Асимптотика авторезонансных колебаний

Основным объектом исследования в настоящей работе является дифференциальное уравнение второго порядка с малым возмущением:

Предполагается, что потенциал V (u) имеет в нуле точку локального минимума. В качестве фазы возмущения берется функция Ф (т) — г + тгф (т)/6. Здесь 1(т), ф (т), У (и) — гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Предполагаем, что /(0) Ф 0, ф (0) ф 0.

При наложенных ограничениях невозмущенное уравнение имеет двух-параметрическое семейство периодических решений в окрестности точки равновесия. Цель данного исследования — построение асимптотики при е —У 0 решений возмущенного уравнения (0.1) вблизи таких периодических решений. Основное внимание уделяется отысканию авторезонансных решений, характерным признаком которых является изменение амплитуды колебаний на величину порядка единицы на далеких временах.

Задачи о возмущениях периодических решений впервые возникли в связи с изучением движения небесных тел в XVIII веке. Вначале влияние возмущений учитывалось через дифференциалы за последовательные промежутки времени. В дальнейшем А. Линдштедт [1] и А. Пуанкаре [2, 3] предложили отслеживать глобальные параметры движения, которые в предельных уравнениях являются постоянными. Дальнейшее развитие и современное состояние теории возмущений переодических решений можно отследить по работам Б. Ван-дер-Поля [4], Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [5, 6], Г. Е. Кузмака [7], А. Н. Колмогорова [8], В. И. Арнольда [9, 10, 11, 12], Ю. Мозера [13], Г. Уизема [14], А. Х. Найфе [15], А. И. Нейштадта [16], Ф. Олвера [17], Р. Хабермана [18], С. Ю. Доброхотова и В. П. Маслова [19], М. Ф. Федорюка [20] и др.

— 1.

Уравнения, подобные (0.1), возникают при исследование разных физических процессов. Например, ряд задач, связанных с разогревом плазмы, работой ускорителей релятивистских частиц приводят к уравнениям вида (0.1). Модель физического маятника, возмущенного малой периодической силой дает один из простых примеров уравнения типа (0.1):

При исследовании осциллирующих процессов важнейшую роль играют резонансы. С математическими моделями этого явления знакомо большинство специалистов с техническим образованием. Популярный пример явления такого рода наблюдается в гармоническом осцилляторе с накачкой, который описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Случай, когда собственная частота не совпадает с частотой накачки со2 ф и2, соответствует отсутствию резонанса. При этом все решения ограничены равномерно по t 6 М, 0 < е < 1 и остаются малыми, если мала начальная амплитуда и амплитуда накачки е. Случай, когда собственная частота совпадает с частотой накачки ш2 = и2, соответствует резонансу. Все решения неограниченно растут и на далеких временах t «е-1 имеют амплитуду колебаний порядка единицы независимо от начальных данных и амплитуды накачки е.

Несколько иная ситуация складывается в случае, когда собственная частота колебаний постоянна и равно ш, а частота внешней силы медленно меняется и равна Ф'(ей): t> 0, 0 < е «1,, r = et. (0.2) й + со2и =? cos vt, 0 <? <�С 1, = const. и = A cos (tot + В) -1——- cos ut, А, В = const шг — и1 и = A cos (not + В) + — sin cot et й + ш2и = ?cos ((et)/s).

Здесь Ф (г) — гладкая функция. Точное решение этого уравнения имеет вид: ^ и = Acos (ut +В) + е / smui (t — в) собф (0)о?0.

J t0.

Возможны разные варианты изменения амплитуды колебаний. Если Ф'(е^) ф ±-и) при t? (t0, оо), то амплитуда колебаний меняется на величину О (е). Если существует единственная точка t*, такая что Ф'(et*) = ш, тогда изменение амплитуды более значительно и равно 0{е11к): здесь к наименьшее натуральное число, такое, что Ф 0. В этом можно убедиться, воспользовавшись методом стационарной фазы [21] для исследования получившегося интеграла. В случае, если подобных точек несколько, то каждая из них дает соответствующий вклад вблизи резонансной точки. Изменение амплитуды на величину порядка 0{л/е) происходит в узком слое (с характерным размером 0(л/ё)). Это явление носит название локального резонанса.

Аналогичная ситуация складывается при исследовании линейного осциллятора с переменной собственной частотой u{st) и постоянной частотой внешней силы и.

Более сложная ситуация возникает в нелинейных системах, например, при возмущение маятника малой периодической силой с постоянной частотой и: й + sin и = е cos ut.

