Анализ и расчет линейных цепей синусоидального тока

1. Способы представления и параметры.

2. Элементы R, L, C в цепи синусоидального тока.

3. Алгебра комплексных чисел.

4. Символический метод.

5. Законы цепей в символической форме.

6. Фазовые соотношения между напряжением и током на элементах R, L, C.

7. Применение символического метода.

8. Векторные и топографические диаграммы.

9. Мощности в цепях синусоидального тока. Баланс мощностей.

10. Передача мощности от активного двухполюсника в нагрузку в цепи синусоидального тока.

1. Способы представления и параметры.

Переменный ток (напряжение) — это ток (напряжение), изменяющийся во времени либо по величине, либо по направлению, либо и по величине и по направлению. Частным случаем переменного тока является периодический ток.

Минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются мгновенные значения в том же порядке, называется периодом T с функции.

Синусоидальные токи и напряжения — это частный случай периодических токов и напряжений:

Величину обратную периоду называют частотой:

Гц.

Периодические токи и напряжения характеризуются:

— амплитудным значением (I_m, U_m) — максимальным значением за период;

— средним значением (I_{0 ,}, I_СР, U_{0 ,}, U_СР).

;

— средневыпрямленным значением (I_{ср. в.}, U_{ср. в.}).

;

— действующим значением (I, U, Е, J).

Действующим значением периодического тока называется такая величина постоянного тока, которая за период оказывает такое же тепловое действие, что и периодический ток. Пусть.

тогда мгновенная мощность переменного тока:

.

Энергия, выделяющаяся за период в сопротивлении.

.

Пусть по тому же сопротивлению R протекает постоянный ток, тогда мгновенная мощность постоянна:

.

Приравнивая энергии и, получим величину постоянного тока, оказывающего такое же тепловое действие, что и периодический ток, т. е. действующее значение периодического тока:

.

Аналогично записывают формулу для действующего значения напряжения.

Активная мощность Р — это среднее значение мгновенной мощности за период:

.

Наиболее распространенным периодическим током является синусоидальный ток. Это связано с тем, что периодические сигналы, встречающиеся в электротехнике, можно представить в виде суммы синусоидальных функций кратных частот (ряд Фурье) и синусоидальный режим является наиболее экономичным режимом в цепях (минимальные потери). В стандартной форме синусоидальные токи и напряжения записывают следующим образом:

и.

— и — амплитудные значения,.

— - называется фазой и показывает состояние, в котором находится изменяющаяся величина.

— - угловая частота,.

— - начальная фаза, т. е. фаза в момент начала отсчета времени. На графике начальную фазу определяют от момента перехода синусоиды с отрицательных значений к положительным до начала координат.

Два колебания одинаковой частоты совпадают по фазе, если у них одинаковые начальные фазы; сдвинуты по фазе, если у них разные начальные фазы. Синусоида с большей начальной фазой опережает синусоиду с меньшей начальной фазой. Если сдвиг фаз равен говорят, что синусоиды в противофазе. Если сдвиг фаз, то синусоиды в квадратуре.

Для синусоидальных колебаний имеем:

Интеграл от второго слагаемого =0 (см. вывод среднего значения).

В цепях синусоидального тока и напряжения мощность в каждый момент времени различна. Поэтому из равенства теплового действия выводят понятие активной мощности Р.

2. Элементы R, L, C в цепи синусоидального тока.

Пусть через каждый элемент протекает синусоидальный ток.

.

Тогда, согласно компонентным уравнениям и с учетом синусоидальности тока получаем:

;

;

Напряжения на элементах в цепи синусоидального тока так же синусоидальны и имеют ту же частоту, но другие амплитуды и начальные фазы. Учитывая стандартную запись напряжения, получаем.

Напряжение на сопротивлении совпадает с током по фазе, напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰, напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰. Определим мгновенную и активную мощности на каждом элементе:

;

;

.

для R.

для L.

для C.

Таким образом, мгновенная мощность во всех элементах изменяется с двойной частотой тока. Однако мгновенная мощность в сопротивлении R содержит еще постоянную составляющую, поэтому активная мощность получается больше нуля. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют: половину периода мощность поступает от внешней цепи, а во вторую половину периода эти элементы отдают мощность во внешнюю цепь. В те моменты времени, когда индуктивность потребляет активную мощность, емкость генерирует её и наоборот.

Так как сопротивление R потребляет активную мощность, то его называют активным сопротивлением. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют, поэтому их называют реактивными сопротивлениями и обозначают соответственно Oм и Oм.

