Критические явления в автономных и связанных системах с удвоениями периода с шумом

Актуальность работы В численных и натурных экспериментах для огромного количества самых разнообразных динамических систем, начиная с простейших моделей с дискретным временем (отображений) и заканчивая распределенными системами, наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. С появлением работ Фейгенбаума [1−3] стало ясно, что проблема описания перехода к хаосу имеет не только качественный, но и количественный аспект. Системы, описываемые различными математическими моделями (дискретные отображения, дифференциальные уравнения, уравнения с запаздыванием и т. д.), различной физической природы (радиофизические, оптические, биологические и др.), если они относятся к одному определенному классу универсальности, вблизи порога хаоса демонстрируют свойства самоподобия, характеризующиеся одинаковыми универсальными масштабными константами. Теоретическим инструментом для анализа таких свойств является метод ренормализационной группы (РГ), впервые привнесенный в нелинейную динамику М. Фейгенбаумом в контексте перехода к хаосу через удвоения периода и затем развитый многими другими авторами в приложении к разным классам универсальности [4−9].

Чтобы распространить концепцию универсальности и масштабного самоподобия (скейлинга) на реальные системы или наблюдать скейлинговые закономерности в физическом эксперименте, необходимо учитывать влияние неизбежно присутствующего шума. Проблема изучения воздействия шумов на различные системы традиционно является одной из центральных в радиофизике, не только не утратившей своей актуальности, но привлекающей все большее внимание в связи с обнаружением новых явлений в системах с детерминированным хаосом и шумом [10, 11]. Таким образом, логичной и своевременной является постановка вопроса, касающегося влияния шума на критическую динамику, связанную с различными классами универсальности.

В этом контексте решение проблемы требует соответствующей разработки РГ анализа. Для типа критичности, изученного Фейгенбаумом, такой подход был развит в работах Кратчфилда с соавторами [12] и Шраймана с соавторами [13]. Как показано этими авторами, чтобы наблюдать каждый следующий уровень удвоения периода, необходимо уменьшать интенсивность шума на фактор = 6.61 903. — универсальную константу, ответственную за скейлинговые закономерности, связанные с влиянием шума в фей-генбаумовском классе универсальности. Были предприняты аналогичные исследования и получены константы скейлинга для перемежаемости [14−17] и квазипериодичности [18] в диссипативных системах, для удвоений периода [19] и разрушения КАМ-тора [20] в гамильтоновых системах. Стоит отметить, что константа Кратчфилда и Шраймана ц?, по-видимому, имеет более фундаментальное значение, поскольку появляется в задачах о квантовом хаосе как константа перенормировки постоянной Планка при изучении свойств квантовой системы, демонстрирующей переход в классическом пределе к системе с удвоениями периода [21−23].

В контексте многопараметрического анализа перехода к хаосу, критичность определенного типа может иметь место на некоторых поверхностях, кривых или точках в пространстве параметров. РГ анализ — неоценимый инструмент для поиска, изучения и классификации критических ситуаций. Их коразмерность* определяется числом соответствующих неустойчивых собственных векторов линеаризованного уравнения РГ. В последнее время было обнаружено множество типов критического поведения, связанных с удвоениями периода, каждый из которых допускает описание в духе теории Фей-генбаума [9]. Если сценарий Фейгенбаума является типичным однопарамет-рическим феноменом, то эти новые типы поведения наблюдаются при вариации двух и более параметров. Часть из них встречается в одномерных отображениях, а некоторые характерны лишь для многомерных систем. Таким.

Коразмерность — минимальное число параметров, которое должна иметь динамическая система, чтобы данная критическая ситуация могла реализоваться в типичном случае. 6 образом, возникает проблема исследования воздействия шума на системы, демонстрирующие эти многопараметрические варианты перехода к хаосу.