В этом случае нет явной формулы для точного решения, но можно построить асимптотику решения при е 0. Подобные задачи интенсивно изучались математиками и физиками [22, б]. Известно, что максимально возможное изменение амплитуды колебаний имеет порядок 0(е1/" 2) для траекторий вдали от положения равновесия и порядок ©-(е1/3) вблизи положения равновесия. При фиксированной частоте накачки система выходит из резонанса из-за изменения собственной частоты с ростом амплитуды, и поэтому дальнейший рост амплитуды не происходит. Описанное явление носит название нелинейного резонанса. В нелинейной системе при постоянной частоте внешней силы изменение амплитуды на величину порядка единицы оказывается невозможным.

Несложно догадаться, что для более существенного изменения амплитуды колебаний в нелинейных системах необходимо менять частоту внешней накачки, чтобы оставаться в резонансе в течение длительного времени. Впервые эта идея была использовано в 40-х годах прошлого века Векслером [23, 24] и МакМиланом [25] при создании ускорителей релятивистских частиц. Позднее она использовалась в экспериментах по разогреву плазмы с теоретическим обоснованием в работах Голованев-ского в начале 1980;х годов, [26, 27, 28]. В настоящее время эффекты, связанные с авторезонансом, обнаруживаются в колебательных системах разной природы, и они знакомы многим физикам. По видимому, такого типа эффекты играют центральную роль в передаче и концентрации энергии в различных подсистемах окружающего мира. Систематическое исследование математических моделей этого явления, представимых в форме дифференциальных уравнений, началось с работы Фридлянда и Меереона [29], опубликованной в 1990 году. Оказалось, что для изменения амплитуды на величину порядка единицы достаточно, чтобы было правильно выбрано направление изменения частоты и чтобы амплитуда внешней накачки превышала некоторый порог. При выполнение этих условий система подстраивается под внешние условия так, что остается в резонансе продолжительное время. Следствием такого резонанса оказывается значительное изменение амплитуды вынужденных колебаний. Явление с автоматической подстройкой носит название авторезонанса или автофазировки. Диссертация посвящена математической проблеме, которая возникает при исследовании этого явления.

Возможно два различных сценария авторезонанса. В первом варианте невозмущенное решение находится вдали от положения равновесия, и под действием внешней накачки меняется на величину порядка единицы. Этот случай исследован в работе Б. В. Чирикова [30]. Во втором варианте невозмущенное решение находится вблизи положения равновесия и амплитуда вынужденных колебаний нарастает до величин порядка единицы.

К настоящему времени для модели, описываемой уравнением (0.1), известно существование двух типов решения с малыми начальными данными. Решения первого типа остаются малыми в течение длительного промежутка времени, решения второго типа нарастают со временем до величин порядка единицы. Как раз решения такого типа и будут исследоваться в работе. Известно, что разделение на разные типы решений происходит на начальном временном этапе и описывается так называемым уравнениям главного резонанса:

А}, ± (|А|2 — в2) А = д. (0.3).

Для этого уравнения известно существование двух типов решения [31].

Решения первого типа ограничены при всех значениях в, решения второго типа линейно растут при i9 —> оо. Решения второго типа как раз и соответствуют авторезонансному режиму колебаний.

Как известно, в решениях нелинейных уравнениях наблюдается эффект размножение гармоник. Из-за этого возможно возникновение эффекта авторезонанса при условии кратности собственной частоты и частоты внешней накачки. Подобное явление называется авторезонансом на субгармониках [32].

Постановка задачи.

В данной работе решаются две задачи. Одна из них связана с авторезонансом на главной гармонике. Для уравнения (0.1) рассматриваются решения, которые в начальный момент находятся в окрестности точки равновесия: u| + |u,|)|t=0 = 0(e1/3)1e->0. (0.4).

Ставится задача о построении асимптотики нарастающих до единицы решений на далеких временах t ~ г-1.

Вторая задача связана с субгармоническим авторезонансом. Исследуется уравнение с частотой возмущения, которая является делителем частоты невозмущенных колебаний: d2v + V'{u) = ef cos ( (i, в)/п), в = еЧ. (0.5).

Здесь 0 < е <�С 1 — малый параметр, фазовая функция Ф (£, 9) = t + фв3/6, в = e1t медленное время, /, ф ф 0,7 > 0 — константып — натуральное числов работе рассматриваются значения п = 2,3,4. Уравнение дополняется малыми начальными данными и + Н |t=0 = 0(е6),£ -^0,5>0.

