Когерентные и некогерентные лидарные методы зондирования атмосферной турбулентности

Целью диссертационной работы являются разработка методов определения структурной характеристики флуктуаций показателя преломления атмосферной турбулентности, основанных на измерении флуктуаций интенсивности рассеянного излучения для когерентных, некогерентных и ЛП-лидаров1, и исследование ограничений на точность доплеровских лидарных методов измерений средней радиальной скорости ветра в пограничном слое атмосферы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) исследовать рассеяние оптического излучения на атмосферных частицах, находящихся в турбулентной среде, применительно к лидарной схеме зондирования;

2) создать модели детектирования случайных оптических полей для когерентного, некогерентного и ЛП-лидаров;

3) рассчитать дисперсии турбулентных флуктуаций амплитуды фототока и исследовать их поведение. Разработать лидарный способ определения структурной характеристики флуктуаций показателя преломления атмосферной турбулентности;

4) создать модель оценки радиальной скорости ветра и модель прогноза точности доплеровских измерений, которая позволяет исследовать величину ошибки для метеорологической ситуации, когда стратификация атмосферы значительно меняется в течение суток.

Актуальность работы. В настоящее время дистанционные методы измерений (спутниковые, самолетные, наземные и др.) позволяют получать огромное количество разнообразной информации о параметрах физического состояния атмосферы. Современная тенденция в развитии дистанционных методов измерений — это создание средств гиперспектрального зондирования состояния атмосферы [109, 120]. В рамках проблемы создания средств гиперспектрального зондирования выдвинут синергетический подход [109, 120], который заключается в том, что в целях повышения точности и достоверности измерений наравне с традиционными приборами (радары, содары, приборы, основанные на пассивных методах) необходимо использовать технику лидарного зондирования. Эффектив.

1 ЛП-лидар — это разновидность когерентного лидара, основанного на приеме слабых оптических сигналов на лазер, аббревиатура ЛП расшифровывается как лазерный приемник. ность синергетического подхода основана на уникальном свойстве лидарных методов: на возможности осуществления в широком спектральном диапазоне как глобальных, так и локальных измерений с высокой точностью, пространственно-временным разрешением, а также с высоким быстродействием и с хорошей периодичностью.

Большое значение в развитии синергетического подхода придается применению лидаров для мониторинга состояния атмосферной турбулентности [109, 120]. Известно [3, 4, 20, 29, 34, 40−43, 55, 62, 114, 115, 162−164, 167, 168], что структурная характеристика флуктуаций показателя преломления и профиль ветра являются важными величинами, которые характеризуют состояние атмосферной турбулентности.

Информация об этих величинах используется при решении различных научных задач физики атмосферы, метеорологии, океанологии, климатологии и экологии, а также при решении ряда прикладных проблем. Например, структурная характеристика флуктуации показателя преломления связана с внешним масштабом атмосферной турбулентности [114, 115, 162—164, 167, 168]. Внешний масштаб и профиль среднего ветра входят в качестве основных параметров современных моделей прогноза атмосферы, таких как Yamada — Mellor Model, PSU/NCAR Mesoscale Model- (MM5), Weather Research and Forecasting (WRF) Model и др. [114, 115*, 118, 162—164, 166]. При изучении ряда экологических проблем, связанных, например, с дистанционным мониторингом экологического состояния подстилающей поверхности [46—48, 52, 53, 165], необходимо знать состояние турбулентной атмосферы, так как она определяет характер взаимодействия пограничного слоя атмосферы и самой поверхности.

Информация о структурной характеристике флуктуаций показателя преломления и профиле ветра применяется в задачах лазерной локации, адаптивной оптики, оптической связи, транспорта оптической энергии в заданную точку [19, 20, 26, 38, 40, 45, 62], а также в задачах лазерного зондирования атмосферы в условиях сильной турбулентности [3, 4, 20, 29, 38, 39, 40, 45, 55, 62, 116].

Таким образом, разработка лидарных методов определения структурной характеристики и исследование ограничений на точность доплеровских лидарных методов измерений средней радиальной скорости ветра в пограничном слое атмосферы являются актуальными задачами.

