Мультифрактальный анализ динамики нелинейных систем

Теория фракталов и мультифракталов в настоящее время широко используется для описания свойств самоподобия и сложного скейлинга, наблюдаемых в самых разных физических ситуациях [1−15]. Мультифрактальный подход изначально был предложен для статистического анализа особенностей скейлинга сингулярных мер [16−21] и с успехом применялся в разных областях науки — при изучении агрегационных свойств клеточных элементов крови в биологии и диффузионного роста кластеров, для характеристики разрушения материалов в физике металлов, в теории развитой гидродинамической турбулентности, при исследовании несоразмерных структур и квазикристаллов в физике твердого тела, для анализа структуры молекул ДНК, в задачах об одномерных случайных блужданиях и при исследовании броуновского движения, для описания инвариантной вероятностной меры странных аттракторов и т. д. [4,18,22−34]. Самые разные объекты природы могут быть отнесены к специальному классу «мультифракталов», и, пожалуй, довольно сложно найти область науки, где бы мы не встретились с представителями этого класса [35].

К числу фракталов относят геометрические объекты (линии, поверхности, пространственные тела), которые имеют сильно изрезанную форму и демонстрируют некоторую повторяемость в широком диапазоне масштабов [36]. Повторяемость может быть полной (в этом случае говорят о регулярных фракталах), либо может наблюдаться некоторый элемент случайности (такие фракталы называют случайными). Структура случайных фракталов на малых масштабах не является точно идентичной всему объекту, но их статистические характеристики совпадают.

Для количественного описания фракталов достаточно одной величиныфрактальной размерности или параметра, описывающего сохраняемость статистических характеристик при изменении масштаба. Мультифракталы — это более сложные объекты, для полного описания которых требуется не одна, а целый спектр фрактальных размерностей (возможно даже бесконечный). Фактически, мультифрактальный подход означает, что изучаемый объект каким-то образом можно разделить на вложенные фрагменты (подмножества), для каждого из которых наблюдаются свои свойства самоподобия [37].

Количественное описание мультифракталов осуществляется в терминах «спектра сингулярностей» f (a). Смысл этой функции состоит в следующем [38−40]. Предположим, что задана мера /х на некотором множестве, например, задано распределение заряда или массы. Если это множество покрывать сферами радиуса б, то мера, попадающая в каждую такую сферу, зависит от радиуса по степенному закону вида:

МО — (1) где ai — называется «экспонентой сингулярности», а индекс г означает номер элемента покрытия. Экспонента сингулярности в точке Хо имеет вид где ВХо (е) — сфера радиуса е с центром в точке хо. Чем меньше значение at, тем более сингулярной является мера /ij. Предел ai = 0 соответствует распределению меры, подобному функции Дирака, и означает, что заряд или масса распределены не равномерно, а сосредоточены вблизи одной точки [41, 42]. Спектр сингулярностей f{a) характеризует зависимость числа элементов покрытия Na (для которых ai равно некоторому конкретному значению а) от величины с.

По смыслу величина / соответствует размерности Хаусдорфа. В случае равномерного распределения меры на фрактальном множестве (классическим примером является Канторово множество) ai = а = const, и спектр сингулярностей представляет собой единственную точку на плоскости (о-,/). При неравномерном распределении меры функция f (a) имеет более сложный («колоколообразный») вид.

Вышесказанное можно проиллюстрировать на примере Канторова множества. Процедура его построения состоит в следующем: отрезок [0,1] делится на 3 равные части, после чего средняя часть выбрасывается. Затем те же операции проводятся с двумя оставшимися частями и т. д. На некотором шаге п данной процедуры мы получим 2П равных отрезков, каждый длиной 3-п.

Предположим теперь, что на Канторовом множестве задано равномерное распределение меры ц (например, массы), и для покрытия множества рассма.

