MathML (Mathematical Markup Language)

• 1. MathML (Mathematical Markup Language)
• 1.1 Математика и ее система обозначений
• 1.2 Истоки и цели
• 1.2.1 История MathML
• 1.2.2 Ограниченность HTML
• 1.2.3 Требования к математической разметке
• 1.2.4 Цели проекта MathML
• 1.3 Роль MathML в Сети
• 1.3.1 Существующие языки математической разметки
• 1.3.2 Механизм расширения HTML
• 1.3.3 Механизм расширения браузера
• 1.4 Обзор MathML
• 1.4.1 Таксономия элементов MathML
• 1.4.2 Разметка представления
• 1.4.3 Разметка содержания
• 1.4.4 Объединение представления и содержания
• 1.5 MathML в документах
• 1.6 Примеры MathML
• 1.6.1 Примеры разметки представления
• 1.6.2 Примеры разметки содержания
• 1.6.3 Примеры смешанной разметки
• 1.7 Синтаксис и грамматика MathML
• 1.7.1 Синтаксис и грамматика MathML
• 1.7.2 Пример синтаксиса XML
• 1.7.3 Дочерние элементы против аргументов
• 1.7.4 Значения атрибутов MathML
• 1.7.4.1 Синтаксические нотации, используемые в спецификации MathML
• 1.7.4.2 Атрибуты с единицами измерения
• 1.7.4.3 CSS-совместимые атрибуты
• 1.7.4.4 Значения атрибутов по умолчанию
• 1.7.4.5 Значения атрибутов в MathML DTD
• 1.7.5 Атрибуты, общие для всех элементов MathML
• 1.7.6 Свертывание пробелов во вводе
• 2. Возможности современных браузеров при работе с MathML
• 2.1 Mozilla & Firefox
• 2.2 Microsoft Internet Explorer
• 2.3 Opera
• Список использованной литературы

1. MathML (Mathematical Markup Language)

MathML (Mathematical Markup Language) представляет собой язык разметки математических приложений, основанный на XML. Он был разработан Консорциумом WWW (W3C) и принят в качестве Рекомендации. Текущей версией является Mathematical Markup Language (MathML) Version 2.0 (Second Edition), утвержденной 21 октября 2003 года.

MathML реализует две «точки зрения» на математическую разметку. Один из ее видов — это разметка представления (Presentation Markup), которая описывает визуальную форму представления математической формулы. Второй — разметка содержания (Content Markup), выражающая семантическое содержание.

MathML рассматривает не только представление, но и смысл элементов формулы. Также разрабатывается система разметки математической семантики, призванная дополнить MathML. Она называется OpenMath.

1.1 Математика и ее система обозначений

Характерной чертой математической информации является использование сложной и высокоразвитой двумерной символьной системы обозначений. Однако, как писал J. R. Pierce в своей книге по теории коммуникации, математика и ее нотация не должны рассматриваться как одно и то же. Математические идеи существуют независимо от способа их представления. Тем не менее, взаимосвязь между значением и обозначением весьма тонка, и в возможности представлять и манипулировать идеями в символьной форме кроется значительная мощь математического аппарата, как инструмента описания и анализа. Основная трудность при внедрении математики в World Wide Web состоит в том, чтобы зафиксировать как представление, так и содержание (то есть значение) таким образом, чтобы в документах максимально использовать высокоразвитую систему математической нотации и потенциал взаимодействия в электронных средствах информации.

Математическая система обозначений постоянно развивается, так как люди постоянно совершенствуют способы представления идей. Даже стандартная система обозначения арифметических действий прошла через удивительное многообразие стилей, включая множество ныне несуществующих, поддерживающих математические обозначения своего времени. Современная математическая система обозначений является продуктом вековых усовершенствований, и принятые обозначения для высококачественной печати достаточно сложны. Например, переменные и буквы, обозначающие числа, сейчас обычно печатаются специальным математическим курсивом чуть отличным от обычного текстового курсива. Пробелы, окружающие символы операций такие как +, —, Ч и /, немного отличаются от таковых в тексте, отражая соглашения о старшинстве оператора. Целые книги посвящены правилам набора математических текстов, от выравнивания верхних и нижних индексов до правил для выбора размеров круглых скобок и специальных нотационных соглашений для различных областей математики.

Принятая система обозначений в математике, и в печатном тексте вообще, направлена на то, чтобы зрительно выделить и сделать напечатанные выражения более легкими для чтения и понимания. Хотя это и кажется очевидным, но мы полагаемся на сотни соглашений таких как параграфы, заглавные буквы, семейства шрифтов, и даже механизм десятичной нумерации разделов, подобный тому, что мы используем в этом документе (заслуга G. Peano, который вероятно более известен своими аксиомами для натуральных чисел). Таким образом, нотационные соглашения, наверное, даже более важны для электронных медиа, где требуется бороться с трудностями чтения с экрана.

Однако, внедрение математики в Сеть это не просто поиск способов отображения математической информации в окне браузера. Сеть представляет фундаментально новый подход к хранению знаний, в котором взаимосвязь играет центральную роль. Становится все более и более важно найти способы взаимосвязи математических документов, которые облегчат автоматическую обработку, индексацию и повторное использование в других математических приложениях и контекстах. Подобные усовершенствования в технологии коммуникации позволяют расширить наши возможности в представлении и кодировании математического материала. Мы надеемся, что MathML является важным шагом в этом направлении.