Состояние проблемы на момент начала исследований. Известно [3, 4, 20, 29, 40, 55, 62], что структурная характеристика флуктуаций показателя преломления входит в основные выражения, которые описывают флуктуации амплитуды и фазы оптического излучения, поэтому ее можно найти путем измерения статистических характеристик оптического излучения. По типу используемого оптического излучения (излучение, прошедшее слой турбулентной атмосферы, или рассеянное «назад» излучение) методы определения структурной характеристики разделяют на два типа: на прямых трассах и лидарных трассах.

Методы определения структурной характеристики на прямых трассах на момент начала исследований были созданы, а также теоретически и экспериментально исследованы авторами [3, 4, 29, 20, 40, 55, 62]. Эти методы основаны на определении структурной характеристики по:

1) флуктуациям интенсивности,.

2) размытию изображения миры,.

3) увеличению среднего размера изображения источника,.

4) дрожанию изображения источника.

Главным недостатком методов определения структурной характеристики на прямых трассах является то, что источник и приемник оптического излучения находятся на разных концах трассы. Такое расположение источника и приемника существенно усложняет процесс измерений: плохое быстродействие, а также низкая точность измерений или вообще невозможность проведения измерений профиля структурной характеристики. В отличие от методов зондирования на прямых трассах, лидарные методы избавлены от этого недостатка.

На момент начала исследований в работах [3, 4] были теоретически и экспериментально изучены лидарные способы определения структурной характеристики, использующие явления искажения когерентности поля рассеянной волны и дрожания изображения рассеивающего объема.

В работе [86] экспериментально показано наличие турбулентных флуктуа-ций фототока когерентного лидара Rockwell, а теоретически-данные флуктуации изучены не были.

Отметим, что есть работы [14, 107], в которых представлены результаты лидарных измерений структурной характеристики флуктуаций показателя преломления, но они были опубликованы значительно позже, чем результаты исследования, полученные автором данной диссертации, например в [5, 10, 68, 69, 77]. Работа [92] также является более поздней, в ней экспериментально исследованы флуктуаций фототока в зависимости от угла поля зрения для лидаров с некогерентным детектированием сигнала на двух длинах волн 1,06 и 0,53 мкм.

Таким образом, лидарный способ определения структурной характеристики, основанный на измерении флуктуаций интенсивности, на момент начала исследований не был предложен и не был изучен ни теоретически.

Для создания методов определения структурной характеристики флуктуаций показателя преломления атмосферной турбулентности, основанных на измерении флуктуаций интенсивности рассеянного излучения, необходимо решить первые три задачи, которые поставлены в настоящей диссертации.

Постановка задачи рассеяния оптического излучения на атмосферных частицах, находящихся в турбулентной среде, применительно к лидарной схеме зондирования должна основываться на теории многократного рассеяния волн на системе частиц [23, 24, 44, 59]. В работах [2, 32] предложен теоретический подход к решению проблемы рассеяния оптического излучения на системе частиц в отсутствие турбулентности на трассе зондирования. В работе [16] рассмотрена задача распространения света «вперед» в осадках с учетом турбулентности атмосферы.

Задача рассеяния «назад» оптического излучения на дискретных вкраплениях, находящихся-в турбулентной среде, рассматривалась в рамках упрощенных подходов в работе [18] в приближении «мягких» частиц, в [33] — для идеально отражающих дисков и в [90]' — для «точечных» частиц.

Введение

в рассмотрение конкретных типов дискретных вкраплений существенным образом упрощает математические рассуждения, но полученные таким способом результаты будут иметь ограниченную область применения.

Таким образом, задача рассеяния применительно к лидарной схеме зондирования, основанная на теории многократного рассеяния, не была рассмотрена, а в рамках упрощенных подходов [18, 33, 90] решение такой задачи имеет ограниченную область применения.

В настоящей диссертации поставлена и решена задача рассеяния оптического излучения на атмосферных частицах, находящихся в турбулентной среде, применительно к лидарной схеме зондирования на основе теории многократного рассеяния [23, 24, 44, 59, 85], которая позволяет выйти за границы применимости работ [18, 33, 90] и при необходимости последовательно учесть явления многократного рассеяния на системе частиц и на атмосферной турбулентности.