Цель — выяснить ограничения на исходные данные, при которых энергия решения t,?) = (u')2/2 + V (u) вырастает до величины 0(1) на временах t = 0(е~п), несмотря на малость возмущающей силы ef (t, e) = 0(e).

Для решения поставленных задач в работе используются различные асимптотические методы. Это прежде всего методы усреднения [6], нелинейный метод ВКБ [19, 18], метод согласования асимптотических разложений [33, 34].

Краткое содержание по главам.

В первой главе проводится построение главного члена асимптотики как для задачи о гармоническом, так и для задачи о субгармоническом авторезонансе. В п. 1.1 приведены определения асимптотических последовательностей и рядов. Приводится пример использования метода многих масштабов для уравнения Ван-дер-Поля. В п. 1.2 предъявлен главный член асимптотики, пригодный на начальном этапе, задачи о гармоническом авторезонансе. Здесь показано, что для модуляции параметров главного члена асимптотики получается уравнение главного резонанса (0.3). Для этого уравнения приведена теорема о существовании двухпа-раметрического семейства растущих решений [35]. Показано, что решения, которые описывает приводимая асимптотика, становятся порядка единицы при t = С (е-1). Это время называется характерным временем авторезонанса.

Пункты 1.3−1.5 посвящены проблеме субгармонического авторезонаи-са и содержат результаты автора [36]. В пункте 1.3 проводится исследование уравнения (0.5) при п = 2. Показано, что в этом случае для возникновения авторезонансного эффекта необходимо выбрать показатель 7 = 4/3. Главный член формального асимптотического решения в этом случае имеет вид:

Здесь, А — комплекснозначная амплитуда. Из требования ограниченности следующих поправок на нее выписывается уравнение. Оказывается, что при некоторых ограничениях на исходные данные амплитуда, А определяется из стандартого уравнения главного резонанса (0.3). В этом случае характерное время авторезонанса равно t = 0(е~2). Результаты этого параграфа сформулированы в следующем утверждении:

Теорема 1.4. Пусть в случае п = 2 правая часть уравнения (0.5) имеет амплитуду / и фазовую функцию: и = ?2//32Re [Aexpi (t + ф93/6)] + 0{е).

Ф = г + 93ф/6, в = e4/3t, ф = const со свойствами:

5/ЗУ^(0))2-У (4)(О))0<�О,.

2 о/|((5/ЗУ (з)(0))^-^)(0))13.

V 41.

Тогда уравнение (1.2) для амплитуды главного члена асимптотики решения уравнения (0.5) имеет линейно растущие решения А (9) = 0{9) при 9 —у оо.

Требования на исходные данные имеют простую физическую интерпретацию. Первое означает, что с течением времени внешняя и собственная частота меняются в одном направлении. Второе условие является требованием превышения амплитуды накачки над критической.

Пункт 1.4 посвящен случаю п = 3. При этом значении п главный член асимптотики имеет порядок г, для модуляции его амплитуды также получается уравнение (1.2). Характерное время авторезонанса в этом случае t = 0(е~г). Верна следующая теорема:

Теорема 1.5. Пусть в случае п — 3 правая часть уравнения (0.5) имеет амплитуду / и фазовую функцию: ф = t + 93ф/б, 9 = еН, ф = const со свойствами:

5/3V<3>(0))2- У (41(0))ф<0, j> у"(0) — ««-(V<�"(0))') jMfM >

J 16 384 KJ 81 920 /V 4.

Тогда уравнение для амплитуды главного члена асимптотики имеет линейно расту wtue решения А{9) = О (в) при 9 —оо.

В пункте 1.5 первой главы исследуется задача при п — 4. Этот случай принципиально отличается от предыдущих. Главный член формального асимптотического решения в этом случае также имеет порядок е, он равен по порядку возмущению. В работе показано, что при разумных ограничениях на исходные данные для модуляции амплитуды главного члена получается уравнение, все решения которого ограниченные функции медленного времени. Доказана следующая теорема:

Теорема 1.6. Пусть в случае п = 4 правая часть уравнения (0.5) имеет, амплитуду f и фазовую функцию:

Ф = t + ф9ъ/6, 9 = еН со свойствами:

5/ЗУ (3)(0))2- У^(0))ф<0.

Тогда амплитуда главного члена асимптотики является функцией, ограниченной при е~Н —> оо.

