Исследование сходимости формулы Карлемана-Голузина-Крылова в классических метриках

0.1 Общий обзор работы.

Формула Карлемана-Голузина-Крылова (CGK) восстанавливает аналитическую в единичном круге D функцию / класса Харди Н1 (Ю>) по ее граничным значениям на множестве Е С Т = {z: z = 1} положительной меры Лебега. А именно, полагая где z ЕШ>, а > 0, Q — внешняя функция в D, причем выполнено равенство.

Формула (CGK) была впервые построена в статье [1], где, в частности показано, что предел в (CGK) можно понимать в смысле равномерной сходимости на компактах круга D. Она подробно описана также в монографиях [2, 3, 4]. В книге [3] значительное внимание уделено многомерным вариантам формулы (CGK). В статье [5] Д. Патил доказал, что сходимость в (CGK) имеет место по норме пространства Харди Нр, 1 < р < оо, если / € Нр. В работе [б] описаны модификации (CGK) (в частности, для Е С DUT), применимые для доказательств теорем единственности для различных классов аналитических функций, гладких вплоть до границы.

Q (z) = е, п.в. на Е 1, п.в. на Т Е, имеем f (z) = lim (CGK)a{f){z).

CGK).

В монографии [4] автор ставит следующие два вопроса: имеет ли место аналог теоремы Патила для сходимости по норме диск-алгебры, А (соответственно, Я1), если / е, А (соответственно, / G Я1)?

Ответам на эти два вопроса посвящены Глава 1 и Глава 2 диссертации, соответственно.

Надо сказать, что такая постановка вопросов требует уточнения. Дело в том, что из известных свойств интегрального оператора Коши, участвующего в (CGK), и из разрывности функции Q следует, что, вообще говоря, для / е, А (соответственно, / € Я1), выражение под знаком предела в (CGK) может не принадлежать, А (соответственно, Я1).

Тем не менее, для функций из этих пространств интерес представляет сходимость формулы в точках окружности Т, отделенных от Е, то есть в метриках, соответственно, С{К) и Ll (K), где К С Т U, U — окрестность множества Е. Именно эти задачи и решены в Главах 1 и 2.

Цель следующей Главы 3 — исследовать сходимость описанного классического варианта формулы (CGK) на известных пространствах аналитических в круге функций с граничными значениями на Т, обладающими определенной гладкостью. Именно, нас будет интересовать принадлежность к пространству Липшица самих функций либо их производных нескольких порядков. В этой главе Е будет дугой окружности.

По той же причине (разрывность интегрального ядра (CGK) в концах дуги Е) естественно рассматривать сходимость формулы в простанствах гладких функций на (компактных) дугах, не содержащих двух этих точек.

Интерес представляют следующие 3 вопроса.

1. Сходится ли формула (CGK) в метрике Липшица на компактной дуге окружности Т, не содержащей концов дуги Е, при условии, что восстанавливаемая функция / удовлетворяет условию Липшица того же или большего порядка на всей Т?

2. Что можно сказать о сходимости к—х производных приближающих функций в формуле (CGK), если /(*> е Lipa{Т) или /W е Lip (а + е)(Т)?

3. Какова скорость сходимости (или расходимости)?

Конструкцию (CGK) можно воспринимать как своеобразную «аппроксимативную единицу» («сингулярный интеграл» — в том смысле, в каком этот термин понимается в монографии [17]). Эта точка зрения позволяет предвидеть результаты глав 1 — 3, но мало помогает в их доказательстве, так как операторы (CGK)(Г довольно далеки от сверточных, и оценки сходимости (или расходимости) требуют довольно специальной техники, которая, к тому же, должна учитывать аналитичность изучаемых функций.

Два основных результата первой и второй глав — Теоремы 1 и 2 — в основной своей части состоят в том, что даже «ослабленной» сходимости формулы (CGK), то есть сходимости в метриках, соответственно, Ьг (К) и С (К), где К С TU, U — окрестность множества Е, может не быть для некоторых функций из Я:(Р) и А, соответственно.

Тем самым, получен ответ на вопросы Партингтона [4].

В Главе 3 изучена сходимость формулы (CGK) в классических пространствах аналитических функций с гладкими метриками (пространствах Липшица и пространствах функций более высокой граничной гладкости), оценена ее скорость.