Для расчета режима в цепи синусоидального тока можно записать систему уравнений по законам Кирхгофа, используя полученные соотношения между напряжением и током на элементах. Это будет система тригонометрических уравнений. Уравнения будут содержать синусоиды различной амплитуды и начальной фазы и необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный метод анализа режимов цепей синусоидального тока — метод комплексных величин или символический метод.

3. Алгебра комплексных чисел.

Комплексным числом называют пару чисел, изображающих вектор на комплексной плоскости. Будем изображать комплексное число заглавной буквой с чертой внизу (). Вводится мнимая единица:

Комплексное число может быть представлено в разных формах:

— показательная форма: — это вектор на комплексной плоскости, где — длина (модуль) вектора, — аргумент или фаза. Фазу всегда отсчитывают против часовой стрелки от положительного направления вещественной оси;

— алгебраическая форма: — это точка на комплексной плоскости, где — координаты по вещественной и мнимой осям, причем:

,.

Переход от одной формы записи комплексного числа к другой:

.

Складывать комплексные числа предпочтительно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма:

Вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма (вектор разности направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого):

Умножать и делить комплексные числа удобнее в показательной форме:

; .

Комплексные числа, не зависящие от времени, обозначают заглавными буквами с чертой внизу:, а комплексно сопряженные им числа обозначают еще и звездочкой сверху: это числа, у которых та же вещественная часть, а мнимая с обратным знаком.

Комплексные числа, которые являются функциями времени, обозначают заглавными буквами с точкой сверху:, а комплексно сопряженные им числа обозначают заглавными буквами со звездочкой сверху: это числа, у которых тот же модуль, но фаза с обратным знаком.

Так как, то умножить комплексное число на j это значит, не изменяя его модуля, увеличить фазу на 90⁰ или повернуть соответствующий вектор на 90⁰ против часовой стрелки. Разделить на j — наоборот:

.

4. Символический метод Пусть есть комплексное число с линейно изменяющимся во времени аргументом:. На комплексной плоскости это число представляет неизменный по длине вектор, вращающийся против часовой стрелки с постоянной скоростью .

Любую синусоидальную функцию времени можно представить в виде проекции на вещественную или мнимую ось соответствующего вращающегося вектора.

Проекция вектора на мнимую ось дает синусоидально изменяющуюся функцию времени:

Вводят специальное обозначение (символы):

— комплекс амплитудного значения тока или.

— комплекс амплитудного значения напряжения. Они содержат информацию об амплитуде и начальной фазе синусоидального колебания.

Комплекс амплитудного значения деленный на, дает комплекс действующего значения:

и .

Комплекс амплитудного или комплекс действующего значения позволяют перейти к мгновенному значению, например:

;

.

5. Законы цепей в символической форме.

1. Первый закон Кирхгофа Алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.

Подставим вместо каждого мгновенного значения тока его представление в виде комплекса амплитудного значения, тогда .

Так как в любой момент времени нулю равна сумма проекций вращающихся векторов, следовательно, нулю должна равняться сумма самих вращающихся векторов, т. е. получим. Так как, то сократим на нее и получим .

Алгебраическая сумма комплексов амплитудных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.

Поделив на, получим первый закон Кирхгофа для комплексов действующих значений.

2. Второй закон Кирхгофа После аналогичных преобразований получим:

или .

Алгебраическая сумма комплексов амплитудных (действующих) значений напряжений на всех элементах контура, кроме ЭДС равна алгебраической сумме комплексов амплитудных (действующих) значений ЭДС этого же контура.

Однако для самих амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа не выполняются.

6. Фазовые соотношения между напряжением и током на элементах R, L, C.

Комплексы амплитуд напряжения и тока на элементах R, L, C связаны между собой.

Для R:

, где U_m=RI_m,, _u=_i.

Перейдем к проекциям вращающихся векторов:

.

=>

Так как.

.

Тогда.

:

Для L:

.

.

.

_u=_i + 90⁰.

: — комплексное сопротивление индуктивности.

Для C:

.

_u=_i — 90⁰.

: — комплексное сопротивление емкости.

Таким образом, для любого элемента в цепи синусоидального тока — некоторое комплексное число по размерности оно соответствует сопротивлению, и поэтому его называют комплексом полного сопротивления и обозначают. Тогда:

.

.

.

представляет закон Ома в символической форме.

Комплекс полного сопротивления участка пассивной цепи синусоидального тока рассчитывают так же, как в цепи постоянного тока, если вместо элементов участка использовать комплексные сопротивления этих элементов.

