Геометрическое моделирование волновых процессов на поверхности жидкости

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Для геометрического моделирования волнового движения поверхности несжимаемой идеальной жидкости под действием гравитационных сил получено общее уравнение для безвихревого течения, как наиболее существенного для рассматриваемых практических приложений — решения задачи о защите береговых сооружений от штормовых волн. Определены геометрические свойства поля скоростей идеальной несжимаемой жидкости… Читать ещё >

Геометрическое моделирование волновых процессов на поверхности жидкости (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

ГЛАВА 1. Анализ состояния проблемы и актуальность поставленных задач
- 1. 1. Формулировка задачи о гравитационных волнах на поверхности жидкости
- 1. 2. Основные геометрические характеристики векторных полей
- 1. 3. Систематизация алгоритмов решения задачи анализа волнения
ГЛАВА 2. Геометрическое моделирование резонансных волновых процессов на основе метода граничных элементов.¦ ¦
- 2. 1. Вывод основного уравнения для потенциала скорости жидкости
§-2.2.Геометрические характеристики безвихревого течения идеальной жидкости
- 2. 3. Преобразование уравнений движения жидкости для геометрического моделирования
§-2.4.Метод геометрического моделирования на основе интегральных уравнений
ГЛАВА 3. Расчет распространения волн в двумерной неоднородной среде методами геометрической акустики
- 3. 1. Обоснование применения методов геометрической акустики для моделировании поверхностных волн
- 3. 2. Луч как геодезическая линия при распространении волн в пространстве с плавно изменяющимися свойствами
- 3. 3. Асимптотические методы в дифракции волн на протяженных телах
§-3.4.Распространение волн через большие отверстия. ¦
ГЛАВА 4. Определение волнового возмущения поверхности жидкости методами дифференциальной геометрии. ¦
- 4. 1. Постановка неоднородной краевой задачи 3-го рода для неполного метода Галеркина
§-4.2.Алгоритм построения конформного преобразования заданной области в единичный круг и ему обратного
- 4. 3. Решение неоднородной краевой задачи с применением быстрого преобразования Фурье

Актуальность исследования.

Геометрическое моделирование процессов распространения гравитационных волн на поверхности. жидкости с применением численных методов имеет важное значение для понимания сложных процессов распространения и дифракции волн в открытой области, а также с практической целью — для расчета оптимальной конструкции защитных портовых сооружений. Одним из достоинств геометрических моделей является возможность получения наглядных представлений о рассматриваемых волновых процессах и выявление общих приемов в различных численных методах моделирования. Существующие аналитические модели [51,781 позволяют рассматривать задачи в системе волна-гавань в первом приближении, тогда как большинство характерных режимов распространения волны, особенно в областях с переменной глубиной, являются весьма сложными и описываются какими-либо асимптотическими теориями [57,71,104] весьма приблизительно, не давая точного решения. Характерным примером процессов подобного типа является процесс распространения волн с учетом переменного коэффициента отражения от береговой линии сложной формы в открытой области. Этот процесс носит стационарный (по времени) характер, обладает достаточно широкой характерной полосой частот волнения жидкости и может быть описан различными математическими моделями [21,261 с медленно меняющимися вдоль основного направления распространения амплитудами полей.

Применение численных методов решения задачи защиты портовых сооружений, имеющих, как правило, сложную геометрическую конфигурацию сооружений, а также неоднородную глубину акватории, не дает требуемой точности решения. Результаты решения полученные при помощи этих методов представляются в цифровом виде. Они требуют для своего представления в графическом, т. е. наиболее удобном для восприятия, виде разработки дополнительных алгоритмов и программ.

Разработка метода геометрического моделирования волновых процессов на поверхности жидкости основывалась на трудах ученых прикладников наших соотечественников Бюшгенса С. С., Иванова Г. С., Котова И. И., Кузнецова В. В., Пилюгина В. В., Фролова С. А., Якунина В. Й. и других, а также ряда иностранных ученых Пратт М. С Pratt M.), Препарата Ф. С Preparata F.), Фокс А. С Faux I.), Форрест А. С Forrest А.), Шеймос M. (Shamos MJ и других.