Объектами исследования будут служить одномерные отображения и системы связанных отображений. К настоящему времени отображения стали популярными и эффектными моделями для исследования различных радиофизических систем, таких как, например, нелинейный колебательный контур [24]- модель Улама, предложенная для объяснения механизма стохастического ускорения космических частиц Ферми [25] и т. д. Благодаря методу сечений Пуанкаре отображения применяются и для анализа радиофизических систем, описываемых дифференциальными уравнениями (генератор с инерционной нелинейностью [26] и др.). Как и традиционно для радиофизических методов, отображения стали универсальным инструментом исследования систем различной физической природы*. Так, например, хорошо изучено отображение Икеды, описывающее кольцевой оптический резонатор со средой с фазовой нелинейностью, возбуждаемый лазером [27]. (К отображению Икеды в рамках метода медленно меняющихся амплитуд приводит и задача о колебаниях осциллятора Дуффинга, возбуждаемого короткими импульсами [28, 29]. В свою очередь, при определенных приближениях отображение Икеды сводится к одномерному «отображению косинуса», которое является простым, физически мотивированным отображением со многими экстремумами [28, 29].) Одномерные отображения привлекательны и в биологии в задачах о динамике популяций. Более того, во многом из биологии пришли вопросы о сложной динамике простейшего отображения с квадратичным экстремумом (логистическое отображение), послужившие стимулом для создания теории Фейгенбаума. Модели в виде отображений, и, в частности, связанных отображений, привлекают внимание и при анализе химических систем (см., например, работы [30, 31] и цитированную в них литературу.) Следует особо отметить значительный вклад нижегородской научной школы как в теорию дискретных отображений, так и в конкретные приложения таких систем. 7.

В работе будут использоваться одномерные отображения достаточно общего вида, допускающие разложение в ряд Тейлора. В зависимости от числа членов, оставленных в разложении, возникают одно-, двухи трехпа-раметрические модели — логистическое отображение, кубическое отображение, «квартичное» отображение (отображение четвертой степени). Эти модели оказываются достаточно универсальными, что находит свое выражение в картине колебаний, бифуркаций и перехода к хаосу, описываемых ими. «Объекты» на плоскости параметров таких отображений (точки сборки, линии складок, линии удвоений, каскады бифуркаций, известные как «crossroad area» композиции бифуркаций [32] и т. д.) легко узнаваемы теми, кто исследовал сложную динамику нелинейных колебательных контуров, различных осцилляторов и других подобных систем. Сценарии перехода к хаосу для такой многопараметрической системы отображений, как и в теории бифуркаций, могут быть классифицированы по числу существенных параметров (коразмерности), причем, первую «строку» в такой классификации занимает од-нопараметрический сценарий Фейгенбаума [1−3]. При этом увеличение числа учтенных членов ряда Тейлора приводит к увеличению числа экстремумов отображений, возникновению точек перегиба, что является весьма существенным в классификации сценариев (типов критического поведения) на пороге хаоса. Во второй и третьей главах мы обратимся к моделям в виде связанных логистических отображений, а в третьей главе будет рассмотрена также и дифференциальная система в виде связанных неавтономных нелинейных осцилляторов. Заметим, наконец, что шум в дискретные отображения вводится в виде аддитивной добавки. Если говорить о физической модели, где это можно сделать наиболее явным и наглядным образом, то можно представлять себе нелинейный осциллятор, возбуждаемый импульсами, амплитуда которых является слегка модулированной некоторым случайным образом.

Цель работы состоит в исследовании влияния шума и выявлении связанных с ним свойств универсальности и скейлинга для динамических систем, которые характеризуются наличием перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.

Научная новизна работы.

1. Предложен численный метод, позволяющий определять скейлинго-вые константы шума для отображений с удвоениями периода, принадлежащих различным классам универсальности, и допускающий обобщение на многомерный случай. Метод имеет то преимущество, что собственно уравнение РГ решать не требуетсяпри этом получаемая точность приемлема для компьютерных (а, тем более, натурных) иллюстраций свойств скейлинга на большом количестве уровней иерархии.

2. Даны иллюстрации масштабного самоподобия (скейлинга) в присутствии шума для одномерных отображений с одним, двумя и тремя управляющими параметрами. Продемонстрирован скейлинг на бифуркационных деревьях, графиках ляпуновского показателя, картах ляпуновского показателя.

3. Развит ренормгрупповой анализ влияния шума на бикритическое поведение системы двух связанных логистических отображений с однонаправленной связью. Найдена новая универсальная постоянная хв ~ 2.713 695., определяющая правило пересчета интенсивности шума во второй подсистеме.