3) триваются 2П элементов (окружностей) размера е = 3~п. Мера, попадающая в каждый из этих элементов, будет равна fi (Bxi (б)) = 2-п, где через Bxi{e) обозначена окружность с центром в точке Х{ и диаметром е. Согласно формуле (1), экспонента сингулярности с^, определяемая наклоном зависимости Inn (.Bxi (e)) от In б, принимает значение а.{ = 1п2/1пЗ. (В пределе е —> 0 это значение экспоненты соответствует каждой точке Канторова множества). В рассматриваемом примере размерность Хаусдорфа йн = ol = In 2/In 3, а спектр сингулярностей f (a) состоит из одной точки (/(а) = da = а) [43].

Если мера распределена неравномерно, спектр сингулярностей усложняется. Для иллюстрации проанализируем случай биномиального распределения [38]: предположим, что отрезок [0,1] вновь делится на 3 равные частисредняя часть выбрасывается, но теперь мы приписываем разные весовые коэффициенты pi и р2 = (1 — р) ф Pi двум оставшимся интервалам [0,1/3] и [2/3,1]. Если вначале (п = 0) мы примем для всего интервала [0,1] цо = 1, то на первом шаге процедуры построения Канторова множества двум отрезкам соответствуют меры /хi = pi^o и //2 = (1 — Pi) НоПри последующих шагах будем использовать те же самые весовые коэффициенты р и р2, осуществляя деление на части каждого из отрезков.

Покрывая полученное фрактальное множество окружностями радиуса б = 3″ п, рассмотрим крайний левый и крайний правый отрезки. Для первого из них (содержащего точку хо = 0) мера, попадающая в окружность В о диаметра б, равна ц{Во) = Pifio = Pi — Поэтому, согласно (2), а (0) = пр/ 1п (1/3). Аналогично, для крайнего правого отрезка, содержащего точку хо — 1, можно записать а (1) = 1пр2/ 1п (1/3). Поскольку изначально р ^ р2, то и а (0) Ф а (1) — Соответственно, спектр сингулярностей f (a) уже не будет состоять только из одной точки.

На практике, вычислить функцию f{cx) на основе формулы (3) весьма проблематично из-за очень медленной сходимости при е —" 0. Кроме того, значения оцениваемых характеристик могут заметно варьироваться для разных выбранных точек. Поэтому в теории мультифракталов предпочитают использовать специальный подход, основанный на расчете обобщенных фрактальных размерностей как «глобальных» характеристик, зная которые, можно вычислить спектр сингулярностей /(<*).

В рамках данного подхода вводятся в рассмотрение так называемые «частичные функции» (или «обобщенные статистические суммы») [43−45]:

N (e).

Z (?(e)' (4) г=1 где N (e) — число элементов покрытия фрактального множества (например, сфер), fa — мера, попадающая в сферу с номером г, q Е R. Обычно наблюдается степенная зависимость Z (q, е) от размера элемента покрытия:

Z (q, e) (5) где значения r (q) называются скейлинговыми экспонентамиони связаны с обобщенными фрактальными размерностями следующим образом [41]:

Я (9−1) [>

Для простых фракталов (монофракталов) Dq = const, для мультифракталь-ных объектов Dq меняется с ростом q (рис. 1).

Рис. 1. Скейлинговые экспоненты и обобщенные фрактальные размерности монофрактального объекта (пунктир) и мультифрактала (сплошная линия).

Метод расчета спектра сингулярностей на основе скейлинговых экспонент r (q) является более устойчивым и надежным чем по определению (3). Для нахождения функций f (a) можно воспользоваться преобразованием Лежан-дра: f (a) = qa — r (q) (7).

В последней формуле, а = drjdq, то есть знание спектра скейлинговых экспонент позволяет сразу же определить искомую функцию f (a). Мультифрактальный анализ часто называют «мультифрактальным формализмом», подразумевая подход, в рамках которого спектр сингулярностей /(а) рассматривается как преобразование Лежандра спектра r (q). Как отмечено в работах [17,18,46], существует глубокая аналогия между мультифрактальным формализмом и статистической термодинамикой. Переменные q и r{q) играют ту же роль, что и величина, обратная температуре, и свободная энергия в термодинамике, а преобразование Лежандра указывает на то, что вместо энергии и энтропии рассматриваются, а и f (a) [47,48]. Ряд строгих математических результатов, относящихся к мультифрактальному формализму, был получен в рамках теории динамических систем. В последние годы данный подход приобретает большую популярность в различных экспериментальных исследованиях.