.

где:

— коэффициент пропорциональности между амплитудными или действующими значениями напряжения и тока на данном элементе;

показывает на сколько фаза напряжения больше фазы тока на данном элементе.

Иногда строят треугольник сопротивлений. Фактически это и есть изображение комплекса полного сопротивления на комплексной плоскости.

Величина, как любое комплексное число, может быть представлена в показательной, тригонометрической или алгебраической форме:

.

где — вещественная часть комплекса полного сопротивления, ее называют активной составляющей комплекса полного сопротивления;

— мнимая часть комплекса полного сопротивления, ее называют реактивной составляющей комплекса полного сопротивления;

— модуль комплекса полного сопротивления;

— фаза комплекса полного сопротивления, изменяется в пределах .

Величину обратную комплексу полного сопротивления называют комплексом полной проводимости (КПП):

где.

.

Для получения в «буквах» активной и реактивной составляющих комплекса полной проводимости по заданным в «буквах» активной и реактивной составляющим комплекса полного сопротивления:

7. Применение символического метода.

Полученные законы Ома и Кирхгофа в символической форме позволяют рассчитать режим в цепи синусоидального тока. Так как все методы расчета режима выводят из законов Кирхгофа, то они справедливы и для цепей синусоидального тока, но только в символической форме.

Примерный порядок расчета режима в цепи синусоидального тока.

1. Осуществляют переход от мгновенных значений источников энергии к комплексу амплитудных или комплексу действующих значений, что определяется точностью расчета.

2. Вычисляют комплексные сопротивления элементов схемы.

3. Рациональным методом находят токи в ветвях и напряжения на элементах.

4. Осуществляют переход от комплексов амплитудных или комплексов действующих значений к мгновенным значениям искомых величин.

Пример: Дано:, ,,. Найти: ток в цепи и напряжения на элементах.

,.

.

Перейдем к мгновенным значениям:.

8. Векторные и топографические диаграммы.

Эти диаграммы применяют:.

— для визуального представления фазовых соотношений между комплексными величинами;.

— для проверки правильности расчета;.

— правильно построенная диаграмма позволяет по известным значениям найти неизвестные.

Векторные диаграммы Векторные диаграммы — это изображение на комплексной плоскости некоторой совокупности векторов соответствующих комплексных величин, например:

Если вектора построены в масштабе, то можно упростить некоторые вычисления. Например, если построены векторы и, то по правилу параллелограмма можно получить их сумму .

После построения транспортиром и линейкой определяют величину результата.

Векторные диаграммы напряжений строят по направлению тока.

Топографические диаграммы Топографические диаграммы — это изображение на комплексной плоскости точек, соответствующих концам векторов комплексных потенциалов точек схемы. Такая картинка позволяет начертить комплексные напряжения между точками, не загромождая чертёж. Такую диаграмму строят либо по результатам расчёта, либо качественно.

Построения количественной топографической диаграммы Примерный порядок построения количественной топографической диаграммы.

1. Выбирают масштаб для тока.

2. На комплексной плоскости из начала координат откладывают векторы токов.

3. Правильность расчета токов схемы проверяют геометрически по первому закону Кирхгофа.

4. Выбирают масштаб для напряжения.

5. Схему разбивают на участки, содержащие один элемент. Точки, соответствующие концам этих участков, обозначают цифрами (номера узлов не меняют).

6. Для схемы с одним источником энергии принимают равным нулю потенциал узла, в который входит ток самой удаленной от источника и нагруженной ветви. В общем случае принимают равным нулю потенциал любого узла схемы. Точку с нулевым потенциалом располагают в начале координат, с нее и начинают построение диаграммы.

7. Последовательно обходят все элементы каждого контура. Обход контура ведут по возможности против направления тока, так как это направление возрастания потенциала. В этом случае для получения потенциалов соседних точек схемы необходимо прибавлять напряжение на элементах, что проще, чем вычитать. На диаграмме последовательно откладывают и обозначают векторы напряжений на всех элементах контура. Указывают номер потенциала соответствующей точки схемы.

8. Проверяют правильность расчета напряжений на элементах схемы геометрически по второму закону Кирхгофа.

9. Правильность расчета режима схемы проверяется по топографической диаграмме — диаграмма должна быть замкнутой.

Построение диаграммы качественно Качественное построение производят только в сравнительно простых цепях, в которых, как правило, есть один источник энергии.

Построение производят в следующем порядке.