1.2 Истоки и цели

1.2.1 История MathML

Задача представления математической информации для компьютерной обработки и электронных средств коммуникации возникла задолго до появления Интернета. Раньше общей практикой для ученых была запись статей в неком виде, основанном на ASCII-символах и дальнейшая пересылка их друг другу по электронной почте. Несколько языков математической разметки, в частности T_EX, уже широко использовались в 1992 году, еще до того, как Сеть заняла столь значимое положение.

С самого начала Сеть зарекомендовала себя, как весьма эффективный способ сделать информацию доступной большому количеству людей. Однако, даже при том, что World Wide Web была изначально задумана и реализована учеными для ученых, возможности для включения математических выражений в HTML были крайне ограничены. В настоящее время, большая часть математической информации в Сети представлена в виде текста с графическими изображениями научных выражений (в формате GIF или JPEG) или в виде целых документов в формате PDF.

Консорциум World Wide Web (W3C) понимал, что отсутствие основ для научной коммуникации является серьезной проблемой. Уже в 1994 году Dave Raggett внес предложение о включении HTML Math в прототип HTML 3.0. На конференции в Дармштадте в апреле 1995 года был проведен круглый стол по математической разметке. В ноябре того же года представители Wolfram Research выдвинули предложение команде W3C о реализации поддержки математики в рамках HTML. Важную роль в объединении многих заинтересованных сторон сыграла проведенная в мае 1996 года встреча Digital Library Initiative в Champaign-Urbana. Результатом этой встречи стало формирование редакционного наблюдательного совета по HTML Math. Впоследствии эта рабочая группа разрослась, и в марте 1997 года была формально повторно сформирована как первая W3C Math Working Group. Вторая W3C Math Working Group была сформирована в июле 1998 года.

Проект MathML отражает интересы и мнения различных групп специалистов. Многое в развитии MathML заслуживает специального упоминания. Например, это касается вопроса общедоступности, где были особенно ощутимые затруднения. В этом направлении много работы проделал T. V. Raman. Neil Soiffer и Bruce Smith из Wolfram Research поделились своим опытом в решении проблем представления математического материала, накопленным при работе над проектом Mathematica 3.0. Их идеи оказали важное влияние на структуру элементов представления. Paul Topping из Design Science также внес свой вклад в математическое форматирование и редактирование. Много пользы извлек MathML из партнерства с рядом членов рабочих групп, связанных с другими работами по кодированию математической информации в SGML и в сообществах компьютерной алгебры. В их числе Stephen Buswell из Stilo Technologies, Nico Poppelier из Elsevier Science Stйphane Dalmas из INRIA (Sophia Antipolis), Stan Devitt из Waterloo Maple, Angel Diaz и Robert S. Sutor из IBM, и Stephen M. Watt из University of Western Ontario. Также, на MathML повлиял проект OpenMath, работа рабочей группы ISO 12 083 и работа Stilo Technologies над фрагментом DTD для 'семантической' математики. Американское математическое общество играло ключевую роль в развитии MathML. Помимо прочего, председателями обеих W3C Math Working Group стали представители этой организации. С мая 1996 по март 1997 года группу вел Ron Whitney. Patrick Ion был сопредседателем группы с марта 1997 по июнь 1998 вместе с Robert Miner из The Geometry Center, а с июля 1998 вместе с Angel Diaz из IBM.

1.2.2 Ограниченность HTML

Спрос на эффективные средства обмена научной информацией остается по-прежнему высоким. Все больше и больше исследователей, ученых, инженеров, учителей, студентов, работая в различных местах земного шара, полагаются на электронные средства коммуникации. В тоже время, методы распространения научной нотации, основанные на графическом представлении, преобладающие сейчас в Сети, примитивны и неадекватны. Качество документов оставляет желать лучшего, создание — сложно, а математическая информация, содержащаяся в картинках, не доступна для поиска, индексации и повторного использования в других приложениях.

Существует две основных проблемы с использованием HTML.

Проблема отображения. Рассмотрим уравнение 2^2x=10. Размеры изображения подобраны так, чтобы соответствовать окружающему тексту размера 14 pt в системе, где оно было создано. Естественно, что в других системах или при другом размере текста уравнение будет выглядеть не так, как задумывал автор. Кроме того, изображение с этим уравнением создавалось в предположении, что у документа будет белый фон. Таким образом, если читатель или браузер установит другой цвет страницы, то в результате вокруг текста возникнет белый «ореол» .

Далее рассмотрим уравнение

которое служит примером выравнивания горизонтальной оси изображения по верху строчных букв в окружающем тексте. В этом уравнении присутствует знаменатель, и базисная линия располагается на расстоянии около одной трети от низа изображения. Это уравнение, например, можно разместить так:

то есть так, чтобы горизонтальная ось изображения и базисная линия уравнения совпадали, но это приведет к проблемам с межстрочными интервалами. В результате этого текст станет тяжело читаемым. Кроме того, вертикальное выравнивание по центру отличается в различных браузерах, делая невозможным гарантировать правильное расположение формул для различных пользователей.