4. Показано, что пространство управляющих параметров связанных неидентичных логистических отображений характеризуется наличием критических точек коразмерности два (так называемый С — тип критичности), которые представляют собой концевые точки фейгенбаумовских линий. Также отмечено определенное сходство между сложным устройством дискретной (два связанных неидентичных квадратичных отображения) и потоковой (два связанных неидентичных осциллятора Дуффинга под внешним гармоническим воздействием) систем.

5. Представлены иллюстрации скейлинга на картах ляпуновского показателя для двух связанных идентичных квадратичных отображений под воздействием шума с двумя разными типами связи: диссипативным и инерционным. Показано, что в этом случае связанных подсистем константой перенормировки интенсивности шума является универсальная постоянная Кратч-филда и Шраймана Ц/г, которая была предложена для одного автономного отображения [12, 13].

Достоверность научных выводов работы подтверждается согласованностью и воспроизводимостью всех данных, а также хорошим совпадением результатов, полученных методом ренормализационной группы и компьютерными иллюстрациями масштабного подобия (скейлинга). Основные положения, выносимые на защиту.

1. Результаты работы выявили количественные закономерности, связанные с воздействием шума на системы с хаотической динамикой вблизи различных типов точек перехода к хаосу через удвоения периода. Системы, описываемые двухи трехпараметрическими отображениями с шумом, вблизи соответствующих критических точек перехода порядок-хаос демонстрируют свойство самоподобия (скейлинга) на бифуркационных деревьях, графиках и сечениях пространства параметров в виде карт ляпуновского показателя с константами Цт- = 8.2439, = 10.0378, 1Е- 11.5937, ответственными за пересчет амплитуды шума.

2. Результаты полученного в работе ренормгруппового анализа для системы двух связанных отображений с однонаправленной связью в присутствии шума показывают, что характерному для такой системы случаю бикритической динамики отвечает новая универсальная постоянная = 2.713 695., определяющая правило пересчета интенсивности шума.

3. Устройство пространства управляющих параметров двух неидентичных связанных логистических отображений характеризуется наличием критических точек коразмерности два, известных как С — тип критичности. Для идентичных связанных логистических отображений с шумом пространство управляющих параметров (параметр нелинейности, константа связи, амплитуда шума) демонстрирует свойство скейлинга. Научно-практическая значимость работы. Рекомендации по использованию научных выводов.

Результаты работы, связанные с возможностью вычисления констант шума с помощью предложенного численного метода, открывают перспективы по исследованию влияния флуктуаций и демонстрации скейлинговых свойств для типов критической динамики, как связанных с переходом к хаосу через последовательность удвоений периода, так и для других известных сценариев.

Результаты ренормгруппового анализа бикритичности дают возможность количественного описания влияния шума на связанные системы различной природы с однонаправленной связью. Можно ожидать, что для оставшихся за рамками настоящей работы типов критичности на пороге перехода порядок-хаос также возможно ренормгрупповое описание, учитывающее влияние шума.

Установленное свойство скейлинга в системах с шумом и найденные константы шума позволяют оценивать число удвоений, для которых традиционная картина перехода к хаосу окажется разрушенной. В то же время можно рекомендовать проведение специальных экспериментов, нацеленных на проверку обнаруженных закономерностей, которые требуют, однако, использование специальных генераторов шума с регулируемым его уровнем.

Результаты исследования системы неидентичных связанных отображений и связанных нелинейных осцилляторов выявили тонкую картину бифуркаций в области сосуществования двух разных сценариев перехода к хаосу — через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Обнаружено, что такой переход в связанных системах может ассоциироваться с типом критичности, известным, как С — тип. В силу универсальности, присущей критической динамике, следует ожидать, что в системах различной природы с подобным типом связи может наблюдаться аналогичная картина бифуркаций, включая соответствующую тонкую картину на глубоких уровнях иерархии в непосредственной окрестности критической точки.

Результаты работы использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета.