С формулой Карлемана-Голузина-Крылова оказывается связан еще один вопрос.

Рассмотрим задачу весового приближения функциями с полуограниченным спектром на прямой R. Решение этой задачи доставляет следующая теорема М. Г. Крейна [7, 8].

Теорема (М. Г. Крейн).

Пусть Д — неотрицательная функция, заданная и суммируемая на R. Следующие утверждения равносильны: оо —ОО.

2) для любых е > 0 и, а > 0 найдется тригонометрическая сумма S вида N.

S (x) = J2c"ei k = lt. yN, k=1 удовлетворяющая неравенству.

J l — S (x)2A (x)dx < е. оо.

Аналогичные результаты, касающиеся весовых приближений на окружности, принадлежат Г. Сеге [9, 10] и А. Н. Колмогорову [11]. Приближения тригонометрическими суммами в весовых^{-пространствах} изучали Н. Н. Ахиезер [12] и Г. Ц. Тумаркин [13]- поточечную весовую аппроксимацию в L°°(T) изучал Н. К. Никольский [14].

Известные доказательства теоремы Крейна и ее аналогов основаны как правило на соображениях двойственности и не дают явного выражения аппроксимирующих тригонометрических сумм. В связи с этим (а также в связи с вероятностными задачами прогноза) в статье Маккина [15] была поставлена задача построения эффективных формул, определяющих суммы S, о которых идет речь в теореме Крейна. Решению этой задачи (см. также [16]) и посвящена Глава 4.

Нужно сказать, однако, что для весовых приближений на окружности Т такие формулы содержались уже в работах Сеге. С помощью замены переменной их нетрудно преобразовать в аналогичные формулы для R (см. ниже обсуждение в обзоре п. 4.1.5 диссертации).

В п. 4.3 Главы 4 диссертации мы предлагаем иную конструкцию.

В статье [6] было отмечено, что с учетом работы Патила [5] формулу (CGK) (и ее аналог на вещественной прямой) можно воспринимать как конструктивное приближение функции / € Н2(Х), где X = Т или X = К, последовательностью функций класса Я?(Х) в весовой метрике 1?{ХД), если в качестве веса Д взять характеристическую функцию множества СЕ. Естественно возникает вопрос о такой модификации формулы (CGK), которая осуществляла бы подобное приближение при любом суммируемом на X весе Д, удовлетворяющем условию 1) теоремы Крейна, и тем самым, по существу, решала задачу Маккина.

В Главе 4 с помощью модификации формулы (CGK) задача Маккина [15] решена, то есть построена последовательность ганкелевых операторов, действующих в весовом пространстве ЯР (Д) на прямой (или на единичной окружности), значения которых приближают заданную гармонику егах (соотвтственно, za) а > 0, при условии расходимости логарифмического интеграла от веса Д. Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на пункты.

Обзор диссертации по главам.

В пп.0.2 Введения собраны обозначения, общие для всех разделов диссертации. Вот некоторые из них.

Буква т обозначает нормированную меру Лебега на единичной окружности.

Пусть I — интервал, 7: I С — гладкий простой путь, М С 7(/), / — гладкая функция, суммируемая (относительно длины дуги) на кривой 7(/). Введем обозначение для г? Ст (/).

Везде ниже Е будет обозначать компактную дугу, Е = Е$ С Т, такую, что.

Т Е = СЕ = {eie: в < 6}, 0 < S < тгЕ° = Е {e±i<5}. Если / € Я^В), то Т,. d6 io dm (z) = —, z = e м для z 6 Р и a > О = Q-{г) ¦ cgr{z) + Q~*(z) • Csc%(z) = (CGK), (f)(z) + Ra{f){z) = (CGK)l (/) + Я* (/). (1).

В качестве Q, вообще говоря, можно взять любую внешнюю в круге ЕР функцию, для которой |<2| = 1 почти всюду на СЕ,.

JlogQ dm > 0. Е.

Эти условия обеспечивают равенство lim Д*(/) = 0 а—юо при z < 1. Мы же остановимся на классическом варианте формулы (CGK), положив Q = е на множестве Е.

В п. 0.3 Введения доказаны основные свойства функции Q, на которые опираются доказательства различных разделов диссертации.