Уравнения, оформленные в виде изображений, обычно труднее воспринимать, чем окружающий текст. Более того, эти проблемы только увеличиваются, если документ напечатать. Разрешение изображений около 70 точек на дюйм, тогда как окружающий текст обычно имеет 300, 600 или более точек. Такая разница в качестве неприемлема для большинства людей.

Проблемы кодирования. Попытаемся найти в этом документе фрагмент, например, '=10' первого уравнения выше. Или попробуем скопировать и вставить уравнение в другое приложение; более того, попробуем скопировать и вставить только фрагмент уравнения. При использовании методов, основанных на графическом представлении, ни одна из этих задач не может быть решена. И хотя использование атрибута alt в документе может немного помочь, ясно, что интерактивные web — документы должны предоставлять более продвинутый интерфейс между браузерами и математической информацией.

Другая проблема использования изображений для математических объектов — необходимость высокой пропускной способности канала связи. Представление уравнения разметкой обычно меньше по объему и лучше сжимаемо по сравнению с представлением в виде изображения. Кроме того, при использовании разметки для записи уравнений большая часть работы по отображению перекладывается на клиентскую машину.

1.2.3 Требования к математической разметке

Некоторые проблемы, связанные с включением математических выражений в HTML-документ в виде изображений, могут быть решены с помощью улучшения обработки последних браузерами. Хотя, даже если такое и произойдет, останется проблема доступа к информации, содержащейся в математических выражениях из других приложений. Поэтому, в будущем, улучшение методов, основанных на графическом представлении неперспективно. Для полной интеграции математического материала в web-документ необходимо представление математической нотации с помощью языка разметки.

При создании любого языка разметки необходимо тщательно учесть потребности его потенциальных пользователей. В случае с MathML область применения простирается от сферы образования до сферы исследований и даже бизнеса.

Сфера образования является большой и важной областью, в которой должна быть обеспечена возможность размещения в Сети научных материалов для занятий. В тоже время, преподаватели ограничены во времени и оборудовании, и обычно останавливаются перед сложностью создания технических web-документов. Студенты и преподаватели должны иметь возможность быстро и легко создавать математические документы, используя интуитивно понятные, легкие для изучения и «дешевые» инструменты.

Электронные учебники — другой способ использования Сети, который потенциально очень важен для образования. Известный специалист по управлению Peter Drucker прогнозировал конец эпохи построения системы высшего образования вокруг больших университетских городков и начало ее распространения через Сеть. Электронные учебники должны быть более интерактивными и позволять связывать текст с научным программным обеспечением.

Академические и коммерческие исследовательские группы постоянно выпускают большое количество научного материала. Все больше и больше научных публикаций размещается в базах данных, таких как довольно известный архив препринтов по физике и математике Национальной Лаборатории в Лос-Аламосе (Los Alamos). В особенности это относится к некоторым областям физики и математики, где цены на академические журналы весьма высоки. К тому же, базы данных с информацией о математических исследованиях, такие как Mathematical Reviews и Zentralblatt fьr Mathematik, предлагают огромное количество ссылок на содержащиеся в Сети математические документы.

Для соответствия требованиям исследовательского сообщества, язык математической разметки должен упростить обслуживание и работу с большими объемами документов, где крайне важны автоматический поиск и индексация. Из-за большого количества уже существующих математических документов, особенно в формате T_EX, также немаловажно иметь возможность конвертации между существующими форматами и любым новым. И наконец, для научных исследований жизненно необходима возможность хранить информацию в архивах.

Многие ученые и инженеры используют в своей работе технические документы для обмена и записи результатов экспериментов, а также для компьютерного моделирования и проверки проведенных вычислений. Для такого рода использования методы размещения математической информации в Сети должны предоставлять стандартный способ совместного ее использования так, чтобы можно было легко ее прочитать, обработать и создавать с использованием доступных и простых инструментов.

Другое общее требование заключается в возможности отображения математического материала в других информационных средах, таких как речь или шрифт Брайля, которые крайне важны для людей с нарушением зрения.

Коммерческие издательства также заинтересованы в продвижении методов представления математической информации в Сети в различном виде от электронных версий обычных книг до интерактивных учебников и академических журналов. Издательствам требуется такой способ размещения математических документов в Сети, который бы имел возможность для высококачественного вывода, был применим для крупномасштабного коммерческого использования и, по возможности, совместим со старыми системами, в частности, на основе SGML.

1.2.4 Цели проекта MathML

Для соответствия различным требованиям научного сообщества MathML разрабатывался с учетом следующих условий.

MathML должен:

Представлять математический материал так, чтобы он подходил для обучения и научной коммуникации любого типа.

Представлять как математическую нотацию, так и математическое содержание.

Обеспечивать возможность преобразования между ним и другими математическим форматами, как презентационными, так и семантическими. Форматы вывода должны включать:

графическое отображение

синтезаторы речи

форматы систем компьютерной алгебры

форматы других языков, таких как T_EX

отображение в виде простого текста, например, эмуляторы VT100

печатные устройства, включая работающие со шрифтом Брайля

Понятно, что такие преобразования могут привести к некоторой потере информации.

Иметь возможность включения информации, необходимой для определенных средств отображения и других приложений.

Поддерживать корректный просмотр длинных выражений.

