Анализ переходных процессов токов и напряжений всех ветвей электрической цепи

1. Классический метод расчёта

2. Операторный метод расчёта

3. Воздействие гармонической ЭДС

4. Метод переменных состояния

5. Определение комплексной частотной характеристики

6. Определение временных характеристик цепи Заключение

Аннотация

Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации.

В данном курсовом проекте необходимо выполнить следующие расчёты: определить зависимости тока через индуктивность от времени при воздействии постоянной ЭДС классическим и операторным методами, найти зависимость тока через индуктивность от времени при воздействии гармонической ЭДС, получить график зависимости тока через индуктивность от времени численным методом, определить комплексную частотную характеристику и временные характеристики цепи.

1. Классический метод расчёта

Рисунок 1.

1. Анализ цепи до коммутации. Определяется значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации (ключ замкнут). В режиме постоянного тока сопротивление индуктивности равно нулю, а емкости — бесконечности. Тогда Здесь для нахождения мы составили уравнение закона напряжений Кирхгоффа.

2.Определение независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями являются ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени, которые определяются по первому и второму законам коммутации:

После подстановки получаем:

3. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации. После коммутации в цепи вновь установится режим постоянного тока. При этом ключ уже разомкнут. В этом случае ток в цепи не течет и

;

4. Определение свободной составляющей реакции цепи. Составляется характеристическое уравнение цепи после коммутации. Для этого записывается выражение входного сопротивления цепи относительно источника, причем в цепи емкость заменяется на эквивалентное сопротивление, а индуктивность заменяется на эквивалентное сопротивление. Затем это выражение приравнивается к нулю. Уравнение является характеристическим. В нашем случае характеристическое уравнение может быть определено как Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

Подставляя исходные данные и решая характеристическое уравнение, получаем корни:

Следовательно, свободная составляющая тока при двух комплексно-сопряженных корнях имеет вид

где

5. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи находится путем суммирования свободной и принужденной составляющих реакции цепи:

6. Определение постоянных интегрирования. Для определения постоянных интегрирования и записываются уравнения для свободной составляющей тока и ее первой производной при :

С учетом того, что найдем Для определения записываются уравнения Кирхгоффа для цепи в момент после коммутации, причем в цепи емкость заменяется источником напряжения, а индуктивность — источником тока. Напряжение на индуктивности равно :

(1)

(2)

(3)

Решая эту систему, получаем Подставив найденные величины в систему уравнений для определения постоянных интегрирования, получим:

Эта система имеет решение

7. Окончательная запись реакции цепи.

График зависимости тока представлен на рисунке 2:

Рисунок 2. График зависимости тока

2. Операторный метод расчета

1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия определяются аналогичным образом, как и в классическом методе:

2. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Поскольку цепь имеет ненулевые начальные условия, то с учетом внутренних источников ЭДС операторная схема замещения цепи после коммутации будет иметь вид представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 — Операторная схема замещения Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Для цепи рис. 3 можно составить систему уравнений Кирхгофа:

4. Решение уравнений Кирхгофа относительно изображений искомых токов и напряжений. Полученная система уравнений решается простой подстановкой, и решение имеет вид:

Операторное изображение напряжения может быть представлено в виде

5. Определение оригинала изображения искомого тока. Для этого найдем полюсы функции изображения Полюсы комплексно-сопряженные, поэтому общий вид функции во временной области где

— вычет в том полюсе, у которого мнимая часть имеет положительный знак. Вычеты определяются по общей формуле

.

В нашем случае поэтому Полученное выражение совпадает с результатом, полученным при решении классическим методом.

График зависимости тока представлен на рисунке 4:

Рисунок 4. График зависимости тока

3. Воздействие гармонической ЭДС

1. Анализ цепи до коммутации. Определяется значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации (ключ замкнут). Так как в цепи действует источник гармонического напряжения, то для анализа следует воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Для исходной схемы составляется комплексная схема замещения цепи (рисунок 5) и определяются ее параметры следующим образом:

Рисунок 5. Комплексная схема замещения

Подставляя численные значения, получаем:

Ом Для активных сопротивлений комплексная и действующая формы совпадают.

Определяем ток :

Далее запишем закон напряжений Кирхгофа для первого контура:

откуда с учетом получаем Зная значение тока, определяется комплексное амплитудное значение напряжения на емкости:

Значение напряжения на емкости к моменту коммутации будет соответственно равно Далее записываем уравнения Кирхгофа для второго контура Отсюда

Комплексное амплитудное значение тока через индуктивность до коммутации определяется как:

Значение тока к моменту коммутации:

Таким образом, определены значения тока в индуктивности и напряжения на емкости непосредственно перед коммутацией. Они составляют:

и

2. Определение независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями являются ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени, которые определяются согласно первому и второму законам коммутации:

Следовательно,

3. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Поскольку цепь имеет ненулевые начальные условия, то с учетом внутренних источников ЭДС операторная схема замещения цепи после коммутации будет иметь вид представленный на рисунке 6.

