно no t G [0, оо) E, где E С [0, оо) up (E) = 0.

Обратно, если x (t) € L^(0,oo) и равномерно no t G [0,w] E существует lim x (t + kuS), k-Ь oo mo x (t)? аР^Д^Доо).

2) Для того чтобы измеримая, ограниченная в существенном на [0, оо) функция x (t) принадлежала пространству aPu) L^o (0, оо), необходимо и достаточно, чтобы vrai lim [x (t + кш) — x (t)] = О t-too равномерно относительно к Е N.

Приведены также необходимые и достаточные условия действия линейного интегрального оператора в пространстве aPwL^o (0, оо).

Теорема 4.3. Для того чтобы пара (аРы1?(0,оо), aPwL^(0,оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t.

1) vraisup / \K (t, s)|| ds < ооге[о, оо) J о.

2) для любого измеримого множества, А С [0, а"] vrailim / Kit, s) ds — 0- t-юо J A.

3) для любого измеримого множества, А С [0, uj] ряд.

00 «K (t + ш, s) ds i=o{ сходится равномерно not Е [0, а-] Е, где р{Е) — 0.

Кроме того, доказано (лемма 4.2), что из допустимости пары (CoL^(a, оо), aPwL?,(0, оо)) для интегрального оператора следует также и допустимость для него пары (CoL£,(a, оо), CoL?,(a, оо)). Данное утверждение является аналогом леммы 2.4, доказанной во второй главе для схожих пространств непрерывных функций. Приведённая в конце первого параграфа теорема 4.6 о существовании у интегрального уравнения с периодическим устойчивым ядром измеримого асимптотически о—периодического решения является логическим продолжением теорем 1.12 и 2.6. Эти факты свидетельствуют об определённой «родственности» пространств аР" [а, оо) и аРш1£>(0, оо).

Переход от пространства аР" [а, оо) к aPJL^O, оо) дал некоторые преимущества в задаче допустимости для операторов и позволил получить логически завершённые результаты. При этом, как говорилось выше, появились определённые трудности, компенсировать которые удалось усилением требований к ядру.

Во втором параграфе рассматриваются линейные интегральные уравнения Вольтерра, ядра которых удовлетворяют дополнительным, более жёстким по сравнению с предыдущими случаями условиям. Оказалось, что линейные интегральные операторы с такими ядрами образуют наполненную банахову алгебру, что указывает на своего рода естественность новых требований к ядру.

Далее вводится банахова алгебра абсолютно сходящихся рядов (см., напр., [19]) и определяется банахова алгебра операторнозначных функций, после чего становится возможным свести вопрос об обратимости линейных интегральных операторов к обратимости элементов данной алгебры. При этом используется один из некоммутативных вариантов теоремы Винера, опубликованный в работе [36] и известный как теорема Бохнера — Филлипса. Опишем условия, при которых справедлива эта теорема.

Пусть F — некоторая коммутативная банахова алгебра с единицей комплекснозначных функций f (t), определённых на множестве Г, с операциями поточечного сложения и умножения. Норму в F обозначим через |/|. Пусть X — банахова алгебра (вообще говоря, некоммутативная), с единицей е и нормой ||ж||, Y — банахова алгебра функций ?(•) = x (t) из Т в X с операциями поточечного сложения и умножения и нормой ||®(.)||, обладающая следующими свойствами:

1. Если xh ., хп е X, fi (t),., fn (t) G F, то функция.

Xlfli-) + • • • + xnfn{-) (1) принадлежит Y.

2. Для любых х 6 X и f (t)? F справедливо равенство.

IW (-)II = HI/I.

3. Линейные комбинации вида (1) всюду плотны в Y.

4. Если х (-) = xf (-) + + xnfn (-), то для каждого непрерывного гомоморфизма M (f): F иС1 выполняется неравенство i мс/о + .-. + ^мсджиоц.