Обеспечивать расширяемость.

Поддерживать шаблоны и другие средства редактирования математической информации.

Быть понятным человеку и простым для программной обработки.

В независимости от того, насколько удачен MathML как язык разметки, он будет полезен только в случае грамотного его применения. W3C Math Working Group определила короткий список дополнительных целей его реализации. В нем кратко описана минимальная функциональность, которую должны обеспечивать программы отображения и обработки MathML.

Выражения MathML внутри страниц HTML (и XHTML) должны корректно отображаться в наиболее распространенных браузерах в соответствии с установками читателя и автора, при этом должно обеспечиваться качество, максимально достижимое на данной платформе.

Документы HTML (и XHTML), содержащие выражения MathML, должны корректно выводиться на печать с высоким разрешением.

Выражения MathML, включенные в web-страницы, должны реагировать на действия пользователя, такие как работа с мышью, и осуществлять взаимодействие с другими приложениями через браузер.

Редакторы и конвертеры математических выражений должны разрабатываться с учетом возможности создавать web-страницы, содержащих выражения MathML.

В ближайшее время для решения проблемы отображения планируется использовать встраиваемые элементы, такие как Java-апплеты, плагины и элементы управления ActiveX. Однако объем, в котором будет это реализовано, зависит от сотрудничества и поддержки производителей браузеров и другого програмного обеспечения. W3C Math Working Group продолжает работу с рабочими группами по Document Object Model (DOM) и Extensible Style Language (XSL), чтобы гарантировать, что нужды научного сообщества будут удовлетворены в будущем. Ясно, что MathML 2.0 является значительным шагом вперед по сравнению с MathML 1.0 Recommendation (Апрель 1998).

1.3 Роль MathML в Сети

Цели разработки MathML требуют гибкой и расширяемой системы записи математического материала, позволяющей взаимодействовать с внешними программами и осуществлять высококачественное отображение в различных информационных средах. Но любой язык разметки, удовлетворяющий всем этим требованиям, достаточно сложен.

В то же время, для многих групп пользователей, например, студентов, важно иметь простой путь для включения математических выражений в web-страницы. Аналогично, для других групп, например, для пользователей системы T_EX, лучшим решением была бы система, позволяющая непосредственное включение в web-страницы разметки при помощи языка, подобного T_EX. В общем, различным группам пользователей требуются различные формы ввода и вывода информации, наиболее соответствующие их потребностям. Следовательно, в идеале система для размещения математических документов в Сети должна предоставлять как специализированные сервисы для ввода и вывода, так и общие сервисы для обмена информацией и отображения в различных информационных средах.

На практике, обзор того, что должен обеспечивать математический стандарт в сети для специализированных и общих нужд, приводит к идее многоуровневой архитектуры. Первый уровень включает стандартные мощные средства обмена, обработки и отображения математических данных. Второй уровень включает специализированные инструменты, предназначенные для конкретных групп пользователей, с помощью которых можно легко кодировать математическую информацию для ее распространения среди ограниченного круга пользователей.

MathML создан для разметки математической информации на нижнем более общем уровнем двухуровневой архитектуры. Это предполагает разметку сложной нотационной и семантической структуры в строгой, регулярной форме, простой для обработки средствами отображения, поиска и индексации, а также другими математическими приложениями.

Вследствие этого, разметка MathML не предполагает непосредственного использования авторами. MathML понятен для человека, что сильно помогает при отладке, но во всех случаях, за исключением простейших, он слишком сложен для ручного кодирования. Вместо этого авторы должны будут использовать специальные редакторы формул, конвертеры и другие специализированные программные средства для создания документов MathML. В качестве альтернативы, некоторые программы отображения и системы поддержки математических документов могут преобразовывать другие входные форматы в MathML «на лету» .

В некотором смысле MathML аналогичен другим низкоуровневым коммуникативным форматам, таким как язык PostScript, разработанный Adobe. Вы можете создавать PostScript-файлы различными способами, в зависимости от ваших потребностей: эксперты создают и правят их вручную, авторы создают их с помощью текстовых процессоров, дизайнеры — программами-иллюстраторами и так далее. Если у вас есть PostScript-файл, вы можете распространить его среди очень большой аудитории, так как устройства отображения PostScript, такие как принтеры и программы для просмотра на экране, широко доступны.

Одной из причин разработки MathML как языка разметки общего коммуникативного уровня является стимулирование разработки математического программного обеспечения Сети верхнего уровня. MathML представляет способ координирования усилий разработчиков модулей программ для создания и отображения математического материала. Упрощая разработку функциональных частей большой системы, MathML может стимулировать разработку программ, которые будут очень полезны потенциальным пользователям.