При п — 4 оказывается, что авторезонансный эффект не возникает. Возможно это связано с неправильным выбором медленной переменной в фазе. Другой выбор 9 в данной работе не обсуждается.

Главы 2−4 посвящены построению и обоснованию асимптотики для авторезонанса на главной гармонике.

В главе 2 строится формальное асимптотическое решение уравнения (0.1) на временном промежутке, который соответствует начальному этапу авторезонанса. В соответствие с принятой терминологией это разложение называется внутренним. Основной результат этого пунктаТеорема 1. Пусть выполнены условия:

5(y<3>(0))2/3-V<4>(0)>0, ^>-5(y (31(0))f/(30)1/W (0)>°тогда для уравнения (0.1) существует асимптотическое решение в виде ряда оо u (t, е) = е1/32Кcos (<�р + Ф) + е1/3 ek/3vk (.

Здесь ср = t — 93ф (т)/6, в = e2/3t, — ограниченные, периодические функции первого аргумента, гладкие по т, полиномы по второму и третьему аргульенту. Параметры 7Z, Ф удовлетворяют усредненным уравнениям и имеют асимптотику при в —> оо, определенную выражениями оо.

П = 9R0{t) + ЛГ¾С sin г] + аг3'4 ^0-*/4г*(77, С, г), k=x оо ф = Фд (т) + Г¼С cos ц + Г¼ B~k/AMv, С, г). г=1.

Здесь все функции являются гладкими, периодическими по г], полиномами по С. Для параметров С, г] построена асимптотика при в —оо: оо.

C = C°C0® + 5]rfc/2C,(r, C0), k=l оо.

Г] = (г) + в’А/2 9 к12Щ{т, С0) + rf (т) In 0 + rf, к=1 которая содержит два произвольных параметра С°, г)°. Построенные ряды является асимптотическим при е —>¦ 0 равномерно по в <�С е-1/3, либо определены при О < г < tq и являются асимптотическими при в —^ оо равномерно по параметрам. В конструкции асимптотического решения присутствуют два произвольных параметра С°, г)°.

Доказательство этого утверждения разбито на несколько подпунктов, теорем и лемм.

В заключение этой главы определяется структура асимптотики при е —0 на далеких временах (во внешней области). Для этого используется асимптотика при 9 —"• оо построенного внутреннего разложения. В ней проводится замена в — е~1/'Ат и ряд заново перераскладывается при е —> 0. Получившееся разложение соответствует ростку формального решения во внешней области. На этом пути, исходя из соображений согласования [33], выясняется, что амплитуда и фаза внешнего разложения в главном являются функциями т, а поправки имеют порядок е7|/12 и г1/12 соответственно и осциллируют в масштабе el/2t.

В главе 3 строится формальное асимптотическое решение при е —> 0 для уравнения (0.1) на далеких временах t fa £~г (во внешней области). Главный член внешнего разложения W (а, А) представляет собой решение невозмущенного уравнения: co2{A)d2aW + V'{W) = 0.

Здесь со (А) — частота собственных колебаний. Параметр, А — полная амплитуда первой основной гармоники колебаний. Асимптотическое решение строится с использованием идей нелинейного метода ВКБ. Результат по внешнему разложению сформулирован в следующем утверждении.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда для уравнения (0.1) существует двухпараметрическое семейство асимптотических решений оо оо u (t, е) = W{a, + ^Ukmi*, ^ А г). к=1 т=0.

Здесь а, а определены выражениями:

Параметры А, О определяются выражениями.

А = А0(т) + е7/12АоС sin в + Лов7'12? ?k'l2Pk{s, С, т), к=1.

VL — Vtn{r) cos s + е1/12 ^^ ?k^12Xk (s, С, т). fe=i.

Для величии С, s построена асимптотика оо 71=1.

ОО.

S (T, е) = s-^2s0® + a'1'2 ]Г С0) + 8°. п=1 в которой присутствует два произвольных параметра С0, s°. Все ряды являются асимптотическими при е —> 0 равномерно по е-2/3 <�С t < 0(е-1).

Глава 4 посвящена согласованию построенных внутреннего и внешнего разложения и обоснованию полученного асимптотического решения. В пункте 4.1 устанавливается связь пары констант внутреннего С'0, г)° и внешнего разложения С0, s°. Доказана Теорема 3. Если выбрать.

С° = С v° = s° + ri*(C0) In г, о то внутреннее и внешнее асимптотические решения, построенные в теоремах 1 и 2 асимптотически совпадают при ?-1/3 <�С tС е-1.