Разрабатываемый в диссертации метод геометрического моделирования процесса распространения волн в прибрежной зоне и акватории порта по своей сущности является более точным при решении задач такого класса, чем чисто численные методы [ 95, 27 ]. Так учет переменной глубины поверхности дна акватории может быть осуществлен при помощи задания этой поверхности точечным базисом [70]. Аппроксимация береговой линии сложной конфигурации может быть с достаточной для практического строительства волнозащитных сооружений точностью осуществлена отрезками прямых [1193. Для поверхности дна гавани необходимо использование более точных методов [ 2, 34, 35, 77, 90 ], обеспечивающих дифференцируемость аппроксимирующей функции. Найденное в результате расчетов решение представляется на экране компьютера в виде схемы С45, 87, 88, 100, 106]. Разработанный алгоритм решения изначально является геометрическим и требует для графического представления значительно меньше времени на обработку, чем численные.

Целью работы является: разработать методы геометрического моделирования и исследовать с помощью созданных на их основе вычислительных моделей процессы формирования поля гравитационных поверхностных волн в протяженной области с размерами во много длин волн при набегании внешней монохроматической волны с произвольного направления.

Методика исследований. Решение задач, поставленных в диссертации, базируется на методах аналитической, дифференциальной, проективной геометрии, геометрии многомерных пространств, а также применении численных методов решения дифференциальных уравнений и компьютерной графики.

Теоретической основой проведенных. исследований являются работы:

— по теории геометрических преобразований, аппроксимации поверхностей, вопросам геометрического моделированияАминова Ю. А., Валькова К. И., Иванова Г. С., Котова И. И., Первиковой В. Н., Рыжова Н. Н., Стародетко Е. А., Тевлина А. М., Тузова А. Д., Филиппова П. В., Четверухда Н. Ф., Якунина В. И.;

— по вопросам автоматизации графического решения задач.

Котова И. И., Пилюгина В. В., Фролова С. А., Шишкина Е. В., Якунина В. И., Ньюмена У., Форсайта Дж.;

— по численным методам решения задач, получающихся в результате геометрического моделирования — Григорьева А. Д., Ефимова Н. В., Каценеленбаума Б. 3., Тихонова А. Н., Бенерджи П., Шутца Б. и других.

Научная новизна.

Научную новизну проведенных исследований определяют следующие результаты:

— разработана геометрическая модель на основе сингулярных интегральных уравнений, описывающая процессы распространения гравитационных волн в протяженной области открытого типа с различными. граничными условиями;

— уточнен геометрический метод лучевого анализа при распространении волн (построение геодезических линий в неоднородном пространстве);

— разработан метод расчета волнозащищенности гавани с использованием приемов дифференциальной геометрии;

— рассмотрено влияние формы сооружений и береговой линии на защищенность акватории порта;

Практическая ценность работы заключается в следующих полученных результатах:

1.Результаты работы могут быть использованы при исследованиях распространения волн в гаванях с целью разработки и оптимизации, формы защитных сооружений.

2. Полученные результаты могут быть использованы прифизическом анализе сходных волновых процессов в открытых системах с неоднородным заполнением, например, в различных акустических устройствах.

3. Разработанные на основе геометрического моделирования численные модели могут быть также применены для разработки конструкций тонкостенных оболочек, которые рассчитываются исходя из аналогичных математических уравнений.

4.Результаты исследований позволяют упростить процесс проектирования волнозащитных сооружений путем использования разработанных в диссертации алгоритмов и компьютерных программ для моделирования проектируемых сооружений.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Геометрическая модель, описывающая волны в акватории с глубиной меньшей длины волны, позволяющая исследовать резонансные волновые процессы взаимодействия набегающих волн с береговой линией сложной формы.

2. Методика геометрического моделирования и алгоритм лучевого акустического метода расчета распространения волн в двумерной неоднородной. среде, позволяющая получить устойчивый и быстрый результат распространения волн в открытой области.

3.Метод расчета общего случая распространения волн с использованием конформных преобразований, позволяющий учитывать неоднородное по глубине дно и переменное граничное условие на береговой линии в рассматриваемой акватории.

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Диссертация объемом 177 страниц машинописного текста, содержит 44 рисунка, 2 таблицы.

Список литературы

включает 121 наименование.

Выводы по четвертой главе.

При рассмотрении задачи о геометрическом моделировании волнового движения поверхности жидкости одним из существенных аспектов является сложная форма береговой линии, задаваемая на основе натурных измерений и переменная глубина гавани. Поэтому для решение общей сложной задачи предложен метод с разделением ее на ряд этапов.