1. Выбирают направление тока ветвей так, чтобы удобно вести построение против направления тока.

2. Схему разбивают на участки, включающие один элемент.

3. Задают на комплексной плоскости направление вектора тока в самой дальней от источника и нагруженной ветви и помещают вектор в начало комплексной плоскости.

4. Потенциал узла, в который ток этой ветви входит, принимают за ноль. Эту точку располагают в начале комплексной плоскости.

5. Находят с помощью закона Ома и первого закона Кирхгофа потенциалы соседних точек и токи соседних ветвей. Процесс продолжают до тех пор, пока ни получены все токи ветвей и все потенциалы узлов схемы.

6. Проверка — диаграмма должна быть замкнутой.

Задают направление вектор и помещают вектор в начало комплексной плоскости.

Принимают (в этом случае для получения большинства потенциалов точек схемы надо будет прибавлять напряжение на элементах схемы, что проще, чем вычитать их). Точку 4 располагают в начале комплексной плоскости.

9. Мощности в цепях синусоидального тока Всего различают 5 видов мощностей: мгновенная, активная, полная, комплекс полной мощности, реактивная.

, U=IZ, _U=_i +.

.

1. Мгновенная мощность[Вт].

содержит постоянную составляющую и косинусоидальную с двойной частотой. Постоянная составляющая зависит от амплитуд напряжения и тока и фазы комплексного сопротивления.

2. Активная мощность [Вт].

Интеграл от косинусоидальной функции за период равен нулю, поэтому Вещественную часть комплексного сопротивления называют активной составляющей сопротивления. Именно она определяет активную мощность.

3. Полная мощность S[ВА].

.

Эту мощность ещё называют габаритной, т. к. она фактически определяет размеры электротехнического устройства. Из выражения для активной и полной мощностей видно, что — коэффициент мощности, в энергетике он играет большую роль.

Для лучшего использования электрических машин и аппаратов желательно иметь возможно более высокий коэффициент мощности или возможно меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, то есть стремятся получить = 1. Так, например, для питания приёмника мощностью 10 000 кВт при = 0,7 источник питания должен быть рассчитан на мощность 14 300, а при = 1 — на 10 000 .

Высокий коэффициент мощности желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При данной активной мощности P приёмника ток в линии тем меньше, чем больше значение .

Для увеличения коэффициента мощности приёмника необходимо уменьшить его реактивную мощность .

4. Комплекс полной мощности [ВА].

.

где — комплексно сопряженное с.

5. [Вар] - реактивная мощность.

.

В цепи синусоидального тока выполняется баланс мощностей:

.

Генерируемые и потребляемые мощности считают по те же правилам, что и в цепях постоянного токе. В любой отдельно взятой схеме должен выполняться баланс мощностей.

Это выражение распадается на два других:

и .

Пример:, ,.

10. Передача мощности от активного двухполюсника в нагрузку в цепи синусоидального тока Как и в цепях постоянного тока возникает вопрос, как выбрать сопротивление нагрузки, чтобы от заданного активного двухполюсника в нагрузку поступала максимальная активная мощность.

Менять можно только сопротивление .

Активный двухполюсник заменим эквивалентным генератором с параметрами:.

Где, ,.

.

Видно, что при любом значении R_Н, если подобрать Х_н = - Х_вх, мощность нагрузки будет больше, чем при других значениях Х_н.

выражение совпадает с тем, что было на постоянном токе. Найдя dP_Н /dR_Н и приравняв производную к нулю, получают тот же результат: мощность станет максимальной, если R_Н = R_ВХ и Х_н = - Х_вх, тогда.

.

Такой режим работы называют режимом сопряжённого согласования. К сожалению, в цепях с реактивными элементами можно его достигнуть только на определенной частоте, так как с изменением частоты меняется сопротивления реактивных элементов.

В энергетических устройствах режим передачи максимальной мощности невыгоден вследствие значительных потерь энергии. В различного рода устройствах автоматики, электроники и связи мощности сигналов весьма малы, поэтому часто приходится специально создавать условия передачи приёмнику максимально возможной мощности. Снижение К.П.Д. часто никакого значения не имеет, так как передаваемая энергия мала.

1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С. М. Милюков, В. П. Рынин; Под ред. В. П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с., 2004. 20 с. (№ 3282, № 3624).

3. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В. Н. Зуб, С. М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с.

4. Теоретические основы электротехники. / Г. И. Атабеков, С. Д. Купалян, А. В. Тимофеев, С. С. Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.

5. М. Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.