Моделирование равновесных свойств квантовых систем методом Монте-Карло в расширенных ансамблях

В далёком 1965 году, на заре компьютерной эры, Гордон Мур, впоследствии один из основателей корпорации Intel, обратил внимание на интересную закономерность в развитии компьютеров. Он заметил, что новые модели микросхем разрабатывались спустя более или менее одинаковые периоды после появления их предшественников, а ёмкость их при этом возрастала каждый раз примерно вдвое. Если такая тенденция продолжится, заключил Мур, то мощность вычислительных устройств со временем будет экспоненциально возрастать. Данная закономерность известна как закон Мура и оказывается справедливой и по сей день. Столь стремительный рост мощностей вычислительных систем открывает поистине фантастические возможности для компьютерного моделирования и численных эскпериментов, зарекомендовавших себя как один из верных способов решения задач из всех областей знаний.

Одним из наиболее мощных, но зачастую требовательных к ресурсам, стохастических методов является метод Монте-Карло. Идея использовать случайные явления в области приближённых вычислений возникла ещё в XIX веке, когда появилась работа Холла об определении числа 7 г путём бросания иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Однако, годом рождения метода Монте-Карло принято считать 1949;й, когда вышла статья Метрополиса и Улама [1], содержащая основания и общее описание статистического подхода к решению интегральных и диффренциальных уравнений, возникающих в различных областях естественных наук.

Ранние методы квантового моделирования были направлены на решение уравнения Шредингера или уравнения Блоха. Они включают в себя такие методы, как метод Хартри-Фока, метод функционала плотности, диффузионный метод Монте-Карло и другие. Однако все эти методы позволяют найти лишь волновые функции чистых состояний, обычно основного, и не дают возможности получить теромодинамику квантовой системы при конечной температуре. Основанный на Фейнмановской трактовке квантовой механики [2, 3] метод Монте-Карло интегралов по траекториям позволяет решить эту проблему путем сведения статистической суммы квантовой системы к статистической сумме чисто классической системы. Используя групповое свойство, матрицу плотности можно представить в виде произведения высокотемпературных матриц плотности, для которых уже возможно использовать различные высокотемпературные приближения. В результате, в простейшем случае метода вершин квантовая частица представляется в виде траектории — замкнутого «полимера» с гармоническими связями между вершинами. Существенная положительная особенность данного подхода заключается в том, что здесь без каких-либо приближений полностью учитываются все межчастичные взаимодействия, и как следствие все корреляции.

Первым, кто использовал метод Монте-Карло для численного вычисления статистической суммы квантовой системы был Фосдик [4]. В его работе статистическая сумма записана в терминах интеграла Винера, который выражается через n-кратный интеграл Римана, который, в свою очередь, вычисляется методом Монте-Карло. Фосдик демонстрирует свой подход на двумерной системе двух тождественных взаимодействующих частиц в ящике и даже выписывает выражения для системы трёх частиц. Но в следующих работах [5, 6] он делает основной упор на использовании интегралов по траекториям для расчёта двухчастичной слэтеровской суммы в Не4 при низких температурах. Следующей в середине 70-х годов была серия работ группы Нормана и Филинова по плазме и ферми-системам [7, 8, 9, 10]. Фактически они первые ввели понятие метода вершин. Чуть позже, в 1979 году, Баркер [11] в рамках метода вершин провёл расчёт для энергии и функции распределения систем одной и двух различимых частиц в ящике. Эти авторы считаются основоположниками метода Монте-Карло интегралов по траекториям.

Существует большое число результативных исследований с использованием метода Монте-Карло интегралов по траекториям [12, 13], но, к сожалению на данный момент указанный метод успешно применялся лишь для ферми-систем с малым числом степеней свободы или для систем, удовлетворяющих статистике Бозе. Это связано с тем, что для ферми-частиц волновая функция, а равно и матрица плотности меняет знак (антисимметрична) при перестановке любых двух частиц. Это приводит к тому, что веса траекторий оказываются знакопеременными и не могут быть непосредственно интерпретированы как вероятности. Более того, при понижении температуры разность положительных и отрицательных вкладов в статистической сумме и в выражениях для средних экспоненциально уменьшается и становится трудно различимой на фоне статистического шума. Указанная проблема известна как проблема знака [14].