Краевая задача для уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами и неоднородным граничным условием третьего рода решается в единичном круге, на который преобразуется исходная область, аппроксимированная ¦ многоугольником. Разработана методика построения двойного конформного преобразования: многоугольника на круг и обратно. В единичном круге краевая задача решается путем разбиения исходной задачи на две взаимосвязанные: в одной учитывается неоднородность граничного условия при однородной глубине, во второй рассматривается влияние переменной глубины. Для решения используется неполный метод Галеркина с базовой системой функций в виде полиномов по радиусу г и тригонометрических функций по азимутальному углу <р для первой задачи. Для второй — используется разложение в двойной тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются с помощью редукции двумерной матрицы коэффициентов к одномерному случаю.

Такое разделение общей задачи, с применением методов дифференциальной геометрии, на ряд последовательных шагов, облегчает решение задачи о волнении жидкости в гавани, и дает возможность ее решения при наличии практически любой береговой линии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных в диссертационной работе исследований можно сделать следующие выводы: 1. Для применения в геометрическом моделировании гравитационных волн на поверхности жидкости в качестве вычислительной основы наиболее пригодны три, а) метод граничных элементов с использованием сингулярных интегральных уравнений, имеющий геометрическое истолкование как вариант метода проекцийб) метод построения лучей С геодезических) как наиболее быстрый и наглядныйв) вариационный метод с двукратным конформным преобразованием (метод дифференциальной геометрии) для наиболее-сложных случаев.

2. Для геометрического моделирования волнового движения поверхности несжимаемой идеальной жидкости под действием гравитационных сил получено общее уравнение для безвихревого течения, как наиболее существенного для рассматриваемых практических приложений — решения задачи о защите береговых сооружений от штормовых волн. Определены геометрические свойства поля скоростей идеальной несжимаемой жидкости. Сделан переход от общих уравнений к линеаризованным уравнениям решения задачи в акватории с глубиной значительно меньшей длины штормовых волн С" мелкая вода"), позволяющим перейти от решения трехмерной задачи к двумерной. Полученная двумерная граничная задача (уравнение Гельмгольца) решена методом интегральных уравнений на основе специально разработанного для этого алгоритма. Показано, что решение интегральных уравнений для значений потенциала скорости на границе аналогично определению свойств пространственного обьекта по его проекциям, а сведение, при численной реализации, к решению линейной системы неоднородных линейных уравнений — это переход от бесконечномерного пространства к пространству N измерений, где N — порядок рассматриваемой системы уравнений. Разработанная геометрическая модель, описывающая волны в акватории с глубиной меньшей длины волны, позволяет исследовать резонансные волновые процессы взаимодействия набегающей волны с берегом.

3. Рассмотренны методы решения задач распространения морских волн в ситуациях, когда характерный размер задачи много больше длины волны. Показано, что эти методы геометрические и, в частности методы геометрической акустики, позволяют найти основные свойства поля, не прибегая к значительно более трудоемким строгим методам.

При нахождении высокочастотных дифракционных полей можно использовать результаты, полученные строгими методами в эталонных задачах дифракции простых полей на простых телах (цилиндре, шаре, клине и т. п.). Эти методы позволяют более наглядно иллюстрировать решение задачи, путем создания программы расчета параметров и вывода их в виде наглядного изображения на экран компьютера.

Рассмотрена лучевая структура полей, сформулировано условие применимости геометрической акустики к гравитационным волнам на поверхности жидкости. Разработаны компьютерные программы для расчета лучевым методом, с учетом обмена энергией между лучами и влияния отражений. 4. При рассмотрении задачи геометрического моделирования волнового движения поверхности жидкости одним из существенных 'аспектов является сложная форма береговой линии, задаваемая на основе натурных измерений и переменная глубина гавани. Поэтому для решение общей сложной задачи предложен метод с разделением ее на ряд этапов.

Разработана методика построения двойного конформного преобразования: многоугольника на круг и обратно. В единичном круге краевая задача решается путем разбиения исходной задачи на две взаимосвязанные:" в одной учитывается неоднородность граничного условия при однородной глубине, во второй рассматривается влияние переменной глубины. Такое разделение общей задачи, с применением методов дифференциальной геометрии, на ряд последовательных шагов, облегчает решение задачи о волнении жидкости в гавани, и дает возможность ее решения при наличии практически любой береговой линии.

