Аналитическое решение краевых задач математической физики

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. академика С.П. КОРОЛЕВА Факультет информатики Кафедра технической кибернетики Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Уравнения математической физики»

Тема: «АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Выполнил Самтеладзе Г. Н.

Руководитель работы Дегтярев А.А.

Задание

Процесс распространения электромагнитной волны в однородной среде (волноводе) описывает следующим дифференциальным уравнением:

где — оператор Лапласа в радиально-симметричном случае;

— комплексная амплитуда напряженности электрического поля;

— длина электромагнитной волны;; - показатель преломления среды; и — координаты цилиндрической системы.

Предполагается, что среда (волновод) ограничена идеально проводящей цилиндрической оболочкой радиуса и длины (в соответствии с рисунком 1).

Рисунок 1 — Распространение электромагнитной волны в волноводе кругового сечения Распределение амплитуды на входе в волновод задается условием:

При проведении расчетов использовались следующие значения параметров:

Замечание. Приведенное дифференциальное уравнение называется уравнением Шредингера. Оно является уравнением параболического типа. При решении задачи целесообразно воспринимать переменную z как некоторое подобие временной координаты.

дифференциальный сходимость электромагнитный фурье

Реферат

Объектом исследования является процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.

Цель работы — изучить объект исследования, описанный дифференциальным уравнением.

В результате работы получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована его сходимость, получена оценка остатка, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью, кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.

Содержание

• Введение
• 1. Математическая постановка краевой задачи
• 2. Аналитическое решение
• 3. Исследование сходимости ряда аналитического решения
• 4. Оценка остатка ряда
• 5. Численный расчет решения
• 5.1 Вычисление функций Бесселя
• 5.2 Вычисление корней характеристического уравнения J₀(м_m)=0
• 5.3 Численное интегрирование
• 6. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье
• 7. Анализ погрешности вычислений
• 8. Результаты работы программы
• Заключение
• Список использованных источников

Математическая физика изучает математические модели физических явлений. Она и её методы начали формироваться в XVIII веке при изучении колебаний струны и стержней, задач акустики, гидродинамики, аналитической механики. Идеи математической физики получили новое развитие в XIX веке в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами, теорией устойчивости движения.

Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений — уравнений математической физики, которые совместно с соответствующими граничными (или начальными и граничными) условиями образуют математические модели рассматриваемых физических процессов.

Основными классами таких задач являются эллиптические, гиперболические, параболические задачи и задача Коши.

Основными математическими средствами исследования задач математической физики служит теория дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, теорий функций и функциональных пространств, функциональный анализ, приближенные методы и вычислительная математика.

1. Математическая постановка краевой задачи

Из условия задачи известно, что волновод ограничен проводящей оболочкой, поэтому на стенке волновода будет соблюдаться следующее граничное условие первого рода:

Таким образом, дополнив заданное дифференциальное уравнение граничными условиями, получаем модель процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, которая будет выглядеть так:

(1.1)

2. Аналитическое решение

Для отыскания решения задачи используем метод Фурье. Будем полагать, что решение может быть представлено в виде произведения:

(2.1)

Введем обозначение, тогда дифференциальное уравнение из системы (1.1) запишется в виде:

Учтем в соотношении (2.1), а затем преобразуем его:

Уравнение, определяющее функцию :

Произведем серию выкладок, позволяющих упростить вычисление:

Уравнение, определяющее функцию :

Домножим это уравнение на r²V® и дополним его граничным условием, которое следует из граничного условия функции U (r, z):

(2.2)

Таким образом, получаем уравнение Бесселя 0-го порядка.

Для того чтобы прийти к стандартному виду уравнения Бесселя введем новую переменную:

(2.3)

Продифференцируем (2.3) по r и получим:

(2.4)

Аналогично, продифференцировав (2.4) по r:

(2.5)

Подставим (2.3)-(2.5) в уравнение из (2.2) и получим для определения уравнение Бесселя 0-го порядка:

(2.6)

Подставим в (2.6) граничное условие:

— т.к. целый порядок (ограниченное решение)

пусть

Уравнение имеет бесконечное множество вещественных корней: то есть имеет бесконечное множество собственных значений: которым соответствуют собственные функции:

Таким образом, получаем:

Решение предстанет в следующем виде:

(2.7)

Подставим в (2.7) начальное условие, в результате получим:

(2.8)

Отметим, что система собственных функций является ортогональной системой с весом r.