Апробация работы и публикации Результаты работы были представлены на школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-98» (Саратов, 1998), VI международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-99» (Россия, Москва, 1999), Международной школе для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (Россия, Саратов, 1999), школе — конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-99» (Саратов, 1999), VII Всероссийской школесеминаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Красновидово Московской области, 2000), всероссийской научной школе — конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2000» (Саратов, 2000), международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Россия, Саратов, 2001), четвертом международном симпозиуме по классической и небесной механике (Россия, Великие Луки, 2001), IX Международном симпозиуме «Nonlinear dynamics and complex systems» (Республика Беларусь, Минск, 2001), шестой международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Россия, Саратов, 2001), всероссийской научной школе — конференции «Нелинейные дни в Саратове для мо-лодых-2001» (Саратов, 2001), конференциях молодых ученых и аспирантов научно-образовательного центра «Нелинейная динамика и биофизика» СГУ (Саратов, 2002, 2003, 2004), Международной конференции по синхронизации хаотических и стохастических колебаний (Приложения в физике, химии, биологии и медицине) «Synchro-2002» (Россия, Саратов, 2002), всероссийской научной школе — конференции «Нелинейные дни в Саратове для моло-дых-2003» (Саратов, 2003).

По теме диссертации имеется 17 публикаций (5 статей в российских и зарубежных реферируемых журналах, 7 статей в сборниках трудов научных конференций, 5 тезисов докладов).

Результаты работы получены в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (№ 96 — 15 — 9692, 97 — 02 — 16 414, 00 — 02 — 17 509, 03 — 02- 16 074, в том числе персонального гранта для молодых исследователей № 01 — 02 — 6 388), Американского фонда гражданских исследований и развития СКОБ (№ Ю}С — 006), Эйлеровой программы (совместно с группой профессора А. Пиковского, университет Потсдама, Германия), Министерства общего и профессионального образования (№ 97 — 0 — 8.3 — 8.8), Федеральной целевой программы «Интеграция» (№ 696.3, проект А0057) и фонда некоммерческих программ «Династия» при содействии Международного центра фундаментальной физики в Москве.

Личный вклад автора В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Формулировка поставленных задач, выбор моделей, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведено совместно с научным руководителем и соавторами. В работе [97] автору принадлежит п. 5.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Работа содержит 158 страниц текста, включая 70 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 109 наименований на 11 страницах.

Выводы.

В настоящей главе изучено устройство пространства управляющих параметров неидентичных связанных систем, которые характеризуются переходом к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, -дискретной системы двух связанных логистических отображений и потоковой системы двух связанных осцилляторов Дуффинга под внешним гармоническим воздействием.

Для дискретной системы двух неидентичных связанных логистических отображений тщательно изучены особенности устройства языков синхронизации на плоскости управляющих параметров подсистем при вариации параметра связи. Представлены как соответствующие карты динамических режимов, так и конфигурация бифуркационных линий и точек. Показано, что последовательность терминальных точек коразмерности два, в которых мультипликаторы отображения одновременно равны +1 и -1, накапливается к критической точке, известной ранее для модельного отображения как тип критичности С. Этот тип критичности встречается в системах, в которых сосуществуют переходы к хаосу через удвоения периода и через разрушение квазипериодичности.

Для системы неидентичных связанных осцилляторов Дуффинга под внешним гармоническим воздействием построены карты динамических режимов при различных значениях параметра связи. Оказывается, что эта потоковая система также демонстрирует картину сосуществования двух сценариев перехода к хаосу, однако, имеются как сходные, так и отличные черты по сравнению с системой связанных логистических отображений.

Также, изучено влияние шума на динамику системы двух неидентичных связанных квадратичных отображений с разными типами связи: инерционным и диссипативным. Показано, что для такого двумерного отображения имеет место скейлинг в различных сечениях пространства управляющих параметров («параметр связи — параметр удвоений», «параметр связи — амплитуда шума», «амплитуда шума — параметр удвоений») — представлены соответствующие иллюстрации с использованием карт ляпуновского показателя. Причем, константой перенормировки интенсивности шума в этом случае является универсальная постоянная вычисленная ранее для автономного отображения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В данной работе было проведено исследование свойств универсальности и скейлинга для динамических систем в присутствии шума, характеризующихся наличием перехода к хаотической динамике через последовательность бифуркаций удвоения периода. В частности, были рассмотрены следующие модели со сложной динамикой:

• одномерные отображения с одним и более параметрами (логистическое, кубическое и модельное трехпараметрическое отображения);

• «отображение косинуса», моделирующее динамику нелинейного осциллятора под действием случайных импульсов;

• система двух связанных логистических отображений с однонаправленной связью, демонстрирующая бикритическое поведение;

• система двух неидентичных связанных логистических отображений и двух неидентичных связанных осцилляторов Дуффинга под внешним гармоническим воздействием;

• система двух связанных идентичных логистических отображений с двумя различными типами связи: диссипативным и инерционным.