Показать весь текст

Список литературы

Авдоньев Е.Я. Конструирование форм современных машин, аппратов и сооружений. Киев-Одесса: Лыбидь, 1990, -153 с.
Акимова И. Н. Машинные методы кусочно -поверхностной аппроксимации функций двух переменных. М.: МАИ, вып. 232, 1971, с. 26−30.
Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968, -911 с.
Алиев И. Н. Приближение геометрической акустики для поверхностных волн. М.: ЖПМТФ, 1992, N3, с. 69−73.
Алиев И. Н. Геометрическая акустика капиллярных волн для неоднородных электрических полей. М.: Магнитная гидродинамика, 1990, N4, с. 109−114.
Аминов Ю. А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987, -307 с.
Аминов Ю. А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990, -208с.
Афонин И. М. Применение метода граничных элементов для расчета стационарных волн в двумерной области. Деп. в
ВИНИТИ № 2000-В95 от 04.07.95., -И с. 9. Афонин И. М. Сравнительный анализ методов моделирования волновых процессов на поверхности жидкости. Деп. в ВИНИТИ
Всероссийской научно практической конференции по компьютерной геометрии и графике «Кограф 97», Нижний Новгород, 27−31 октября 1997 г., с. 31−32.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988 г., -128 с.
Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984, -494 с.
Березин И. С., Жидков И. П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962. -468 с.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973, -720 с.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1985, -843 с.
Буземан Г. Геометрия геодезических. / Пер. с англ. под ред. И. М. Яглома. М.: Физматгиз, 1962, -503с.
Бюшгенс С. С. Геометрия векторного поля. М.: Изв. АН СССР, сер. математика, 1946, т. 10, с. 73−94.
Бюшгенс С. С. Геометрия стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости. М.: Изв. АН СССР, сер. математика, 1948, т. 12, с. 481−512.
Бюшгенс С. С. Геометрия адиабатического потока. М.: Учен, зап. МГУ, 148, сер. математика, 1951, с. 50−52.
Ваганов Р. Б., Каценелебаум Б. 3. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982, -272 с.
Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголо-номных динамических систем. /Тр. семинара по вект. тензор, анализу. М.: 1941, вып. 5, с. 301−327.
Вазов В., Форсайт Дж. Разностные ¦ методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Наука, 1963, -487 с.
Вальков К. И. Лекции по основам геометрического моделирования. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1975, -180 с.
Верлер К. X. Обработка графической информации с помощью вычислительной техники. М.: Машиностроение, 1979, -254 с.
Виноградова М. Б., Березин Ю. В., Руденко 0. В. Теория волн. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. -422 с.
Волков И. К., Загоруйко Е. А. Фаликова И. Д. Задачи математической физики и их решение методом интегральных преобразований. Учебное пособие. М.: МГТУ, 1994., -64 с.
Гильберт Д. Основания геометрии. М., Л.: Гостехиздат, 1948, -319 с.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981, -344 с.
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. Пер с фр. А. Г. Кушниренко. М.: Мир, 1978, -188 с.
Григорьев А. Д., Янкевич В. Б. Численные методы расчета электромагнитных полей свободных волн и колебаний в регулярных волноводах и полых резонаторах. М.: Зарубежная радиоэлектроника, 1977, вып.5, с. 43−67.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964, 300с.
Ефимов Н. В., Розендорн 3. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970, -528 с.
Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, -352 с.
Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985, -224 с.
Иванов Г. С. Конструирование технических поверхностей С математическое моделирование на * основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987, -192 с.
Иванов Г. С. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1995, -224 с.
Канторович J1. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962 г., -708 с.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, М.: «Мир», 1971, -257 с.
Картан Э. Интегральные инварианты. М. —Л.: ГИТТЛ, 1940, -345 с.
Каценеленбаум Б. 3. Проблема аппроксимируемости электромагнитного поля. М.: Наука, Физматлит, 1996, -176 с.
Кендэл М., Моран.П. Геометрические вероятности. М.: Наука, 1972, -187 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М. -Л.: Гостехиздат, 1934, -444 с.