Необходимо отметить, что фракталы в природе существуют не только в виде сингулярных мер, но и как сингулярные функции, и для многих практических целей (в частности, в задачах анализа сигналов) наибольшую ценность представляет именно наличие строгого математического подхода к анализу мультискейлинговой структуры процессов различной природы [49]. Очень многие сигналы, которые приходится анализировать на практике, могут быть рассмотрены в качестве представителей специального класса «мультифрак-тальных процессов» [19,50−55]. Если простые (или монофрактальные) сигналы (например, 1//-шум) являются однородными в том смысле, что их скейлинговые свойства остаются неизменными в любом частотном диапазоне, то мультифрактальные процессы допускают разложение на подмножества (участки) с различными локальными свойствами скейлинга [56]. Соответственно, для количественного описания данных объектов требуется большое число характеристик.

Было предпринято несколько попыток обобщить концепцию мультифрак-талов на случай функциональных зависимостей (сигналов). В 1985 году в работе [54] для статистического анализа сингулярностей был предложен метод структурных функций, который на протяжении последних лет достаточно часто использовался разными исследователями (возможно наиболее широкое распространение метод структурных функций приобрел в задачах исследования сильно развитой турбулентности). В 1991 году в работе группы Арнеодо [44] был предложен более совершенный метод «модулей максимумов вейвлет-преобразования'^ММВП)1, имеющий ряд существенных преимуществ (исследование более широкого класса сингулярностей — не только самих сигналов, но и их производныхменьшая погрешность вычисления и т. д.). Техника ММВП на сегодняшний день является наиболее эффективным методом статистического анализа сингулярностей и может успешно применяться при исследованиях структуры сильно неоднородных (нестационарных) про.

1 В зарубежной литературе используется сокращение WTMM («wavelet trnsform modulus maxima») цессов различной природы.

Метод ММВП базируется на вейвлет-анализе, который называют математическим «микроскопом» из-за способности сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Привлекательность данного подхода состоит в том, что с его помощью можно анализировать как сингулярные меры, так и сингулярные функциикроме того, он является более универсальным аппаратом для исследования мультискейлинговых свойств объектов по сравнению с ранее разработанными алгоритмами, например, методом структурных функций [57].

Метод ММВП часто интерпретируют как обобщение классических методов покрытия множества сферами, кубиками и т. п. с той лишь разницей, что вместо вышеупомянутых элементов покрытия используются вейвлеты. Поскольку базисные функции вейвлет-преобразования являются хорошо локализованными (солитоноподобными), они представляют собой эффективный математический аппарат для анализа принципиально неоднородных (нестационарных) процессов. Детали метода ММВП обсуждаются в первой главе настоящей работы. Отметим, что переход от изучения сингулярных мер к сингулярным функциям (или сигналам) сопровождается сменой используемых обозначений: вместо спектра сингулярностей /(су) рассматривается функция D (h), имеющая приблизительно тот же смысл, где h называют экс-понентой Хелдера или локальной экспонентой Херста (по смыслу она аналогична a), a D (ho) представляет собой фрактальную размерность подмножества анализируемых данных, которое характеризуется локальной экспонентой ho.

Математическое определение экспоненты Херста Н звучит следующим образом [38]: Если д (х) есть функция, инвариантная по отношению к аффинным преобразованиям, то Ухо € R, 3Н е R такое, что VA > 0:

Если д представляет собой случайный процесс, равенство будет выполняться только при фиксированных значениях Л и xq. В случае Н < 1 функция д{х) является не дифференцируемой и, по аналогии с экспонентой сингулярности а, чем меньше Я, тем более сингулярна д{х).

При исследовании мультифрактальных объектов локальные скейлинговые свойства отличаются для разных подмножеств анализируемых данных, поэтому говорят о локальных экспонентах Херста (экспонентах Хелдера) h{xо), которые вводятся путем незначительного изменения определения Н (8): и характеризуют локальное сингулярное поведение объекта исследования. Как отмечается в [56], мультифрактальный подход для сигналов потенциально способен характеризовать широкий класс процессов, являющихся более сложными по сравнению с процессами, для описания которых достаточно одного числа (единственного значения фрактальной размерности либо одной скейлинговой характеристики, описывающей, например, частотную зависимость спектральной плотности мощности).

