Анализ электрической цепи постоянного тока

Министерство образования Российской Федерации Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет Кафедра Теоретических Основ Электротехники Анализ электрической цепи постоянного тока Выполнила:

студентка группы ИКТ-203 Симбирцева Д.С.

Проверила:

доцент Медведева Л. С.

Уфа 2012

Задание Согласно индивидуальному заданию, составить схему электрической цепи. В распечатке исходных данных сопротивления заданы в Омах, ЭДС — в Вольтах, ток источника тока — в Амперах.

Нарисовать ориентированный граф схемы.

Составить топологические матрицы схемы: соединений А, главных контуров В .

Проверить соотношение:

Составить уравнения по законам Кирхгофа в алгебраической и матричной формах.

Определить токи в ветвях схемы методом контурных токов.

Определить токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов.

Проверит правильность расчетов по законам Кирхгофа.

Составить баланс мощностей.

Для контура, содержащего две ЭДС составить потенциальную диаграмму.

Для ветви с сопротивлением R1 определить ток методом эквивалентного генератора.

электрическая цепь ток потенциал

1. Согласно индивидуальному заданию, составим схему электрической цепи:

Исходные данные:

E₁ (04) =-10 B

E₂ (05) =50 B

R₁ (41) =90 Oм

R₂ (53) =60 Ом

R₃ (31) =60 Ом

R₄ (12) =50 Ом

R₅ (32) =40 Ом

R₆ (20) =90 Ом

J₁ (01) =6 A

2. Нарисуем ориентированный граф схемы:

3. Составим топологические матрицы схемы матрица соединений А:

где к — номера ветвей, g — номера узлов.

матрица главных контуров В:

где к — номера ветвей, g — номера хорд.

4. Проверим соотношение

Равенство верно

5. Составим уравнения по законам Кирхгофа в алгебраической и матричной формах Согласно составленному дереву графа, у которого 3 ветви, составим 3 уравнения по первому закону Кирхгофа, и 3 уравнения по второму закону Кирхгофа.

— запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме:

А*I = - А*J;

где Iматрица-столбец неизвестных токов, J-матрица-столбец токов источников тока.

— запишем первый закон Кирхгофа в алгебраической форме:

I₁ + I₃ — I₄ = J₁,

I₄ + I₅ — I₆ = 0,

I₂ — I₃ — I₅ = 0.

— запишем второй закон Кирхгофа в матричной форме:

B*U=B*E;

где Uматрица-столбец неизвестных напряжений, Е-матрица-столбец известных источников ЭДС.

— запишем второй закон Кирхгофа в алгебраической форме:

— R₁*I₁ + R₂*I₂ + R₃I₃ = - Е₁ + Е₂,

R₁*I₁ + R₄*I₄ + R₆*I₆ = E₁,

R₂*I₂ + R₅*I₅ + R₆*I₆ = E₂.

6. Определим токи в ветвях схемы методом контурных токов Данный метод основан на втором законе Кирхгофа.

Перерисуем схему: преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЕДС, выберем произвольно направление токов в ветвях цепи, и произвольно выберем направление обхода контуров.

— Запишем систему уравнений для нахождения контурных токов в общем виде:

R₁₁* I₁₁ +R₁₂*I₂₂ + R₁₃*I₃₃ = E₁₁,

R₂₁*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ + R₂₃*I₃₃ = E₂₂,

R₃₁*I₁₁ + R₃₂*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃.

— Выразим собственные и смежные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₂ + R₅ + R₆,

R₂₂ = R₁ + R₄+ R₆,

R₃₃ = R₁ + R₂ + R₃,

R₁₂ = R₂₁ = R₆,

R₁₃ = R₃₁ = R₂,

R₂₃= R₃₂ = -R₁.

— Подставим численные значения:

R₁₁ = 190 Ом,

R₂₂ = 230 Ом,

R₃₃ = 210 Ом,

R₁₂ = R₂₁ = 90 Ом,

R₁₃ = R₃₁ = 60 Ом,

R₂₃ = R₃₂ = -90 Ом.

— Выразим контурные ЭДС:

E₁₁ = E₂,

E₂₂ = E_{1 +} J₁*R₁,

E₃₃ = E₂ — E₁ -J₁*R₁.

— Подставим численные значения:

E₁₁ = 50 B,

E₂₂ = 530 B,

E₃₃ = -480 B.