Корн П.,. Корн Д. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, Гл. ред. физ. -мат. лит., 1983, -869 с.
Котов И. И., Полозов В. С., Широкова Л. В. Алгоритмы машинной графики. М.: Машиностроение, 1977, -231 с.
Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956, -318 с.
Кузнецов В.В.-', Ледовских И. А., Афонин И. М. Моделирование поверхностных гравитационных волн в прибрежной зоне. Труды 2-ой Международной конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук». М.: МГТУ, 1994, с. 179−182.
Кузнецов В.В., Дементеев В. В. Дифракция морских волн на акватории порта сложной конфигурации. Депонир. М.: ВИНИТИ, N 7230-В89, 1989, -26 с.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.: ОГИЗ, 1947, -664 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, -532 с.
Ландау Л. Д., ЛившицЕ. М. Теоретическая физика, т. б Гидродинамика. М.: Наука, 1988 г., -733 с.
Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976, -926 с.
Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, М.: Мир, 1967, -387 с.
Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: ГИФМЛ, 1960, -618 с.
Малов Ю. И., Мартинсон Л. К., Рогожкин В. М. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при плазменномнапылении. М.: Вестник МГТУ, 1994 г., №з, стр. 3−16.
Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Сов. радио, 1970, -119 с.
Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964, -435 с.
Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970, -512 с.
Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т.1. -М.: ГРФМЛ, 1958, -719 с.
Немыцкий В. и Степанов В. Качественная теория дифференциальных уравнений, изд. 2. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949, -371 с.
Никольский В. В., Никольская Т. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983, -304 с.
Норри Д., Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981, -304 с.
Ньюмен У., Спрулл Р. Основы интерактивной машиннойграфики. М.: Мир, 1976, 190 с.
Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения. нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975, -558 с.
Перминов 0. Н. Программирование на языке Паскаль. М.: Радио и связь, 1988, -224 е.
Пилюгин В. В. «Сумароков Л. Н., Фролов К. Ф. Машинная графика и автоматизация научных исследований. / Вестник АН СССР. 1985, вып. 10, с. 50−58.
Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: изд-во МГУ, 1990, -382 с.
Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение. /Пер. с англ. под ред Ю. М. Баяковского. М.: Мир, 1989,-478с.
Рошаль А. С., Лейтан В. А. Об одном методе численного моделирования электродинамических процессов. М: Радиотехника и электроника, 1980, N 6, с. 1160−1164.
Рыжов Н. Н. Аппроксимация сложных поверхностей линейчатыми и многоуровневыми поверхностями. / Тр. Моск. научно-метод. семинара по начерт. геом. и инж. граф. М.: Вып. 2, 1963.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи, методы, примеры. М.: Наука, Физматлит, 1997, -320с.
Слухаев В. В. К геометрической теории стационарного движения жидкости. М.: ВАН СССР, 1971, т.196, N3.
Слухаев В. В. Геометрическая теория стационарного движения идеальной жидкости. Новосибирск: Числ. методы мех. сплошной среды, 1973, т.4, N1, с. 131−145.
Соболев В. В., Соболева Н. В. Численное построение конформного отображения ограниченной односвязной жордановой области на единичный круг и обратного отображения.
М.: Инф. бюллетень «Алгоритмы и программы», 1997, N1, с. 2.
Стародетко Е. А. Элементы вычислительной геометрии /АН БССР, Ин-т технической кибернетики. Минск: Наука и техника, 1986, -240 с.
Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970 ,-248 с.
Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976, -248 с.
Стокер. Дж. Волны на воде. М.: Иностр. лит., 1959, -817 с.
Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977, -287 с.
Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 1980, -454 с.
Тевлин А. М., Иванов' Г. С., Нартова Л. Г. Обобщенные проекционные методы. М.: МАИ, 1977, -64 с.
Тихонов А. Н., Свешников А. Г. Теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1979, -287 с.
Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Том 1. М.: Мир, 1978, -547 с.