Базирующийся на вейвлет-преобразовании мультифрактальный анализ можно интерпретировать как новый взгляд на проблему исследования структуры сигналов. В задачах статистической радиофизики традиционно больд (хоЬ Хх) — д (х0) ~ н{д (х0 + х) — д (х0)).

8) д (х оhi) — д (х0) Clh.

9) шое внимание уделяется спектрально-корреляционному анализу. Однако классические методы расчета корреляционных функций или спектра мощности применимы лишь в случае стационарных процессов и требуют большой длительности сигналов для получения надежных оценок закона спада корреляций или частотной зависимости функции спектральной плотности. В отличие от классических подходов, метод ММВП позволяет проводить корреляционный анализ по коротким и нестационарным сигналам, что позволяет рассматривать данный метод в качестве инструмента исследования структуры реальных процессов, полученных в экспериментах. Причем этот инструмент является достаточно универсальным и может применяться вне зависимости от свойства стационарности или природы сигналас его помощью могут с равным успехом анализироваться как процессы, регистрируемые в радиофизических экспериментах, так и медико-биологические данные (представляющие пожалуй, пример наиболее сложных по своей структуре сигналов).

Актуальность работы определяется важностью проблемы выявления потенциальных возможностей и существующих ограничений метода муль-тифрактального анализа при решении задачи анализа структуры сигналов нелинейных систем. Базирующийся на вейвлет-преобразовании мультифрак-тальный анализ является новым, очень перспективным инструментом исследования структуры неоднородных и нестационарных процессов. Потребовалось менее 10 лет, чтобы данный подход (метод максимумов модулей вейвлет-преобразования) завоевал мировое признание и стал одним из популярных методов анализа нестационарных данных. После публикации в 1999 году в журнале «Nature» работы по мультифрактальному описанию сердечного ритма [56] и серии статей в журналах «Physical Review Letters» и «Physica А» [58−62] мультифрактальный анализ стал широко применяться для обработки медико-биологических процессов. За последние несколько лет наличие муль-тифрактальной структуры было обнаружено и численно охарактеризовано в динамике очень многих систем различной природы. Некоторые исследователи считают [57], что метод ММВП является, возможно, наиболее мощным в настоящее время инструментом статистического описания неоднородных и нестационарных процессов сложной структуры. Однако, несмотря на значительное число публикаций в ведущих международных журналах, возможности техники мультифрактального анализа на сегодняшний день детально не исследованы. Как правило, большинство известных работ ограничивается констатацией факта наличия мультискейлинговой структуры в той или иной ситуации и расчетами спектра сингулярностей. Лишь по отдельным научным направлениям были проведены более глубокие исследования (например, мультифрактальный анализ явления сильно развитой турбулентности) либо получен ряд строгих теоретических результатов (в рамках теории динамических систем). Известные в настоящее время научные работы зачастую рассматривают либо очень простые примеры мультифракталов (где возможно проведение строгого математического анализа, т. е. получение аналитических результатов), либо очень сложные (сильно нестационарные и неоднородные процессы, такие как сердечный ритм). В последнем случае проведение исследований возможно только численно (на компьютере), но в силу сложности сигналов и отсутствия а-приорной информации о режиме динамике анализируемой системы нельзя проконтролировать достоверность результатов и оцеI нить погрешность вычисления характеристик мультифрактального анализа. С этой точки зрения, для выявления возможностей и ограничений данного метода представляется целесообразным проведение мультифрактального анализа хаотической и стохастической динамики нелинейных систем, т. е. исследование моделей нелинейной теории колебаний, при котором характерные изменения спектра сингулярностей можно сопоставить с какими-то изменениями режима динамики рассматриваемых нелинейных систем. Поскольку многие процессы в природе относятся к классу «мультифракталов», то есть мультифрактальность можно рассматривать как достаточно общее явление, исследование этого явления и возможность его количественного описания представляет интерес уже само по себе. Кроме того, такое исследование имеет и практическую ценность с точки зрения изучения возможностей нового инструмента анализа структуры сигналов, применимого при решении очень широкого круга задач. К настоящему времени, за редким исключением, практически не исследованы эффекты потери мультифрактальности (переходы от мультик монофрактальной структуре). Мало изучено влияние флуктуаций в нелинейных системах со сложной динамикой иа скейлинговые характеристики режимов колебаний (в этом направлении можно, пожалуй, отметить лишь работу по мультифрактальному описанию явления стохастического резонанса [63]). Не исследованы изменения скейлинговых характеристик при синхронизации хаоса в динамике связанных автоколебательных систем. Хотя наличие сложного скейлинга в процессах медико-биологического происхождения было установлено, остается открытым вопрос о том, как различные воздействия на живые системы и изменение привычных условий функционирования влияют на особенности мультискейлинговой структуры их процессов. В целях ответа на эти и ряд других вопросов в рамках настоящей диссертационной работы предполагается сочетание исследования модельных систем с обработкой экспериментальных данных. На сравнительно простых моделях теории нелинейных колебаний планируется выявлять эффекты изменения структуры сигналов. С помощью экспериментальных данных предполагается анализировать, насколько те или иные эффекты, наблюдаемые в модельных системах, типичны на практике.