Процесс регистрации случайных оптических полей, т. е. решение второй задачи, для когерентного и некогерентного детектирования, хорошо изучен и изложен в работах [26, 50, 54, 55, 62, 64]. Например, выражения для фототока гетеродинного приемника, которые приведены в [26, 50, 64], соответствуют моделям выходного сигнала когерентного лидара как для одномодового, так и для многомодового режимов детектирования. Для некогерентного детектирования получение таких же удобных выражений для фототока для наиболее распространенной оптической схемы лидара, представляющей собой телескоп, в плоскости изображения которого находится диафрагма поля зрения, не является большой математической проблемой.

Таким образом, модели детектирования случайных оптических полей для когерентного и некогерентного лидаров хорошо изучены, а результаты исследований полно представлены в научной литературе.

Теоретическое описание процесса регистрации оптических случайных полей методами лазерного детектирования, т. е. ЛП-лидаром, не исследовано применительно к лидарной схеме зондирования атмосферной турбулентности. Например, влияние обратного рассеяния на лазерный прием исследовалось в ряде работ главным образом с точки зрения решения проблем газоанализа, измерения прозрачности [22, 27, 56, 66, 108, 111, 112], измерения скорости движения [57, 58, 88, 89], измерения дальности, вибраций и перемещений [57, 58, 91, 121].

В настоящей диссертации описание процесса регистрации случайных оптических полей методом лазерного детектирования с последующим изучением турбулентных амплитудных флуктуаций фототока проводится на уравнениях полуклассической генерации лазера [1, 49, 61, 65, 67].

Что касается третьей задачи, которая поставлена в данной диссертации, то решение первых двух позволяет осуществить расчет дисперсий турбулентных флуктуаций амплитуды фототока и исследовать их поведение. Полученные выражения для дисперсий явились основой для разработки способа определения структурной характеристики показателя преломления атмосферной турбулентности.

Результаты исследований ограничений на точность доплеровских лидарных методов измерений радиальной скорости ветра опубликованы в [82, 93—106, 110, ИЗ, 116, 117, 122—126]. В этих работах предложены две модели оценки радиальной скорости ветра. Данные модели являются обобщением соответствующих выражений теории доплеровского радарного зондирования [21, 161, 169, 170].

Исследование точности доплеровских лидарных измерений с использованием первой модели проведено авторами [93—95, 100, 101, 103, 110, 113, 116, 117, 122—126], которые основывались на предположении о гауссовой статистике сигнала обратного рассеяния. Анализ основных выражений показывает, что предлагаемый подход учитывает влияние шумов, дискретность при обработке сигнала, но он ограничен по статистике сигнала обратного рассеяния.

Суть второй модели изложен в работах [82, 96—99, 102, 104—106] и заключается в использовании формулы для радиальной скорости ветра, которая есть результат усреднения локальной радиальной скорости по рассеивающему объему с некоторой весовой функцией. Из этих работ следует, что основное уравнение не зависит от отношения сигнал-шум, интервала дискретности и их числа, что является главным недостатком такого подхода.

Кроме перечисленных двух моделей, следует особо отметить еще одну модель, которая основывается на результатах теории доплеровских анемометров [31, 32, 51]. Известно [31, 32, 51], что теория доплеровских анемометров использует предположение об незначительных изменениях скорости ветра в рассеивающем объеме, что приводит к простой связи между доплеровской частотой и скоростью турбулентного потока. Данную теорию можно применять к лидарной задаче, когда размеры рассеивающего объема меньше, чем внешний масштаб турбулентности, и она представляют большой интерес для лидарных измерений реальной скорости ветра.

Однако результаты, полученные с использованием данной модели при исследовании точности доплеровских лидарных методов, будут иметь ограниченную область применения. Область применения будет ограничена только большими значениями отношения сигнал-шум, интервала дискретности и их числа, а также малыми размерами рассеивающего объема, так как модель не учитывает влияние пространственного усреднения скорости ветра в рассеивающем объеме.

При создании модели оценки радиальной скорости ветра, т. е. при решении четвертой задачи, поставленной в диссертации, необходимо одновременно учитывать такие явления, как негауссова статистика, нестационарность сигнала обратного рассеяния, наличие шумов, дискретность при обработке сигнала и пространственное усреднение скорости ветра в рассеивающем объеме. Как будет показано в гл. IV, в предельных ситуациях предложенная в данной диссертации модель оценки радиальной скорости ветра совпадает с перечисленными выше тремя моделями [82, 31, 32, 51, 93−106, 110, ИЗ, 116, 117, 122−126]. При разработке модели оценки радиальной скорости ветра автор диссертации использовал теорию оценок, которая изложена в монографии [13].