В результате этой теоремы получается двухпараметрическое асимптотическое решение U (t,?, C°, s°) уравнения (0.1) равномерное при 0 < t < 0{е~1).

Цель пункта 4.2 обоснование построенной асимптотики. Результат этого пункта сформулирован в теореме:

Теорема 4. Для уравнения (0.1) существует точное решение, зависящее от двух произвольных параметров: u (t7?, C°, s°), которое при е —? 0 раскладывается в построенный выше асимптотические ряды различные на разных временных промеоюутках.

Для доказательства этого утверждения нужно показать, что разница между точным решением и и отрезком формального асимптотического решения Un (t,?, C°, s°) мала. Здесь в качестве отрезка формального асимптотического решения, выбирается отрезок ряда Un (t,?, C°, s0) который при подстановки в уравнение (0.1) дает невязку порядка еп+2. В работе доказывается утверждение, что Vn g N существует еп, тп, Мп > 0 такие что для любых e, t из интервалов 0 < е < sn, 0 < t < £~лтп выполнено:

Константы £п, тп, Мп > 0 зависят только от п. Это равносильно утверждению сформулированному в теореме.

Глава 5 диссертации содержит результаты двух численных экспериментов. Цель первого из них — показать на примере численного счета, что для уравнения главного резонанса существуют растущие решения. В плоскости начальных данных отделить области соответствующие растущим и ограниченным решениям. В результате численного счета видно, что растущие начальные данные образуют область со сложной спиралевидной структурой.

Второй численный эксперимент показывает, что поправка к амплитуде авторезонансных колебаний имеет порядок г7/12 и осциллирует. Для этого рассматривалась следующая задача Коши: качестве Ф (г) использовалось непрерывная функция со следующей производной:

Это гладкая на всей положительной полуоси функция.

При различных значениях? была определена амплитуда колебаний функции, А и было показано, что она является величиной порядка е7/12, что полностью совпадает с теоретическими выкладками данной работы. Апробация работы. Отдельные результаты дисссертации докладывались на: 1) 33-ей Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 28 января -1 февраля 2002 г.- 2) XXIV Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 8−13 u (t, e, C°, s°) -Un (t,?, C0, s°) < Мп? п.

Ф'(т) = | т + ехр (-т2/(1-т2))/(т + 1), 0<�т < 1, ш/(m + 1), г > 1 m > 0. апреля 2002 г.- 3) Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, Уфа, ноябрь 2003, 2004 г. г.- 4) Семинаре «Дифференциальные уравнения математической физики «Института математики с ВЦ УфНЦ РАН, октябрь 2004 г., сентябрь 2005 г.- 5) Семинаре отдела уравнений математической физики ИММ УРО РАН, ноябрь 2003 г.- 6) Семинаре кафедры математического анализа ЧелГУ, февраль 2004 г- 7) Семинаре лаборатории математических методов механики Института проблем механики РАН, Москва, сентябрь 2005г- 8) Международной конференции «Асимптотики решений дифференциальных уравнений», Уфа, 26−30 мая 2002 г.- 9) Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского, МГУ, Москва, май 2004 г.- 10) Международной конференции «Symmetry and Perturbation Theory», Cala-Gonone, Italy, июнь 2004 г. Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [36, 37, 38, 39, 40, 41].

1. Lindstend A. Ueber die 1. tegration einer fur die wichtigen Differen-tialgleichung // Astron. Nach. 1882, 103, col.211−220.

2. Poincare H. Les mthodes nouvelles de la mecanique celeste. V. l-3, Paris: Gauthier-Villars, 1892, 1893, 1899.

3. Пуанкере А. Избранные труды. T.l. Новые методы небесной механики, М.: Наука, 1971.

4. Van der Pol В. On a type of oscillation hysteresis in a simple triode generator // Phil. Mag. 1922, 43, p. 177−193.

5. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю. А., Самойленико A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике., &bdquo-Наукова думка", Киев, 1969. 244С.

6. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М.: Наука, 1974. 501С.

7. Кузмак Г. Е. Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Прикладная математика и механика. 1951, 23(3), с.519−526.

8. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений для малых возмущений функции Гамильтона // Доклады АН ССОР. 1954, 98, с.527−530.

9. Арнольд В. И. Устойчивость положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных уравнений для общего эллиптического случая // Доклады АН СССР. 1961, 137, с.255−257.

10. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963, 18(6), с.91−192.

11. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики, М: ВИНИТИ, 1985. ЗОЗС.

12. Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М: Наука, 1989. 535С.

13. Moser J. A rapidly convergent iteration method and non-linear differential equations I // Annali della Scuola Norm. Super de Pisa ser. III. 1966, 20(2), p.265−315.

14. Whitham G.B. A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using a Lagrangian. //J. Fluid Mech. 1965, 27, p.273−283.

15. Найфэ A.X. Методы возмущений., M.: Мир, 1976. 455С.

16. Нейштадт А. И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром. // ПММ. 1975, 39(4), с.621−632.

17. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции., М.: Наука, 1990. 528С.

18. Bourland F.J., Haberman R. The modulated phase shift for strongly nonlinear, slowly varynng and weasly damped oscillators // SIAM J. Aprl.Math. 1988, 48, P. 737−748.

19. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях // Итоги науки и техники. 1980, 15, с.4−94.

20. Федорюк М. В. Метод ВКБ для нелинейного уравнения второго порядка // ЖВМиМФ. 1986, 26(2), с.198−210.

21. Федорюк М. Ф. Асимптотика, интегралы и ряды., М.: Наука, 1987. 544С.

22. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З.

Введение

в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса., М.: Наука., 1977. 368С.

23. Векслер В. И. Новый метод ускорения релятивистских частиц // Доклады АН СССР. 1944, 43, с.346−348.

24. Векслер В. И. О новом методе ускорения частиц // Доклады АН СССР. 1944, 44, с.393−396.

25. McMillan Е.М. The Synchrotron—A Proposed High Energy Particle Accelerator // Phys. Rev. 1945, 68, p.143−144.

26. Golovanivsky K. S. Autoresonant acceleration of electrons at nonlinear ECR in magnetic field which is smoothly growing in time // Phys. Scr. 1980, 22, p. 126−133.

27. Golovanivsky K. S. The gyromagnetic autoresonance // IEEE Trans. Plasma Sci. 1983, 11, p. 28−35.

28. Головаиевский К. С. Гиромагнитный авторезонанс с переменной частотой // Физика плазмы. 1985, 11, с. 295−299.

29. Meerson В., Friedland L. Strong autoresonance excitation of Rydberg atoms: the rydberg accelerator // Physical Review A. 1990, 41, P. 52 335 236.

30. Чириков В. В. Прохождение нелинейной колебательной системы через резонанс // Доклады АН СССР. 1959, 125(5), с.1015−1018.

31. Калякип Л. А. Асимптотический анализ модели авторезонанса // Доклады РАН. 2001, 378(5), с.594−597.

32. Friedland L. Subharmonic autoresonance. // Physical Review E. 2000, 61, p.3732−3735.

33. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М.: Наука, 1989. 336С.

34. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции, Л.: ЛГУ, 1974. 124С.

35. Kalyakin L.A. Justification of Asymptotic Expansions for the Principal Resonance Equations. // Proc. of the Steklov Inst, of Math. 2003, Suppl. 1., p. S108-S122.

36. Garifullin R.N. Asymptotic Analysis of a Subharmonic Autoresonance Model // Proc. of the Steklov Inst, of Math. 2003, 1, p. S75-S83.

37. Гарифуллип P.H. Построение асимптотических решений в задаче об авторезонансе // Доклады РАН. 2004, 398(3), с.306−309.

38. Гарифуллип Р. Н. Исследование роста решений нелинейного уравнения в зависимости от начальных данных. // Сборник трудов «Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике». БашГУ, Уфа. 2003, 1, с.189−195.

39. Гарифуллип Р. Н. Возмущение линейного осциллятора с очень медленными меняющими параметрами. // Сборник трудов «Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике». БашГУ, Уфа. 2004, 1, с.52−54.

40. Гарифуллип Р. Н. Асимптотический анализ модели субгармонического авторезонанса. // Труды XXXIII Молодежной школы-конференции. ИММ УРО РАН, Екатеринбург, 2002. с.126−129.

41. Гарифуллип Р. Н. Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внешнее разложение. Электронный журнал «Исследовано в России», 180, с.1857−1875, 2005 г. http: / / zhurnal. ар е. relarn. ru / articles /2005/180.pdf.

42. Kalyakin L.A. Asymptotic analysis of an autoresonance model // Russ. J. Math. Phys. 2002, 9, p.84−95.

43. Friedland L. Subharmonic autoresonance. // Physical Review E. 2000, 61, p.3732−3735.

44. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1969. 379С.

45. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа, М.: Наука, 1967. 368С.