— Составим систему уравнений для нахождения контурных токов

(R₂ + R₅ + R₆)*I₁₁ + R₆*I₂₂ + R₂*I₃₃ = E₂,

R₆*I₁₁ + (R₁ + R₄+ R₆)*I₂₂ — R₁*I₃₃ = E_{1 +} J₁*R₁,

R₂*I₁₁ — R₁*I₂₂ + (R₁ + R₂ + R₃)*I₃₃ = E₂ — E₁ -J₁*R₁.

— Подставим численные значения:

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения контурных токов:

I₁₁ = -0.8 633А,

I₂₂ = 1.74 619А,

I₃₃ = -1.51 279А.

— Выразим все истинные токи через контурные токи:

I₁ = I₂₂ — I₃₃ — J_1,

I_{2 =} I₁₁ + I₃₃,

I₃ = I₃₃,

I₄ = I₂₂,

I₅ = I₁₁,

I₆ = I₁₁ + I₂₂,

— Подставим численные значения:

I₁ = -2.74 102 A,

I₂ = -1.59 912 A,

I₃ = -1.51 279А,

I₄ = 1.74 619А,

I₅ = -0.8 633А,

I₆ =1.65 986 A.

7. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов Данный метод основан на первом законе Кирхгофа и на обобщенном законе Ома. По методу узловых потенциалов можно составить столько уравнений, сколько ветвей у дерева графа, следовательно в нашем случае 3 уравнения. В схеме заземлим нулевой узел (ц₀ = 0 B).

— Запишем систему уравнений для нахождения потенциалов в общем виде:

ц₁*g₁₁ + ц₂*g₁₂ + ц₃*g₁₃ = J₁₁,

ц₁*g₂₁ + ц₂*g₂₂ + ц₃*g₂₃ = J₂₂,

ц₁*g₃₁ + ц₂*g₃₂ + ц₃*g₃₃ = J₃₃.

— Уравнение в матричной форме имеет вид:

ц_кк*g_кк= J_кк

— Посчитаем проводимости ветвей:

g₁₁ = g₁ + g₃ + g₄ ,

g₂₂ = g₄ + g₅ + g₆ ,

g₃₃ = g₂ + g₃ + g₅,

g₁₂ = g₂₁ = - g₄,

g₁₃ = g₃₁ = - g₃,

g₂₃ = g₃₂ = - g₅ ,

— Подставим численные значения:

g₁₁ = 1/ R₁ +1/ R₃ +1/ R₄ =0.4 777См,

g₂₂ = 1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R₆ = 0.5 611См,

g₃₃ = 1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅ = 0.5 832 См,

g₁₂ = g₂₁ = - 1/ R₄ = -0.02См,

g₁₃ = g₃₁ = - 1/ R₃ = -0.1 666 См,

g₂₃ = g₃₂ = - 1/ R₅ = -0.025 См,

— Посчитаем узловые токи:

J₁₁ = E₁*g₁+ J₁,

J₂₂ = = 0,

J₃₃ = E₂*g₂.

— Подставим численные значения:

J₁₁ = 5.88 889 А,

J₂₂ = 0А,

J₃₃ = 0.83 333 А.

— Cоставим систему уравнений для нахождения потенциалов:

ц₁*(1/ R₁ +1/ R₃ +1/ R₄) + ц₂*(- 1/ R₄) + ц₃*(- 1/ R₃) = E₁*g₁+ J₁,

ц₁*(- 1/ R₄) + ц₂*(1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R_{6) +}ц₃*(- 1/ R₅) = 0,

ц₁*(- 1/ R₃) + ц₂*(- 1/ R₅)+ ц₃*(1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅) = E₂*g₂.

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения потенциалов:

ц₁ = 236.49459B,

ц₂ = 149.42932B,

ц₃ = 146.01826B.

— Подсчитаем значения токов по закону Ома:

I₁ = (- ц₁₊ E₁)_/R₁,

I₂ = (-ц₃₊ E_{2) /}R₂,

I₃ = (ц₃ — ц_1)/R₃,

I₄ = (ц₁ — ц_2)/R₄,

I₅ = (ц₃ — ц_2)/R₅,

I₆ = ц_{2 /}R₆,

— Подставим численные значения:

I₁ = -2.73 883А,

I₂ = -1.6003А,

I₃ = -1.50 793А,

I₄ = 1.7413А,

I₅ = -0.8 528А,

I₆ = 1.66 033А.