Проблема знакопеременности веса решалась путем перехода к усреднению по положительной весовой функции, в простейшем случае — по абсолютному значению [15, 16]: но проблема знака всё равно оставалась, выражаясь в стремлении (sgn (W)) + к drOW =.

JdrOsgn (W) W fdrW (Osgn (MQ) /rfrsgnCW)!^! ' fdTW~ (sgn (H0)4.

1) нулю.

Одна из первых попыток использовать метод Монте-Карло интегралов, но траекториям для исследования термодинамических свойств систем тождественных частиц принадлежит Такахаши и Имаде [17, 18, 19]. Они предложили в методе вершин симметризовать (антисимметризовать) каждую высокотемпер-татурную матрицу плотности в разложении, таким образом на каждом шаге мнимого времени происходит учёт всех перестановок частиц. В качестве вероятности в методе существенной выборки Такахаши и Имада использовали абсолютное значние веса траектории, а учёт знаков производили при накоплении канонических средних. Данный подход, в силу геометрических особенностей конфигурационного пространства, позволил даже решить проблему знака в одномерном случае, но для систем с большей размерностью он оказался малоэффективен.

Через некоторое время, Холл [20, 21, 22, 23] предлагает ввести проекционный оператор, который исключает из рассмотрения траектории с весом меньше ошибки конечномерного приближения. Подход позволяет заметно уменьшить дисперсию ошибки вычислений методом Монте-Карло, но поскольку поверхности в фазовом пространстве, на которых веса траекторий равны пулю, неизвестны, приходится использовать приближенную проекцию.

Ныоман и Куки в 1992 году [24] разработали метод для ослаблания проблемы знака в системе двух фермионов, в котором на каждом МК-шаге усредняется несколько эквивалентных траекторий, полученных путём вращения исходной. Данный подход является численно-точным, но сформулировать его для большего числа частиц пока не удалось.

В это же время Цеперли предпринял попытку решить проблему знака, введя так называемый «метод интегралов по траекториям с ограничениями» [25, 26], идея которого отчасти перекликается с идеями Холла. Суть подхода заключается в исключении из усреднения отрицательных слагаемых статистической суммы путем ограничения области интегрирования. Этот метод действительно снимает проблему знака, но поверхности, ограничивающие область интегрирования, известны лишь приблизительно, они становятся крайне сложными в случае многочастичных систем с сильным взаимодействием, и правомочность такого ограничения оказывается спорной. Кроме того, как было показано Фи-линовым [27], данный метод приводит к неправильному поведению при низких температурах простой системы, имеющей аналитическое решение.

Интересная схема была предложена Маком [28, 29]. Она представляет собой рекурсивную процедуру систематического сокращения знаков путем группирования вершин в блоки. Ограничением данного подхода является необходимость хранить в памяти большое количество конфигураций блоков.

Следует также упомянуть работы других авторов: Карлсона и Калоса [30], предложивших концепцию зеркальных потенциалов, Коржениовского и др. [31], указавших на возможность использования метода Фейнмана-Каца для получения основного состояния многочастичных систем, Жанга [32], исследовавшего ферми-системы при конечных температурах в большом каноническом ансамбле, Корнея и Драммонда [33, 34], записавших гауссовы представления для ферми систем в фазовом пространстве и ряд других [35, 36, 37, 38].

Уже было отмечено, что метод Монте-Карло интегралов по траекториям позволяет перейти от квантовой к формально классической системе. Это открывает возможность использовать всю совокупность классических методов моделирования для решения квантовых задач.