Цель диссертационной работы заключается в выявлении возможностей и ограничений мультифрактального анализа при исследовании неоднородных процессов, изучении особенностей мультифрактального описания хаотической и стохастической динамики нелинейных систем, включая эффекты потери мультифрактальности, а также в применении техники мультифрактального анализа в исследованиях сложных режимов колебаний биологических систем.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Определить возможности и ограничения метода мультифрактального анализа, основанного на вейвлет-преобразовании, при исследовании структуры процессов, содержащих несколько различных типов сингулярного поведения.

2. Выявить типичные изменения мультифрактальной динамики взаимодействующих автоколебательных систем, функционирующих в режиме динамического хаоса, к которым приводит эффект фазовой синхронизации.

3. Изучить особенности мультифрактального описания сложных режимов колебаний биологических систем и определить типичные изменения мульти-фрактальной динамики сердечного ритма, обусловленные стрессорным воздействием.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Фазовая синхронизация хаоса в динамике связанных автоколебательных систем сопровождается изменениями структуры последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, включающими:

• уменьшение степени мультифрактальности (вплоть до перехода к монофрактальной динамике);

• уменьшение Хелдеровских экспонент, характеризующее усиление антикорреляций;

• устранение различий между спектрами сингулярностей режимов динамики каждой системы.

Указанные изменения проявляются одновременно или в различных сочетаниях в динамике систем с несколькими характерными временными масштабами.

2. Обусловленные стрессорным воздействием изменения динамики сердечно-сосудистой системы могут рассматриваться как эффект уменьшения (потери) мультифрактальности и/или уменьшения корреляций в структуре последовательностей временных интервалов между сердечными сокращениями. Спектр сингулярностей мультифрактального анализа может служить индикатором отклика организма на внешнее воздействие, применимым в условиях сильно нестационарной динамики.

Достоверность научных выводов работы подтверждается использованием алгоритмов численного моделирования стохастической динамики, базирующихся на классических результатах теории случайных процессов, соответствием результатов, полученных разными методами, а также их воспроизводимостью. Результаты численных и экспериментальных исследований соответствуют теоретическим предпосылкам и результатам исследований, проводимых по смежным задачам.

Научная новизна работы состоит в следующем:

— Выявлены ограничения техники мультифрактального анализа при исследовании неоднородных процессов. Показано, что различные типы сингулярностей, присутствующие в анализируемом сигнале, могут быть идентифицированы, если они относятся к разным масштабам наблюдения.

— Впервые показано, что фазовая синхронизация хаоса может быть рассмотрена как эффект потери мультифрактальности в структуре последовательностей времен возврата в секущую плоскость. Сформулированы общие закономерности мультифрактального описания синхронизации хаоса в динамике систем с одним и несколькими временными масштабами.

— Впервые показано, что стрессорное воздействие на организм может приводить к потере мультифрактальности в динамике сердечно-сосудистой системы. Выявлены типичные изменения корреляций в последовательностях временных интервалов между сердечными сокращениями.