Авторы могут создавать MathML-документы, используя инструменты, лучше подходящие для их нужд. Студенты могут предпочитать визуальные редакторы формул, с возможностью сохранять блоки разметки MathML в XHTML-файле. Исследователи могут использовать пакеты компьютерной алгебры, автоматически кодирующие математическую информацию так, чтобы коллеги могли ее взять из web-страницы и обработать. Издатели академических журналов могут использовать программу, которая конвертирует разметку T_EX в HTML и MathML. Независимо от метода создания web-страницы, содержащей MathML, становятся доступны все преимущества общего коммуникативного слоя. Различные программы, работающие с MathML, могут быть использованы для одного и того же документа, чтобы вывести его в систему воспроизведения речи и на печать, а также для ввода в систему компьютерной алгебры и для управления им как частью большого архива web-документов. Для высококачественной печати математических документов в формате MathML часто проводится обратная конвертация в стандартные системы верстки, включая T_EX, который специально создан для этих целей. Наконец, можно ожидать, что в конечном счете MathML будет интегрирован в другие области, где встречаются математические формулы, такие как электронные таблицы, пакеты статистической обработки данных и средства инженерной разработки.

W3C Math Working Group сотрудничает с различными софтверными компаниями для гарантии того, что скоро появятся различные программы для работы с MathML, включая как средства создания документов, так и их отображения. Текущий список программ, работающих с MathML расположен на странице Math World Wide Web Consortium.

Первоначальная концепция HTML Math состояла в том, чтобы просто расширить набор тэгов HTML и таким образом обеспечить непосредственную интерпретацию в браузере. Однако еще до этого лавинообразный рост сети сделал понятным, что требуется глобальный механизм расширений, а математическая информация является только одним из типов структурированных данных, которые могут быть интегрированы в Сеть с помощью такого механизма.

При условии, что MathML должен интегрироваться в Сеть в качестве расширения, очень важно, чтобы MathML и использующие его программы могли хорошо взаимодействовать с существующей web-средой. В частности, MathML должен разрабатываться с учетом трех типов взаимодействия. Во-первых, для создания математического контента важно, чтобы существующие языки математической разметки могли быть преобразованы в MathML, и чтобы в существующие редакторы была добавлена возможность создания документов MathML. Во-вторых, должно обеспечиваться возможность вставлять разметку MathML в разметку HTML, как ее дополнение, в этом случае, в будущем, она будет доступна для браузеров, поисковых систем и всех типов web-приложений, которые сейчас работают с HTML. И, наконец, должна обеспечиваться возможность отображения MathML, встроенного в HTML, современными браузерами, даже если результат будет далек от идеала. С переходом от HTML к XHTML все вышеперечисленные требования станут еще более необходимыми.

World Wide Web полностью интернационален. Математика — язык, использующийся во всем мире. Математическая нотация в науке и технике тесно связана с национальными языками. W3C стремится быть конструктивной силой в распространении коммуникативных возможностей в мире. Поэтому разработчики MathML столкнулись с проблемой интернационализации. Неизвестно о несовместимости этой версии MathML с языками с написанием слева направо. Запись слева направо является стандартной в MathML 2, и понятно, что потребность в записи математических формул в текстах на некоторых национальных языках еще не возникала. Так называемая «двунаправленная технология» только разрабатывается, и лучшая поддержка формул в этом контексте — задача будущих разработок.

1.3.1 Существующие языки математической разметки

Возможно, наиболее значимое влияние на языки математической разметки последних двух десятилетий оказала система верстки T_EX, разработанная Дональдом Кнутом (Donald Knuth). T_EX является стандартом de facto в математическом сообществе, и вообще широко распространен среди ученых. T_EX устанавливает стандарт качества для визуализации документов, и много усилий было приложено, чтобы MathML мог обеспечить такое же качество. Более того, так как существует множество документов в формате T_EX, и много людей, работающих с ней, основной при создании MathML была возможность конвертации документов из формата T_EX в формат MathML. Возможность такой конвертации была продемонстрирована экспериментальными программами.

Обширная работа по кодированию математического материала была также выполнена в сообществе SGML, и основанные на SGML схемы кодирования широко используются коммерческими издателями. ISO 12 083 — важный язык разметки, содержащий фрагмент DTD первоначально предназначенный для описания визуального представления математической нотации. Так как математическая нотация ISO 12 083 и ее производные имеют много общего с T_EX, и так как SGML более регулярен и структурирован, чем T_EX, многое из того, что сделано для совместимости MathML с T_EX, также хорошо применимо к ISO 12 083.

MathML также уделяет большое внимание совместимости с другими математическими программами и, в частности, с системами компьютерной алгебры. Много элементов представления MathML частично основаны на механизме печатных боксов (typesetting boxes). Элементы содержания MathML во многом заимствованы из проекта OpenMath и работы Stilo Technologies по созданию математического DTD. Проект OpenMath был тесно связан с сообществами SGML и компьютерной алгебры. В этом проекте были предложены SGML и XML-основанные способы взаимодействия между пакетами математических программ. Возможность создания и интерпретации MathML в системах компьютерной алгебры была продемонстрирована экспериментальными программами.

1.3.2 Механизм расширения HTML

Как отмечено выше, успех HTML привел к попыткам интеграции в Сеть различных типов данных и приложений. Каждый новый формат или приложение потенциально накладывал новые требования на HTML и производителей браузеров. Через некоторое время стало понятно, что необходим общий механизм для интеграции новых расширений в HTML. Изначально, рабочая группа начала работу с идеей о простом расширении HTML в духе первых попыток реализации поддержки математики в HTML 3.2 Но при ближайшем рассмотрении, это оказалось не такой уж и хорошей идеей. К моменту начала работ над MathML, XML стал доминирующим механизмом общих расширений.