Рисунок 6 — Операторная схема замещения

3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Для цепи рис. 6 можно составить систему уравнений Кирхгофа:

В данном случае E (p) — изображение по Лапласу гармонического воздействия:

4. Решение уравнений Кирхгофа относительно изображений искомых токов и напряжений. Полученная система уравнений имеет решение

5. Определение оригинала изображения искомого тока проводим по методу, изложенному в п. 2. Искомый ток Можно сделать вывод, что вид свободной части реакции цепи совпадает с найденным ранее. Это связано с тем, что свободная составляющая не зависит от внешних воздействий и определяется только параметрами цепи.

График зависимости тока представлен на рисунке 7:

Рисунок 7. График зависимости тока

4. Метод переменных состояния Рисунок 8.

1) Составление системы дифференциальных уравнений цепи. Для составления системы дифференциальных уравнений записывается система уравнений цепи по Кирхгофу:

Учтем, что и :

2) Эта система просто разрешается относительно производных:

3) Запишем полученную систему уравнений для переменных состояния в матричной форме:

Т.е ,

где Таким образом, На данном этапе можно проконтролировать правильность действий. Для этого найдем собственные числа матрицы А:

Видно, что найденные собственные числа совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.

4) Численный метод решения Решим численно матричное уравнение .

Начальные условия и найдены в пункте 1. Итак, Зададим начальные значения в виде вектора Формализованная матричная запись уравнений состояния:

Задаём конечное значение интервала интегрирования:

Задаём число точек интегрирования:

Обращаемся к программе интегрирования:

Матрица y имеет три столбца, пронумерованные от нуля до двух. Первый из них содержит значения времени, второй —, третий — .

7. Строим график переменных состояния, который представлен на рисунке 9, 10.

индуктивность ток коммутация Рисунок 9

Рисунок 10

5) Аналитическое решение Для аналитического решения уравнений состояния нам понадобятся найденные выше собственные числа матрицы коэффициентов A. Это комплексно-сопряженные числа, и по ним мы можем определить общий вид свободной составляющей переменных состояния:

где .

Общий вид решения Принужденная составляющая может быть найдена непосредственным решением уравнения, если принять во внимание, что при постоянных воздействиях вынужденная составляющая реакции тоже постоянна, и поэтому производные в левой части системы уравнений состояния будут равны нулю:

.

Отсюда. Решая это уравнение, получаем

что соответствует результатам, найденным в пункте 1.

Независимые начальные условия были найдены также в пункте 1:

.

Теперь необходимо найти начальные значения производных переменных состояния. Их можно определить непосредственно по уравнениям состояния при t=0⁺:

С другой стороны,. Решая систему уравнений относительно постоянных интегрирования A и ц

получаем .

Итак, искомые переменные состояния:

Графики этих величин можно увидеть на рисунках 9 и 10

5. Определение комплексной частотной характеристики Для нахождения операторной функции передачи цепи составим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях (рисунок 11).

Рисунок 11. Операторная схема замещения цепи По определению:

Подставив в полученное выражение значения R, L, C окончательно получаем:

Отсюда находят комплексную передаточную проводимость:

Представив полученную комплексную передаточную проводимость в показательной форме находят:

отсюда: АЧХ цепи -;

ФЧХ цепи -;

.

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рисунке 12 и рисунке 13.

Рисунок 12 — График зависимости АЧХ комплексного входного сопротивления Рисунок 13 — График зависимости ФЧХ комплексного входного сопротивления

6. Определение временных характеристик цепи В предыдущем примере была найдена передаточная проводимость цепи:

используя которую находят переходную характеристику цепи:

где .

Оригинал функции уже был найден нами в пункте 2.

Поэтому сразу запишем вид g (t):

График переходной характеристики приведен на рисунке 14

Рисунок 14. График переходной характеристики цепи

Импульсная характеристика цепи может быть определена, как

.

Полюса знаменателя функции Y (p) находились нами неоднократно:

Общий вид решения, отвечающий комплексно-сопряженным корням Определим k₁ — вычет в точке p₁:

Отсюда График импульсной характеристики приведен на рис. 15.

Рисунок 15 — Импульсная характеристика цепи

Заключение

В соответствии с заданием были выполнены следующие расчёты: определение зависимости тока через индуктивность от времени при воздействии постоянной ЭДС классическим и операторным методами, была найдена зависимость тока через индуктивность от времени при воздействии гармонической ЭДС, получены зависимости тока через индуктивность от времени путем решения уравнений состояния системы как численным методом с использованием алгоритма Рунге-Кутта, так и аналитически; были определены комплексная частотная характеристика и временные характеристики цепи.

При воздействии постоянной ЭДС (классический метод):

При воздействии постоянной ЭДС (операторный метод):

При воздействии гармонической ЭДС:

АЧХ цепи:

ФЧХ цепи: .

Переходная характеристика:

Импульсная характеристика цепи:

1. Попов В. П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов.- 3-е изд., испр.

— М.: Высш. шк., 2000. — 575 с.

2. Меренков М. Б. Основы теории цепей. Методические указания к курсовому проектированию: Учебное пособие/ Под ред. В. И. Неволина — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004.— 71 с.

3. Калугин Ю. Е., Меренков М. Б. Основы теории цепей: Учебное пособие.

— Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001. — 166с.

4. Стандарт предприятия. Курсовые и дипломные проекты. Общие требования к оформлению.