8. Проверим правильность расчетов по законам Кирхгофа

— составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:

I₁ + I₃ — I₄ = -J₁,

I₄ + I₅ — I₆ = 0,

I₂ — I₃ — I₅ = 0,

— R₁*I₁ + R₂*I₂ + R₃I₃ = -E₁ + E₂

R₁*I₁ + R₄*I₄ + R₆*I₆ = E₁,

R₂*I₂ +R₅*I₅ + R₆*I₆ = E₂.

— составим матрицу:

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения силы токов:

I₁ = -2.74 111 A,

I₂ = -1.599 A,

I₃ = -1.51 267 A,

I₄ = 1.74619A,

I₅ = -0.08328A,

I₆ = 1.65 989 A.

Эти значения совпадают с со значениями, полученными с помощью методов МКТ и МУП, следовательно, расчеты верны.

9. Составим баланс мощностей Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и является критерием проверки правильности полученных результатов.

Мощность, генерируемая источником ЭДС и тока (сумма алгебраическая), равняется мощности потребляемой приемником.

Для данной схемы:

Е₂*I₂ + E₆*I₆ + J₆*ц₂ = R₁* + R₂* + R₃* + R₄* + R₅* + R₆*,

Сравним: 1366.6373 Вт1366.5286 Вт, следовательно, наши расчеты верны.

10. Для контура, содержащего два ЭДС составим потенциальную диаграмму

— Составим потенциальную диаграмму для контура 0−4-1−2-3−5-0

ц₀= 0 B,

ц₄ = Е₁ =-10 В, ц₁ = ц₄+ I₁*R₁ = Е₁+ I₁*R₁₌ -10+2.744*90 = 236,96B,

ц₂ = ц₁— I₄*R₄ = 236.96 — 1.746*50= 149.66 B,

ц₃ = ц₂ — I₅*R₅ =149.66 — 0.086*40= 146.22 B,

ц₅ = ц₃ — I₂*R₂ = 146.22 — 1.599*60=50 B,

ц₀ = ц₅ — Е₂= 50 — 50=0 В (См. приложение)

11. Для ветви с сопротивлением R₁ определим ток методом эквивалентного генератора Разомкнём ветвь 1 и найдем U_XX, которое равно ЭДС генератора Е_Г. Для этого воспользуемся методом узловых потенциалов (ц₀ =0)

U_XX(1)= ц₁

g₁₁ = + = 0. 0367 См,

g₂₂ = + + =0,0561 См ,

g₃₃ = + + =0,0583 См ,

g₁₂ = g₂₁ = - = =-0,02 См,

g₁₃ = g₃₁ = - = -0,0167 См,

g₂₃ = g₃₂ = - = -0,025 См,

Cоставим систему уравнений для нахождения потенциала ц₁:

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения потенциала ц₁:

ц₁ = 412 B,

Е_ЭГ =U_{XX( 10)} =412 B.

2) для нахождения R_вн = R_Г закоротим все источники ЭДС, а источники тока разомкнем, получим:

— преобразуем треугольник в звезду, получим:

=

=

=

R_вн= R_Г + = 12,5+ =63,791 Ом.

3) Найдем I₁, составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

I₁*R₁ + R_Г*I₁ = E_ЭГ,

I₁==- =- 2,69 А.

4) Определим I_КЗ:

I_КЗ = ,

I_КЗ =- = -6,559 А.

Вывод В данной расчетно-графической работе был проведен анализ электрической цепи постоянного тока, а именно:

— составила схему электрической цепи;

— нарисовала ориентированный граф схемы;

— составила топологические матрицы схемы: соединений А, главных контуров В, проверила соотношение А*В^т = 0;

— определила токи в ветвях схемы тремя методами: методом контурных токов, методом узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора. По законам Кирхгофа проверила правильность расчетов;

— составила баланс мощности, для контура, содержащего две ЭДС составила потенциальную диаграмму.

Значения силы токов, которые были определены в каждом из трех вышеуказанных методов, совпали. Имела место быть некоторая погрешность, в результате неточного вычисления, но она не имела большого значения. Следует сделать вывод, что значения характеристик цепи не зависят от метода ее исследования.