В основу модели прогноза точности доплеровских измерений, кроме выражения для оценки радиальной скорости ветра, которая предложена автором данной диссертации, положена прогностическая модель расчета метеорологических полей, разработанная в Томском госуниверситете [162, 163]. Такая модель прогноза точности доплеровских измерений позволяет исследовать величину ошибки измерений для метеорологической ситуации, когда стратификация в пограничном слое атмосферы значительно меняется в течение суток.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. На основе теории многократного рассеяния волн на системе частиц применительно к лидарной схеме зондирования атмосферной турбулентности поставлена и решена задача рассеяния оптического излучения, что позволяет выйти за границы применимости приближений «мягких» частиц, идеально отражающих дисков и «точечных» частиц.

2. В случае когерентного лазерного приема случайных оптических полей предложена и изучена модель фототока для лидарной схемы определения параметров атмосферной турбулентности. Проведено сравнение методов регистрации оптических полей при гетеродинном детектировании и когерентном приеме на лазер. Проведен анализ диаграммы направленности когерентного лазерного приемника для устойчивого резонатора и для резонатора, состоящего из двух отражающих плоских зеркал.

3. Теоретически изучено поведение амплитудных флуктуаций фототока при когерентном, некогерентном и лазерном приеме рассеянных оптических полей в зависимости от состояния атмосферной турбулентности и от оптических параметров лидаров.

4. Предложен и теоретически обоснован метод определения структурной характеристики флуктуаций показателя преломления атмосферной турбулентности, основанный на измерении флуктуаций интенсивности рассеянного излучения для когерентных, некогерентных и ЛП-лидаров.

5. Для негауссовой статистики и нестационарного сигнала обратного рассеяния предложена модель оценки радиальной скорости ветра, которая одновременно учитывает влияние шумов, дискретности при обработке сигнала и пространственного усреднения скорости ветра в рассеивающем объеме. Данная модель удовлетворяет требованию равномерной аппроксимации, а в предельных случаях она совпадает с результатами уже существующих теоретических подходов.

6. Предложена модель прогноза точности доплеровских измерений, основанная на предложенном в данной диссертации выражении для оценки радиальной скорости ветра и на известных прогностических моделях расчета метеорологических полей. Такая модель прогноза точности доплеровских измерений позволяет исследовать величину ошибки измерений для метеорологической ситуации, когда стратификация в пограничном слое атмосферы значительно меняется в течение суток.

Достоверность результатов работы обеспечивается: применением в расчетах моделей среды, обоснованных и подтвержденных данными, которые получены в результате многочисленных экспериментов в атмосфереиспользованием в расчетах теоретических подходов и приближенных методов, область применения и погрешность которых хорошо известнасравнением результатов расчетов с экспериментальными даннымисравнением результатов расчетов в частных случаях с теоретическими выводами других авторов.

Научное и практическое значение результатов работы.

Полученные в диссертации результаты имеют научное и практическое значение по использованию лидаров для мониторинга состояния атмосферной турбулентности. В рамках синергетического подхода применение лидарных методов определения структурной характеристики флуктуации показателя преломления, а также полученных результатов по точности зондирования профиля ветра позволит на новом качественном уровне решать научные задачи физики атмосферы, метеорологии, океанологии, климатологии, экологии и т. д.

С точки зрения практики полученные результаты позволяют в условиях сильной турбулентности атмосферы оценить потенциально достижимые технические характеристики систем зондирования, систем адаптивной оптики, оптической связи и других систем, которые широко используются в авиации, сельском хозяйстве, при прогнозе погоды, предсказании и мониторинге чрезвычайных ситуаций. Полученные результаты представляют большое практическое значение для решения проблем прикладного характера.

Основные защищаемые положения:

1. Турбулентные флуктуации фототока когерентного, некогерентного и ЛП-лидаров возникают, если приемная оптическая система разрешает спекл-картину в рассеивающем объеме, которая обусловлена турбулентными пульсациями показателя преломления. Величина относительной дисперсии флуктуаций фототока возрастает с увеличением интенсивности турбулентности на трассе и зависит от дифракционных параметров источника.