XML расшифровывается как eXtensible Markup Language. Он создан как упрощенная версия SGML, метаязыка, используемого для определения грамматики и синтаксиса HTML. Одна из целей XML — возможность применения в Сети, и в данном случае он может быть рассмотрен как общий механизм расширений HTML. Как следует из его названия, расширяемость — основная черта XML. Авторы получили возможность объявлять и использовать новые элементы и атрибуты. В то же время, правила грамматики и синтаксиса XML требуют обеспечения регулярной структуры документа для реализации автоматической обработки и сопровождения больших объемов документов. Строго говоря, XML является удобным способом описания древовидных структур и, таким образом, может использоваться в качестве языка разметки.

К моменту образования первой W3C Math Working Group XML уже имел широкую поддержку среди фирм-разработчиков, включая основных производителей браузеров. Глобальный переход от HTML к XML важен для W3C. Промежуточным результатом работы в этом направлении стало появление рекомендации XHTML, которая определяет новую модульную форму HTML. MathML может рассматриваться как один из модулей, который очень хорошо соответствует новому формату XHTML.

Кроме того, другие XML-приложения для всех видов публикации и обработки документов обещают стать все более и более распространенными. Следовательно, как с теоретической так и с практической точки зрения, было бы логично определить MathML как XML-приложение.

1.3.3 Механизм расширения браузера

К настоящему времени детали общей модели для отображения и обработки XML-расширений в HTML в основном ясны, в отличие от ситуации, когда была принята MathML 1.0 Recommendation. Предполагается, что свойства форматирования (Formatting Properties), разработанные Cascading Style Sheets и Formatting Properties Working Group для CSS и доступные через Document Object Model (DOM), будут применяться для элементов MathML, чтобы получить стилистический контроль над представлением MathML. Дальнейшая разработка свойств форматирования проводится внутри рабочих групп CSS&FP и XSL.

На данный момент механизмы таблиц стилей не способны обеспечить непосредственное отображение MathML браузером, поэтому необходимо расширить возможности браузеров, используя встроенные объекты (embedded elements) для отображения MathML. Уже возможно использовать в браузере встроенный ограниченный механизм отображения для обработки встроенной XML-разметки, такой как MathML, и обеспечивать взаимодействие ее с окружающей web-страницей, однако, результаты пока не полностью соответствуют пожеланиям.

Для специализированной обработки, такой как связь с системами компьютерной алгебры, возможность внешнего вызова других программ останется особенно необходимой. Для того чтобы сложное взаимодействие между браузерами и встроенными объектами было удовлетворительным, необходимо определить достаточно богатую объектную модель документа. По этой причине W3C Math Working Group тесно сотрудничает с Document Object Model (DOM) Working Group.

Для обработки встроенных элементов и для многосторонней связи между научным программным обеспечением модель таблиц стилей в некоторых случаях далека от идеала. Это может наложить дополнительные сложности реализации в системе, когда можно получить некоторые преимущества, и это накладывает требования к реализации взаимодействия между браузерами и встроенными механизмами отображения, что, вероятно, будет недоступно в ближайшем будущем.

По этим причинам спецификация MathML определяет атрибут-ориентированную модель, которая показала себя в нескольких независимых приложениях, как очень эффективная для высококачественного отображения сложных математических выражений. Атрибуты представления MathML, где это возможно, используют свойства форматирования W3C. Также, элементы MathML допускают атрибуты class, style и id для обеспечения совместимости с традиционными таблицами стилей CSS. Однако, в настоящее время, имеется немного реализаций, где технология CSS используется при отображении MathML.

Использование механизма стилевых таблиц CSS уже упоминалось выше. Механизмы XSL также недавно стали доступны для преобразования XML-документов в формат отображения. Действительно, альтернативные варианты этой рекомендации, включая определяющую HTML-версию, были получены из XML-источника, используя средства языка трансформаций XSL. Поскольку разработки в этом направлении доступны для MathML, ожидается, что их использование станет доминирующим методом стилистического контроля представлением MathML, который предлагается для использования в отображающих средах, поддерживающих эти механизмы.

1.4 Обзор MathML

Главной проблемой создания математического языка разметки для применения в Сети является необходимость задавать одновременно представление математической нотации и содержание представляемых математических идеи или объекта.

Отношение математической нотации и математической идеи — тонкая вещь. Формально, математическая логика поднимает вопросы о соответствии между системами символьной логики и явлениями, которые они моделируют. На интуитивном уровне, каждый, кто использовал математическую нотацию, знает как важен правильный выбор нотации; символическая структура нотации предлагает структуру логическую. Например, нотация Лейбница для производных предлагает цепь правил вычисления через символические дроби.

Математики и учителя очень хорошо интуитивно чувствуют это; часть их работы как раз и состоит в выборе нотации, которая подчеркивает ключевые аспекты проблемы и скрывает или уменьшает несущественные. В математике очень часто пишут что-либо, хотя строгое значение этого является совсем другим, потому что опыт показывает, что это значительно лучше передает идею на высоком уровне, чем строгие детали.