1. Голузин Г. М., Крылов В. И. Обобщенная формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат.сб., 1933, т.40, N.2, С.144−149.

2. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. — М.- JL: Го-стехтеоретиздат, 1950, 336с. Privalov I.I. Randeigenschaften analytischer Funktionen. — Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1956.).

3. Айзенберг JI.A. Формулы Карлемана в комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1990. 246с.

4. Partington R.J. Interpolation, Identification, and Sampling. — Clarendon Press, Oxford. 1997. — 267p.

5. Patil D.I. Representation of Hp functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. -78. N5. — P.617−620.

6. Виденский И. В., Гавурина E.M., Хавин В. П. Аналоги интерполяционной формулы Карлемана-Голузина-Крылова.// Теория операторов и теория функций, 1983, Вып. 1, С.21−31.

7. Крейн М. Г. Об одном обобщении исследований G. Szego, В. И. Смирнова и А. Н. Колмогорова//Докл. ЛИ СССР. 1945. — 46, N3. — С. 1378−1409.

8. Крейн М. Г. Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова // Там же. N8. -С 339−341.

9. Szego G. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Eben geh5ren //Malh. Z.- 1921.-9.-S. 218−247.

10. Szego G. Uber die Entwickelung einer analytischen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems //Math. Ann. 1921.-82.-S. 188−212.

11. Колмогоров A. H. Стационарные последовательности в гильбертовском пространстве// Бюлл. Моск. ун-та. Математика. 1941. — 2, вып.б. — С. 1 — 40.

12. Ахиезер Н. И. Об одном предложении А. Н. Колмогорова и об одном предложении М.Г. Крейна// Докл. АН СССР.- 1945; 50. N1. С. 35 — 39.

13. Тумаркин Г. Ц. Приближение в среднем функций на спрямляемых кривых // Мат. сб. -1957.-42.-С. 79- 128.

14. Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. — 384с. Nikolskii N.K. Treatise on the Shift Operator. Spectral Function Theory. -Springer-Verlag, Berlin, 1986).

15. McKean H. P. Some questions about Hardy functions // Lect. Notes Math. -N1043. 1984. — P. 85 — 86.

16. Никольский H. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1974. — 70. — С. 1 — 270.

17. Барт В. А., Хавин В. П. Теоремы Сеге-Колмгорова-Крейна о весовой тригонометрической аппроксимации и формулы карлемановского типа.// Укр.мат.журн., 1994, т.46, 1, С.100−127.

18. Барт В. А. Оценки норм операторов Карлемана-Голузина-Крылова в диск-алгебре и пространстве Харди Н1// ПМА, Выпуск 21, декабрь 2000 — С.45−67.

19. Натансон И. П. О приближении к многократно дифференцируемым периодическим функциям при помощи сингулярных интегралов//ДАН СССР, 1952, 82, N.2, С.337−339.

20. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977, 512с.

21. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984, 336с. (Koosis P. Introduction to Нр Spaces. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998.).

22. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966, 628с. Goluzin, G.M. Geometric theory of functions of a complex variable. — Providence, R.I.: American Mathematical Society. VI, 676 pp. (1969).).

23. Duren P. Theory of Hp Spaces. — New York, Academic Press, 1970.

24. Landau E. Darstellung und Begriindung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin, 1929.

25. Полиа Г., Cere Г. Задачи и теоремы из анализа, Ч. 1. М.: Наука, — 1978. -392с.

26. Хавинсон С. Я. Оценка сумм Тейлора ограниченных аналитических функций в круге. ДАН СССР, t. LXXX, е 3, 1951. — С. ЗЗЗ-ЗЗб.

27. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Наука, 1961 936с.Bari N.K. A Treatise on Trigonometric Series. Pergamon, NewYork, 1964.).

28. Харди Г. Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: Госиздатфизматлит, 1962. — 156с.

29. Carleman Т. Les fonctions quasianalytiques. Paris: Hermann, 1926. — 116p.

30. Koosis P. The Logarithmic Integral: In 2 Vol. Cambridge: Univ. press, 1988. -Vol. 1. — 616 p.

31. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.- Л.: Наука, 1964. — 438 с.

32. Барт В. А. Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы// Препринты ПОМИ, 10/2003, 35с.