2. Метод определения структурной характеристики флуктуаций показателя преломления атмосферной турбулентности заключается в посылке в исследуемую среду зондирующего лазерного излучения, приеме рассеянного излучения через апертуру приемной системы и выделении из него части потока. Площадь поперечного сечения части потока, которая соответствует ей в объектной плоскости, должна быть меньше или равна площади первой зоны Френеля. По величине флуктуаций фототока судят о структурной характеристике флуктуаций показателя преломления.

3. Показано, что в задаче оценки точности доплеровских лидарных измерений скорости ветра в турбулентной атмосфере причиной неравномерной аппроксимации являются негауссовы свойства сигнала доплеровского лидара. Оценка радиальной скорости ветра есть сумма регулярной и двух флуктуацион-ных частей. Регулярная составляющая оценки совпадет с радиальной скоростью ветра, а две флуктуационные части определяются условными гауссовыми и. негауссовыми флуктуациями частоты и являются причиной ошибкиизмерений' средней радиальной-скорости ветра.

4. В условиях сильной турбулентности величина негауссовой условной компоненты может превосходить в 2 раза вклад гауссовой условной, компоненты ошибки измерений. С ростом интенсивности турбулентности и с уменьшением размеров рассевающего объема величина ошибки измерений растет, что будет приводить к ограничениям при зондировании средней радиальной скорости ветра с высоким пространственным разрешением, когда ситуация в пограничном слое атмосферы значительно меняется в течение суток.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [5, 10, 74, 76—78, 81], а также в [68, 69]. Результаты докладывались на конференциях SPIE, а также на конференциях, спонсорами которых выступало это общество [79, 80, 131, 133, 134, 137, 138, 140, 141, 147, 149−152, 155, 158−160]. Материалы, представленные в диссертации, были также доложены на International Laser Radar Conference [129, 139, 144, 150, 156], Coherent Laser Radar Conference [130, 144, 146, 153], International Symposium on Tropospheric Profiling [148, 128], International Conference on Wave Propagation in Random Media (Scintillation) [140], Meeting of Working Group on Space-Based Lidar Winds [157], IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium [143, 145, 154], OSA Annual Meeting [132, 135 136]. Кроме того, результаты, изложенные в диссертации, были опубликованы в ряде сборников этих конференций.

К числу научных мероприятий, на которых были представлены доклады, следует также отнести Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере [73], Всесоюзное совещание по распространению лазерного излучения в дисперсных средах [11], Всесоюзное совещание по атмосферной оптике и актинометрии [7, 12], Всесоюзная конференция по распространению радиоволн [70], Всесоюзный симпозиум по лазерному и акустическому зондированию атмосферы [6, 35, 72, 75], Всесоюзная конференция «Применение лазеров в технологии и системах передачи информации» [71], Всесоюзное совещание по радиоэлектронике [8].

Соавторы работ принимали участие в постановке задачи, обсуждении полученных результатов.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы. Полный объем диссертации составляет 118 страниц, она содержит 20 рисунков, список литературы состоит из 170 наименований.

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Разработан и теоретически обоснован новый метод определения структурной характеристики флуктуаций показателя преломления атмосферной турбулентности, основанный на измерении флуктуаций интенсивности рассеянного излучения для основных типов лидаров: когерентный, некогерентный и ЛП-лидары.

2. Изучено поведение амплитудных флуктуаций фототока при когерентном, некогерентном и лазерном приеме рассеянных «назад» оптических полей в зависимости от состояния турбулентности и от оптических параметров лидара. Показано, что флуктуации мощности фототока когерентного лидара возникают при высоком пространственном разрешении одномодового гетеродинного приемника. Величина данных флуктуаций пропорциональна величине турбулентных флуктуаций интенсивности зондирующего излучения. Коэффициент пропорциональности зависит от угла поля зрения приемника и уменьшается при его увеличении.