В других случаях, математическая нотация используется для записи полного, точного значения свойств математического объекта. Математическая нотация может быть потрясающе строгой и при аккуратном использовании полностью свободной от неоднозначности. Более того, это отсутствие неоднозначности делает возможным описать математические объекты так, что они могут быть использованы в компьютерных приложениях, таких как системы компьютерной алгебры и системы воспроизведения речи. В ситуации, когда главным является взаимодействие между приложениями, детали визуального представления играют минимальную роль.

MathML позволяет авторам записывать как нотацию, представляющую математический объект, и саму математическую структуру объекта. Более того, авторы могут смешивать оба типа записи для определения представления и содержания математической идеи. Оставшаяся часть этого раздела дает основное представление о том, как MathML может быть использован для каждой из этих целей.

1.4.1 Таксономия элементов MathML

Все элементы MathML делятся на три группы: элементы представления, элементы содержания и интерфейсные элементы.

Элементы представления описывают визуально ориентированную двухмерную структуру математической нотации. Типичным примером является элемент mrow, который обычно применяется для обозначения горизонтального ряда частей выражения, и элемент msup, который отмечает верхний индекс. Как правило, каждый элемент представления соответствует одному типу нотационной схемы, такой как ряд, верхний индекс, нижний индекс и так далее. Любая формула состоит из частей, которые могут состоять из простейших элементов таких как цифры, буквы или другие символы.

Хотя предыдущий абзац связан с аспектом отображения математической нотации, и, следовательно, разметкой представления, те же самые рассуждения о декомпозиции применимы к абстрактным математическим объектам, а значит и разметке содержания. Например, в контексте разметки содержания верхний индекс обычно обозначает операцию потенцирования, требующую двух операндов: 'основания' и 'показателя'. Это ни коим образом не является совпадением, так как обычно математическая нотация тесно связана с логической структурой рассматриваемых математических объектов.

Рекурсивная природа математических объектов и нотации отражена в разметке MathML. Большинство элементов представления и содержания содержат в себе другие элементы MathML, отвечающие за части, из которых рекурсивно построен исходный объект. Первоначальная схема обычно называется родительской, а части — дочерними. В общем, выражения MathML можно представить в виде деревьев, где каждый узел соответствует элементу MathML, ветвь под 'родительским' узлом соответствует 'дочерним' узлам, и листья дерева соответствуют атомарным элементам нотации или содержания, таким как числа, символы и т. д.

Большинство элементов-листьев в дереве выражения MathML или канонические пустые элементы без тела, или токены. Канонические пустые элементы отображают символы в MathML, например, это делает элемент содержания. Токены — единственные элементы MathML, которые могут содержать текстовые данные. Текстовые данные в MathML содержат символы Unicode и специальные символьные конструкции, сделанные с помощью элемента mglyph. Третьим типом элементов-листьев в MathML являются комментарии, используемые для хранения данных, формат которых отличен от формата MathML.

Наиболее важными токенами представления являются mi, mn и mo, используемые для представления идентификаторов, чисел и операторов соответственно. Обычно эти элементы отображаются разными стилями: числа — прямым шрифтом, идентификаторы — наклонным, вокруг операторов оставляется дополнительное свободное пространство. В разметке содержания содержится только три токена, ci, cn и csymbol, для идентификаторов, чисел и новых введенных в документ символов соответственно. В разметке содержания существуют различные элементы для часто используемых функций и операторов. Элемент apply применяется для пользовательского расширения стандартного набора.

В терминах разметки, большинство элементов MathML определяются открывающим и закрывающим тегами, которые ограничивают содержание элемента. В случае токенов содержимое является текстовыми данными, в большинстве остальных случаев — разметкой дочерних элементов. Элементы третьей категории, называемые каноническими пустыми элементами, не требуют никакого содержания и определяются одиночным тегом вида. Примером может служить элемент в разметке содержания.

Давайте возьмем для примера выражение (a + b) ² и рассмотрим на практике описанные выше принципы. Одним из вариантов разметки представления для этого выражения будет такой:

a

b

Этот пример демонстрирует использование различных элементов представления. Первый элемент, очень широко используемый, это элемент mrow. Он используется для обозначения ряда данных с выравниванием по горизонтали. Данные, содержащиеся между тегами и рассматриваются как аргумент элемента mrow. Таким образом, в элементе mrow содержится целое выражение. Как было замечено ранее, большинство математических выражений состоят из подвыражений. Эти подвыражения, в свою очередь, также содержатся в элементе mrow. Например, a + b также содержится в mrow.

Элемент mfenced используется для ограничения формул различными типами скобок. По умолчанию используются круглые скобки.

Обратите внимание на использование элемента mi для отображения переменных a и b и элемента mo для выделения оператора +.

Элемент msup применяется в выражениях с верхними индексами и имеет два аргумента: основание (в нашем случае (a+b)) и показатель (в нашем случае 2).

Разметка содержания для того же примера будет иметь вид:

a

b

Элемент apply обозначает применение операции к выражению. В нашем примере применяются пустой элемент power (для возведения в степень) и аналогичный элемент plus (для сложения). Обратите внимание, что оба оператора имеют два аргумента. Но если в случае возведения в степень их порядок важен лишь отчасти, то в случае применения apply он имеет ключевое значение, так как первый дочерний элемент является оператором, принимающим остальные в качестве аргумента.

Обратите внимание на использование элемента ci для выделения переменных a и b, и элемента cn для выделения числа 2.