Филиппов П. В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. Л.: ЛГУ, 1979, -280 с.
Фокс В., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982, -304 с.
Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, -279 с.
Фролов С. А. Автоматизация процесса графического решения задачи. Минск: Вышэйш. школа, 1980-^-256 с.
Фролов С. А. Кибернетика и инженерная- графика. М.: Машиностроение, 1974, -222с.
Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. М.:1. И. Л., 1954-, -309 с.
Шишкин Е. В., Плис А. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: «Диалог-МИФИ», 1996, -240с.
Пуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. /, Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматгиз, 1963, -540 с.
Шутц Б. Геометрические методы математической физики./ Пер. с англ. под ред. Б. А. Дубровина, П. Б. Медведева. М.: Мир, 1984, -303 с.
Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных задачах. / Под ред. О. Б. Лупанова, С. Н. овикова,
A. И. Кострикина. М.: МГУ, 1991, -204 с. ,
Вопросы прикладной геометрии. Сб. статей под ред А. М. Тев-лина. М.: изд. МАИ, 1972Ссб. тр. МАИ вып. 246), -117 с.
Геометрические преобразования и прикладная многомерная геометрия. Сборник статей под ред. Н. Ф. Четверухина и
B.Н. Первиковой. М.: МАИ, 1973(вып.271) и 1974 (вып.307).
Геометрические модели и алгоритмы. / Межвед. темат. сб. трудов. Под ред. К. И. Валькова. Л.: ЛИСИ, 1988, -137 с.
Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. / Сб. статей МГУ им. М. В. Ломоносова, мехманико-мат. ф-т. Под ред. В. В. Козлова, А. Т. Фоменко.-М., изд-вл МГУ, 1986, -162 с.
Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. Сборник статей под ред. И. И. Котова. М.: МАИ, вып. 3−13, 1969−1976 г. г.
Кинематические методы конструирования технических поверхностей. Темат. сб. науч. трудов под ред. A.M. Тевлина. М.: МАИ, 1973, -112 с.
Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Ред. Т. Круз, Ф.Риццо. М.: Мир, 1979, -296 с.
Методы математической физики: линейная алгебра, дифференциальная геометрия. Учебное пособие. / Вестяк А. В., Горюнов A.B., Тарлаковский Д. В. М.: МАИ, 1990, -51 с.
Нелинейные волны.. Под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса. М.: Мир, 1977, -319с.
Прикладная геометрия и инженерная графика. Респ. межвед. научно-тех. сборник, вып. 1−25. Киев: Буд1вельник, 1968−1978г.
Прикладная геометрия и машинное проектирование./Сб.статей под ред. И. И. Котова, B.C. Левицкого. М.: МАИ, 1977,-95с.
Справочник по специальным функциям. / Под редакцией -М.Абрамцева, И.Стиган. М.: Наука, 1979, -689 с.
Физический энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1995, -895 с.
Abraham R. Foundation of mechanics, New York, Benjamin, 1967.
Arnold V., Avez A., Problemes ergodiques de la mecaniqueclassique, Paris, Gauthier-Villars, 1967.
Davies J.B. Review of methods for numerical solution of the hollow waveguide problem. -Proc. IEE, 1972, v. 119, N 1, p. 33−37.
Forrest A. Computational geometry. -Proc. Roy. Soc. Lond., 1971, A-321, p. 187−195,
Frolicher A. Nijenhuis A., Theory of vector -valued differential forms, Ind. Math., 18, 1956, 338−385.
Gallissot F., Les formes exterieures en mecanique, Ann. Inst. Fourier, 4, 1952, 145−297.
Johns P.B. Application of the transmission line method to homogeneous waveguides of arbitrary cross- section. -Proc. IEE, 1972, v. 119, N 8, p. 1086−1091.
Johns P. B., Arhtarzad S. Three-dimensional analysis of microwave cavities using the TLM method. -IEEE Micro-wave Theory and Techniques' Int. Symp. Microwave Serv. Man., Palo Alto, Calif., 1975, p. 200−201.
Klein J., Espaces variationnels et mecanique, Ann. Inst. Fourier, 12, 1962, 1−124.
Klein J., Operateurs differentiels sur les varietes presque tangentes, Paris, ComptesRendus Asad. Se., 257, 1963,2392−2394.
Kongoumjan R. G., Pathak P. H. A uniform geometrical theory of difraction for an edge in a perfectly conducting surfase. Proc. I.E.E.E. 62, 1974, p. 1448−1461.
Pan T. K. Normal curvature of a vector field. / Amer. J. Math, 1952, v.74, N4, p. 955−966.
Reeb G., Sur certaines proprietes topologiques des trajectoires des systemes dynamiques, Bruxelles, Memoires Acad. Sc., 27, 1952.
Зам. ген^а^но^О^лиректо ра В.М.Тебякин---V
Москпа, 107 005, Лефортовская наб. д.1 Для телеграмм: Москпа, Грач

Заполнить форму текущей работой