3. На основе уравнений’теории многократного рассеяния волн на системе частиц поставлена и решена задача о рассеянии «назад» оптического излучения на атмосферных частицах, находящихся в турбулентной среде. Показано, что-в трех случаях можно ограничиться' конечным числом членовряда в разложении оператора рассеяния по процессам многократного рассеяния на турбулентных неоднородностях и флуктуациях показателя преломления, обусловленных частицами. Первый случай соответствует обратному рассеянию оптической волны в турбулентной среде с дискретными вкраплениями, которые локализованы в объеме конечных размеров. Второй и третий случаи соответствуют однократному рассеянию непрерывного и импульсного излучения на системе частиц, которые не локализованы в турбулентной среде.

4. В рамках полуклассической теории квантовых генераторов для пространственно однородной активной среды рассмотрена задача о лазерном приеме случайных оптических полей. Получена система уравнений для коэффициентов разложения поля внутри лазера по собственным функциям пустого резонатора при пространственном рассогласовании полей падающего и рассеянного излучения. Представлены результаты анализа диаграмм направленности когерентного лазерного приемника для устойчивого резонатора с бесконечными зеркалами и для резонатора, состоящего из двух отражающих плоских зеркал.

Показано, что в зависимости от кривизны выходного зеркала выделяются два режима детектирования случайных оптических полей: одномодовый и мно-гомодовый. В одномодовом режиме детектирования, который соответствует плоскому выходному зеркалу, угол поля зрения лазерного приемника определяется его дифракционной разрешающей способностью. В многомодовом режиме детектирования, который соответствует выходному зеркалу конечной кривизны, угол поля зрения лазерного приемника определяется радиусами кривизны, длиной резонатора, а также коэффициентом преломления подложки выходного зеркала.

Проведено сравнение методов регистрации оптических полей при гетеродинном детектировании и когерентном приеме на лазер. Показано, что применение лазерного приемника с устойчивым и плоским резонаторами для низшей моды в задачах оптического зондирования, локации, видения и т. д. вместо гетеродинного приемника припрочих равных условиях позволяет превзойти критерии, принятые при аподизации в оптике.

5. Предложена модель прогноза точности доплеровских измерений, которая основана на уравнениях для оценки средней радиальной скорости ветра и одномерной модели однородного атмосферного пограничного слоя. Данная модель удовлетворяет требованию" равномерной аппроксимации, а также корректно учитывает такие явления, как негауссовы свойства и нестационарность сигнала доплеровского лидара. Модель позволяет также осуществлять численный прогноз радиальной скорости ветра, ее ошибки измерений в зависимости от отношений сигнал-шум, от интервала дискретности, числа интервалов дискретности и других параметров, а также от потенциальной температуры, кинетической энергии, скорости диссипации турбулентности для метеорологической ситуации, когда стратификация атмосферы значительно меняется в течение суток.

Показано, что возрастание интенсивности турбулентности в дневное время приводит к значительному возрастанию ошибки измерений средней радиальной скорости ветра по сравнению с ночным временем. Вечером и в ночное время, когда пограничный турбулентный слой начинает разрушаться, точность измерений начинает расти сначала на поверхности земли и потом по всей высоте этого слоя.

В условиях сильной турбулентности величина негауссовой условной компоненты превосходит в 2 раза вклад гауссовой условной компоненты ошибки измерений. С ростом интенсивности турбулентности и уменьшением размеров рассевающего объема величина ошибки измерений растет, что будет приводить к ограничениям на точность при зондировании средней скорости ветра с высоким пространственным разрешением, когда ситуация в пограничном слое атмосферы значительно меняется в течение суток.

Исследованы два подхода применения методов возмущений в задаче оценки точности доплеровских лидарных измерений скорости ветра в турбулентной атмосфере. Показано, что первый подход, основанный на прямом использовании метода возмущений, приводит к неравномерной аппроксимации и к неправильной физической интерпретации полученных результатов. Второй подход, который получается путем перенормировки рядов теорий возмущений, дает ряд для оценки доплеровской частоты, который удовлетворяет требованию равномерности аппроксимации и позволяет корректно интерпретировать полученные результаты.

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Игорю Анатольевичу Суторихину за научное руководство. Автор также выражает благодарность члену-корреспонденту РАН Валерию Леонидовичу Миронову и кандидату физико-математических наук Михаилу Соломоновичу Беленькому за полезное сотрудничество. Особая благодарность доктору физико-математических наук, профессору Александру Анатольевичу Землянову за поддержку при проведении исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.