1.4.2 Разметка представления

Разметка представления MathML состоит из приблизительно 30 элементов, которые имеют более 50 атрибутов. Большинство элементов представляют из себя схемы форматирования, которые содержат в себе другие элементы представления. Каждая схема соответствует двумерному фрагменту нотации, такому как верхний или нижний индекс, дробь или таблица. Кроме того, в разметке представления есть описанные выше токены mi, mo и mn и несколько других, которые используются не так часто. Несколько оставшихся элементов представления — это пустые элементы, связанные, в основном, с выравниванием.

Все схемы форматирования делятся на несколько классов. Одна группа элементов отвечает за индексы и содержит такие элементы, как msub munder, и mmultiscripts. Другая отвечает за более общее форматирование и включает элементы mrow, mstyle и mfrac. Третья группа реализует работу с таблицами. Элемент maction образует еще одну категорию и позволяет кодировать различные типы действий над нотацией, встречающиеся в выражениях, которые toggles between two pieces of notation.

Схемы форматирования обладают важным свойством: важен порядок их дочерних элементов. Например, первый дочерний элемент схемы mfrac является числителем дроби, а второй — знаменателем. Так как порядок дочерних элементов не задается на уровне XML с помощью MathML DTD, информация о порядке доступна только препроцессору MathML, в отличие от общего препроцессора XML. Когда мы хотим подчеркнуть, что элементы MathML, такие как mfrac, требуют указания дочерних элементов в определенном порядке, мы рассматриваем их как аргументы, а mfrac — как 'конструктор' нотации.

1.4.3 Разметка содержания

Разметка содержания содержит около 120 элементов, принимающих около дюжины атрибутов. Большинство этих элементов — пустые, соответствующие различным математическим операторам, зависимостям и функциям. В качестве примера можно привести partialdiff, leq и tan. Другие, такие как matrix и set, используются для представления различных типов математических данных. Третья важная категория элементов разметки содержания, такая как apply, используется для применения к выражениям операций и создания новых математических объектов.

Возможно, одним из наиболее важных элементов содержания является apply. Он используется для применения функции или операции к набору аргументов. Здесь также важно положение дочерних элементов: первый дочерний элемент указывает применяемую функцию, остальные — аргументы в соответствующем порядке. Надо отметить, что конструкция apply всегда использует префиксную нотацию, как язык программирования LISP. В частности, даже бинарные операторы, такие как вычитание, описываются применением префиксного оператора вычитания к двум аргументам. Например, a — b будет описано так:

a

b

Многие функции и операции, для того чтобы четко определенными, требуют одного или нескольких кванторов. Например, кроме подинтегрального выражения у определенного интеграла должны быть заданы пределы интегрирования и переменная, по которой происходит интегрирование. По этой причине существует несколько схем-спецификаторов вроде bvar и lowlimit. Они используются с операторами diff и int.

Конструкция declare особенно важна для разметки содержания, которая может обрабатываться системами компьютерной алгебры. Элемент declare реализует основной механизм присваивания, когда может быть объявлена переменная определенного типа с определенным значением.

И в примерах разметки представления, и в примерах разметки содержания математические выражения рекурсивно разлагаются на вложенные, более простые элементы MathML, определяющие стадию декомпозиции. В следующем разделе это проиллюстрировано на более сложных примерах.

1.4.4 Объединение представления и содержания

Для разных типов задач различные типы разметки могут быть наиболее подходящими. Документы, созданные до широкого распространения Сети, очень часто предназначены только для визуального обмена информацией и наилучшим образом преобразуются в чистую разметку представления, так как семантическая информация, которую подразумевал автор, может быть восстановлена только эвристически. Наоборот, некоторые математические приложения и средства обучения основаны на содержании. Большинство же приложений находятся посредине между этими крайностями. Для них наиболее подходящим вариантом является объединение разметки представления и содержания.

Правила объединения разметки представления и содержания следуют из общего принципа, что смешанная разметка может быть только в тех местах, где она действительно необходима. Для разметки содержания, встроенной в разметку представления, это означает, что любые фрагменты содержания должны быть семантически значимыми и не требовать дополнительных аргументов или кванторов для того, чтобы быть четко определенными. Для разметки представления, встроенной в разметку содержания, это означает, что разметка представления должна содержаться в токене разметки содержания как неделимый элемент, используемый в качестве имени переменной или функции.

Другой способ заключается в использовании элемента semantics. Он используется для связывания выражений MathML и различных типов примечаний. Чаще всего элемент semantics используется для того, чтобы присоединить фрагмент разметки содержания к разметке представления как семантическое примечание. Таким образом, автор может определить нестандартную нотацию, которая будет использоваться при отображении конкретного выражения. Другим применением элемента semantics является включение других семантических спецификаций, таких как OpenMath выражения, в выражения MathML. В этом случае, элемент semantics может быть использован для расширения разметки содержания MathML.

1.5 MathML в документах

Все вышесказанное относится к отдельным формулам вне контекста документа. Давайте подробно рассмотрим пример, соответствующий примеру «Hello, World!», разбираемому при изучении языков программирования. Мы представим полный код документа XHTML 1.0, содержащего рассмотренный выше квадрат суммы двух переменных:

This is a perfect square:

a

b