В настоящей работе рассматривается использование методов Монте-Карло в расширенных ансамблях для моделирования равновесных свойств квантовых систем в рамках формализма интегралов, но траекториям. Предлагаемый в работе способ ослабления проблемы знаков основан на точном вычислении отношений вкладов в статистическую сумму системы тождественных частиц.

Диссертационная работа построена следующим образом. В первой главе выписывается общее выражение для статистической суммы системы тождественных частиц и подробно излагаются лежащие в основе подхода методы и алгоритмы. Вторая глава посвящена применению метода расширенных ансамблей с настройкой весов по алгоритму Ванга — Ландау для моделирования равновесных свойств малых квантовых систем. Подход аппробирован на системах двух и трёх невзаимодействующих фермионов в гармоническом поле и применён к системам с кулоновским отталкиванием двух и трёх фермионов в гармоническом поле и двух фермионов в кулоновском поле притяжения. В третьей главе предложено обобщение данного подхода на случай многочастичных систем. Подход аппробируется на системе пяти невзаимодействующих фермионов в гармоническом поле и применяется к системам пяти, шести и семи фермионов с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Четвёртая глава посвящена применению метода плотности состояний для моделирования квантовых систем без учёта обмена. Этим методом проведены расчёты для системы двух фермионов с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле и даны сравнения с результатами из второй главы.

Заключение

.

В работе предлагается подход к изучению квантовых систем, основанный на сочитании метода интегралов по траекториям и метода Монте-Карло в расширенном ансамбле с настройкой весов по алгоритму Ванга — Ландау.

Тестовые расчёты для систем из двух и трёх тождественных невзаимодействующих частиц в гармоническом внешнем поле и сравнение полученных результатов с точными и конечномерными значениями показало хорошее согласие машинно-экспериментальных данных с точными зависимостями до значений обратных температур, при которых система находится в основном состоянии.

На следующем этапе выполнены расчёты для систем двух и трёх тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Для этой модельной системы не существует аналитического решения. Проведены сравнения с данными из литературы, а также сопоставление результатов моделирования двухчастичной системы с данными метода плотности состояний. Хорошее согласие результатов указывает на корректность результатов вычислений.

Проведено моделирование для атома гелия. Значения энергии основного и триплетного состояний, известные из литературы, были воспроизведены с удовлетворительной точностью. Наблюдаемые отклонения, очевидно, связаны с недостаточным числом вершин в использованном приближении.

Предложено обобщёние на случай систем из большего числа частиц. Проведены тестовые расчёты для системы пяти, шести и семи тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Параболическая аппроксимация зависимости свободной энергии от температуры позволяет получить оценки энергии основного состояния и термодинамические функции при низких температурах.

Предложенный подход даёт достаточно точные результаты при сравнительно небольших затратах машинного времени. Типичное время расчёта для одного значения температуры составляет от получаса в случае системы двух невзаимодействующих частиц до суток в случае атома гелия или пяти частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле на компьютере Pentuim IV (3 ГГц).

В работе использовалось простейшее представление для высокотемпературной матрицы плотности. Подход не накладывает никаких ограничений на использование более сложных представлений для матрицы плотности, например [52, 53, 54, 55], на число вершин и типы МК шагов. Также возможно использование различных техник, ускоряющих сходимость интегралов по траекториям [56, 57, 58, 59]. Однако возможности комбинирования указанных подходов требуют отдельного исследования. Кроме этого нет никаких ограничений на размерность и на потенциалы взаимодействия в системе. Расчёты могут быть параллелизованы, что очень важно при моделировании многочастичных систем.

Предложенный подход, к сожалению, не позволяет полностью устранить проблему знака, но даёт возможность её ослабить. В случае малых систем удалось спуститься до значений температур при которых система находится в основном состоянии и необходимости спускаться ещё ниже нет. В случае большего числа частиц спуститься в основное состояние не удалось, но построенные аппроксимации достаточно точно дают оценки для энергий основного состояния. Поэтому предложенный подход вполне может быть применён для моделирования различных квантовых систем, например неидеальной квантовой плазмы.