На основании свойств 3 и 4 каждый определённый на F непрерывный гомоморфизм М однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма М (ж (-)) из Y в X, и при этом выполняется равенство.

М (xf (-)) = xM (f). Назовём М генерированным гомоморфизмом.

Теорема 0.1. Если для каждого генерированного гомоморфизма М элемент М (ж (-)) из X имеет левый обратный в X, то элемент ж (-) 6 Y имеет левый обратный.

Замечание. Если в X ввести умножение, а * b = b • а, а в Y — х (') * у (') = у (') ' x (')i то Ддя алгебр X' и Y' с новым умножением условия 1−4 теоремы будут выполнены. Генерированные гомоморфизмы, построенные по новым и старым алгебрам, совпадут, а левая обратимость элементов в алгебрах X' и У совпадает с правой обратимостью в алгебрах X и Y.

Отсюда вытекает следующее утверждение.

Теорема 0.1'. Если для каждого генерированного гомоморфизма М элемент М (ж (-)) из X имеет правый обратный в X, то элемент х (-) € Y имеет правый обратный.

1. Александров П. С.

Введение

в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. 368 с.

2. Антоневич А. Б., Рывкин В. Б. О нормальной разрешимости задачи о периодических решениях линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 8. С. 1347−1353.

3. Антоневич А. Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1973. Т. 37. № 3. С. 663−675.

4. Антоневич А. Б. Условия обратимости операторов с выпуклой рационально независимой системой сдвигов // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. № 1. С. 11−14.

5. Балакришнан А.

Введение

в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М., 1974. 260 с.

6. Борисович Ю. Г., Турбабин А. С. К задаче Коши для линейных неоднородных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 741−744.

7. Винокуров В. Р., Смолин Ю. Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти периодическими ядрами и запаздываниями // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201. № 4. С. 771−773.

8. Винокуров В. Р. Об устойчивости решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода // Изв. вузов. Математика. 1959. № 1 (8). С. 23−24.

9. Винокуров В. Р. Об ограниченности решения системы интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей // Учен. зап. Уральского ун-та. 1960. Вып. 23. № 2. С. 3−9.

10. Винокуров В. Р. Об ограниченных решениях и предельных циклах системы интегральных уравнений Вольтерра // Учен. зап. Орского пед. ин-та. 1963. Вып. 5. С. 32−37.

11. Винокуров В. Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1894−1898.

12. Винокуров В. Р. Предельные циклы системы уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика. 1974. № 9. С. 18−26.

13. Ворович И. И., Вабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979. 320 с.

14. Дербенёв В. А., Пуляев В. Ф. Структура резольвенты и устойчивость линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1992. № 1−2. С. 7−14.

15. Канторович JI.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 2-е изд., перераб. М., 1977. 744 с.

16. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Об одном классе интегральных уравнений типа свёртки и его приложении // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1971. Т. 35. № 3. С. 714−726.

17. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. О дискретных операторах ВинераХопфа с осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200. № 1. С. 17−20.

18. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 2-е изд., перераб. М., 1976. 544 с.

19. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустылъник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., 1966. 500 с.

20. Кузнецов В. В. Спектральный анализ периодических операторов: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1996. 121 с.

21. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. 3-е изд. М., 1974. 480 с.

22. Пуляев В. Ф., Цалюк З. Б. Об асимптотически^{-периодических} решениях интегральных уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 6. С. 1103−1110.

23. Пуляев В. Ф., Цалюк З. Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 4. С. 684−692.

24. Пуляев В. Ф., Цалюк З. Б. Об асимптотическом поведении решений интегральных уравнений Вольтерра в банаховых пространствах // Изв. вузов. Математика. 1991. № 12. С. 47−55.

25. Пуляев В. Ф. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных интегральных уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 10. С. 1800−1805.

26. Пуляев В. Ф. О спектре линейных непрерывных операторов. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1985. № 4. С. 25−28.

27. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 10. С. 1787−1798.

28. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 8. С. 1423−1432.

29. Рудин У. Функциональный анализ. М., 1975. 445 с.

30. Симонов П. М., Чистяков А. В. О разрешимости периодических уравнений // Вестник Пермского ГТУ. Матем. и прикл. матем. 1994. № 1. С. 61−71.

31. Цалюк З. Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 11. С. 1967;1979.

32. Цалюк З. Б. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 11. С. 2096;2098.

33. Цалюк З. Б. Линейные интегральные уравнения Вольтерра. Краснодар, 1980. 71 с.

34. Becker L.C., Burton Т.A., Kriszin Т.К. Floquet theory for a Volterra equation // J. London Math. Soc. 1988. Vol. 2. № 37. p. 141−147.

35. Bochner S., Phillips R.S. Absolutely convergent fourier expansions for non-commutative normed rings // Annals of Mathematics. 1942. Vol. 43. № 3. P. 409−418.

36. Grossman S.J. Periodicite finaly des systemes integro-differentiels de Volterra // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1973. Vol. 18. № 5. P. 665−671.

37. Пуляев В. Ф., Сокол Д. Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра. Краснодар, 2000. 35 с. Деп. в ВИНИТИ 28.03.2000, № 814 В00.

38. Пуляев В. Ф., Сокол Д. Г. О взаимосвязи допустимости и устойчивости линейных интегральных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 3. С. 14−16.

39. Пуляев В. Ф., Сокол Д. Г. Интегральные уравнения с периодическими ядрами в пространстве измеримых функций. Краснодар, 2005. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2005, № 1063 В2005.

40. Пуляев В. Ф., Сокол Д. Г. О взаимосвязи допустимости и устойчивости для линейных интегральных уравнений Вольтерра. Краснодар, 2005. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2005, № 1064 В2005.

41. Сокол Д. Г. Существование решений интегральных уравнений Вольтерра, имеющих на бесконечности нулевой предел по мере // Вестник студенческого научного общества. Краснодар, 1997. С. 1820.

42. Сокол Д. Г. О допустимости для интегральных операторов Вольтерра пары пространств функций, имеющих на бесконечности нулевой предел по мере // Вопросы функционального анализа и математической физики: Матер, науч. конф. Баку, 1999. С. 423.

43. Сокол Д. Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 1. С. 135−137.

44. Сокол Д. Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2000. Т. 5. С. 193−194.

45. Сокол Д. Г. О допустимости пары пространств асимптотически ы-периодических по мере функций для интегральных операторов и уравнений Вольтерра. Краснодар, 2001. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 04.06.2001, № 1402 -В2001.

46. Сокол Д. Г. О разрешимости интегрального уравнения Вольтерра в пространстве асимптотически^{-периодических} по мере функций // Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2001. Т. 8. С. 215−216.

47. Сокол Д. Г. О разрешимости устойчивых интегральных уравнений Вольтерра в пространстве функций, стремящихся к нулю на бесконечности // Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2003. Т. 21. С. 189−191.

48. Пуляев В. Ф., Сокол Д. Г. Об обратимости периодических операторов и асимптотическом поведении решений уравнений Вольтерра // Математика. Экономика. Образование: Тез. докл. 10 Международной конф. Ростов н/Д, 2002. С. 80−81.

49. Сокол Д. Г. О существовании решений, стремящихся по мере к нулю, у интегральных уравнений типа Вольтерра // Функционально дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. 4 Сев.-Кавк. регион, конф. Махачкала, 1997. С. 81.

50. Сокол Д. Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Математика. Экономика. Экология. Образование: Тез. докл. 7 Международной конф. Ростов н/Д, 1999. С. 37−38.

51. Сокол Д. Г. О допустимости одной пары пространств для оператора суперпозиции // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения: Тез. докл. Международной науч. конф. Воронеж, 2000. С. 180−181.