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

1. Предложен оригинальный численный метод, который позволяет определять константу перенормировки интенсивности шума для отображений, демонстрирующих переход к хаосу через последовательность удвоений периода. Метод допускает обобщение на многомерный случай. С помощью этого метода оценены константы шума для унимодального отображения со степенью экстремума четыре: = 8.2439, шесть: = 10.0378 и восемь: ц£ = 11.5937.

2. Рассмотрена динамика кубического отображения в присутствии шума. При движении вдоль особой кривой на плоскости параметров двукратно проитерированное кубическое отображение ведет себя как унимодальное со степенью экстремума 4, поэтому свойства скейлинга под действием шума возможно проиллюстрировать с использованием константы [1т. Представлен двумерный скейлинг на карте ляпуновского показателя, бифуркационных деревьях и графике ляпуновского показателя. Рассмотрен нелинейный осциллятор под действием периодической последовательности импульсов со случайной модуляцией амплитуды или периода воздействия. Для такой системы приближенно получено одномерное отображение с шумом и продемонстрирован скейлинг в присутствии шума вблизи одной из трикритических точек.

3. Выявлены свойства универсальности и скейлинга для трехпараметри-ческого отображения под воздействием шума. Показано, что вдоль особых линий в пространстве параметров скейлинг с шумом можно пронаблюдать, используя надлежащий пересчет значения амплитуды шума на константы Цг, Ця и Приведены иллюстрации свойства скейлинга.

4. Рассмотрена динамика системы двух связанных квадратичных отображений с однонаправленной связью под влиянием шума, демонстрирующая так называемое бикритическое поведение. Показано, как влияет увеличение интенсивности шума на структуру карты ляпуновского показателя, спектр Фурье, фазовый портрет бикритического аттрактора. Проведено обобщение оригинального численного метода на двумерный случай, с его помощью получено приближенное значение константы шума для динамики бикритического типа. Развит ренормгруп-повой подход для анализа бикритического поведения в присутствии шума, получено уравнение РГ. Его численное решение позволило с высокой точностью найти значение константы шума Цв = 2.713 695. Продемонстрирован скейлинг под влиянием флуктуаций вблизи бикрити-ческой точки на карте ляпуновского показателя, бифуркационном дереве, графике ляпуновского показателя.

5. Изучено устройство плоскости управляющих параметров двух неидентичных связанных логистических отображений. Показано, как по мере увеличения параметра связи трансформируется картина языков синхронизации на карте динамических режимов системы. Детально изучена область на плоскости параметров, где наблюдается сосуществование двух различных сценариев перехода к хаотической динамике — через удвоения периода и разрушение квазипериодического режима. С помощью бифуркационного анализа показано, что в такой системе неидентичных связанных логистических отображений имеет место специфический С — тип критичности. Проведено сравнение устройства плоскости параметров двух неидентичных связанных квадратичных отображений и двух неидентичных связанных осцилляторов Дуффинга под гармоническим воздействиемотмечено определенное сходство и выявлены различия.

6. Исследовано воздействие шума на поведение системы двух идентичных связанных логистических отображений с двумя типами связи: дис-сипативным и инерционным. Показано, что скейлинг в присутствии шума можно наблюдать при пересчете интенсивности шума на константу |1/г, которая была определена ранее для автономной несвязанной системы. Приведены иллюстрации, подтверждающие наличие свойств универсальности и скейлинга в системе двух связанных логистических отображений на картах ляпуновского показателя в различных сечениях пространства параметров («параметр связи — параметр удвоений», «параметр связи — амплитуда шума», «амплитуда шума — параметр удвоений») как в случае диссипативной, так и в случае инерционной связи.