Научно — практическое значение результатов работы.

— 201. Результаты, полученные в рамках настоящей работы, свидетельствуют о том, что мультифрактальный анализ представляет собой эффективный инструмент исследования, который может быть полезен при выявлении особенностей структуры сложных режимов колебаний в задачах нелинейной динамики и теории случайных процессов.

2. Рассмотренный ранее эффект потери мультифрактальности в режиме стохастической синхронизации переключений бистабильной системы обобщен на случай фазовой синхронизации хаотической динамики взаимодействующих автоколебательных систем.

3. Результаты по мультифрактальному описанию динамики артериального кровяного давления позволяют предложить количественный критерий отклика организма на внешнее воздействие. В отличие от классических методов анализа, данный критерий применим в условиях сильной нестационарности режимов колебаний в динамике биологических систем.

4. Результаты, полученные при рассмотрении различных моделей, могут быть использованы в учебном процессе. Часть результатов работы уже используется при чтении лекций студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета в рамках спецкурса «Анализ временных рядов.» .

Апробация работы и публикации.

Основные материалы диссертации были доложены на следующих научных конференциях: «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), международной школе-конференции «Chaos» (Саратов, 2001), Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков.

Санкт-Петербург, 2001), конференциях «Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations (SYNCHRO-2002)» (Саратов, 2002), «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003» (Саратов, 2003), «Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics» (Сан-Хосе, США, 2004).

Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, рабочей группы нелинейной динамики Гумбольдтского университета (под руководством проф. В. Эбелинга), рабочей группы «Хаос» Датского технического университета (под руководством проф. Э. Мозекильде).

По теме диссертации опубликовано и принято к печати 12 работ в центральной и зарубежной печати (7 статей и 5 тезисов докладов), которые включены в общий список литературы под номерами [108−119].

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка цитированной литературы. В ней содержится 83 страницы текста, 40 рисунков, библиография из 120 наименований на 16 страницах. Общий объем диссертации 139 страниц.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Выявлены возможности и ограничения техники мультифрактального анализа при исследовании сигналов, содержащих несколько различных типов сингулярностей. Установлено, что метод максимумов модулей вейвлет-преобразования позволяет с высокой точностью идентифицировать особенности, относящиеся к разным масштабам наблюдения (случай, когда на одних масштабах проявляется один тип сингулярного поведения, на других другой). Если различия в масштабах незначительны, то вычисляемые Хелдеровские экспоненты представляют собой усредненные характеристики локального сингулярного поведения.

2. Установлено, что синхронизация хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем может представлять собой эффект потери мультифрактальности в структуре последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре. Фазовая синхронизация сопровождается значительными изменениями структуры указанных последовательностей, наиболее типичными из которых являются: а) уменьшение степени мультифрактальности (ширины спектра сингулярностей) — б) уменьшение «гладкости» последовательностей времен возврата, то есть изменение корреляционных свойствв) сближение спектров сингулярностей, характеризующих мультифрак-тальную динамику взаимодействующих подсистем.

При взаимодействии подсистем с несколькими характерными временными масштабами наблюдается одновременное проявление всех указанных изменений (случай сильной связи) или любое их сочетание (при слабой связи). На примере динамики парных нефронов почек продемонстрировано сходство эффектов, наблюдаемых при синхронизации хаоса в моделях и в биологических экспериментах.

3. Рассмотрено применение техники мультифрактального формализма к процессам биологического происхождения (сигналам артериального кровяного давления крыс). Установлено, что стрессорное воздействие может привести к потери мультифрактальности в динамике сердечнососудистой системы. Обнаружено, что самцы крыс демонстрируют более сильные изменения спектра сингулярностей при стрессе по сравнению с самками. Эти изменения состоят в уменьшении ширины функции D (h) и уменьшении Хелдеровских экспонент. Полученные результаты свидетельствуют о том, что мультифрактальный формализм может рассматриваться в качестве индикатора отклика организма на стрессорное воздействие, применимого в условиях сильно нестационарной и неоднородной динамики.

Заключение

.