Из теоремы разложимости находим коэффициент :

(2.9)

Правомерно следующее:

Таким образом, решение можно представить следующим рядом Фурье-Бесселя:

(2.10)

3. Исследование сходимости ряда аналитического решения

Найдём мажоранту для ряда:

При увеличении аргумента функции Бесселя:

(3.1)

Неравенство (3.1) подробно доказывается в пункте 4 на странице 11.

Получим ряд q>u,

4. Оценка остатка ряда

Чтобы выяснить, как усечение ряда влияет на точность решения исходной задачи, необходимо найти оценку остатка ряда:

(4.1)

где

Получаем:

(4.2)

Учтем, что:

Таким образом, достаточно оценить только

Для оценки данных коэффициентов необходимо рассчитать следующий интеграл:

(4.3)

Для расчета (4.3) воспользуемся формулой:

(4.4)

Имеет место следующее равенство [3]:

(4.5)

Рассмотрим выражение (4.4). Опустим в правой части на основании практических расчетов (см. таблицу 1). Таким образом, (4.4) можно заменить следующим выражением:

Если то (4.5) принимает вид:

Таким образом, получаем следующее неравенство:

Неравенство проверено и подтверждено на практике (см. таблицу 1).

Таблица 1 — Cравнение интеграла и апроксимирующей формулы

Таким образом, получаем:

(4.6)

Асимптотическая формула для

Приближенная формула для нулей Для

Таким образом

(4.7)

Неравенство (4.7) проверено и подтверждено на практике.

Подставим это выражение в формулу (4.6) и получим:

(4.8)

Подставив (4.8) в (4.2), получим следующее выражение:

В итоге получаем оценку:

(4.9)

5. Численный расчет решения

5.1 Вычисление функций Бесселя

Для вычисления значений функций Бесселя нулевого и первого порядков был использован алгоритм, позволяющий вычислить значение с точностью 10^-7:

Для функции Бесселя нулевого порядка:

(5.1)

(5.2)

Для функции Бесселя первого порядка:

(5.3)

5.2 Вычисление корней характеристического уравнения J₀(м_m)=0

Данное уравнение является трансцендентым и имеет бесконечное множество решений. Для нахождения этих корней воспользуемся методом секущих:

(5.5)

Для вычисления J₀(м_m) используется алгоритм, описанный в пункте 4.1. Данный метод обладает сверхлинейной скоростью сходимости. В качестве критерия останова используется условие в нашем случае то есть обеспечивается точность вычисления равная двоичной точности представления вещественных чисел в памяти компьютера. Таким образом, этой погрешностью можно пренебречь.

5.3 Численное интегрирование

Поскольку интеграл не может быть вычислен аналитически, необходимо численно отыскать его значение. Для численного интегрирования использовались Квадратурная формула Гаусса-Кронрода, алгоритм вычисления взят из библиотеки ALGIB. Использование этого метода обеспечивает относительную погрешность

6. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье

Проведем сравнение теоретической оценки количества членов и оценки, полученной практическим путем. Результаты вынесем в таблицу 3.

Практическая оценка была рассчитана следующим образом: теоретическое значение оценки количества суммируемых членов уменьшалось и отслеживалось изменение разряда, на порядок меньшего обеспечиваемой погрешности.

Таблица 3 — Сравнение теоретической и практической оценок кол-ва членов ряда Фурье

7. Анализ погрешности вычислений

Помимо ошибок, возникающих при использовании численных методов, погрешность вычислений задается точностью представления действительного числа в памяти процессора ПК и составляет

Как видно из таблицы 3, для обеспечения погрешности, меньшей, при сложении необходимо суммировать 23 члена ряда. Погрешность при вычислении одного элемента ряда составляет менее. Соответственно, при сложении 23 членов ряда получаем следующую погрешность: Таким образом, общая погрешность составляет:

8. Результаты работы программы

Разработанная программа позволяет строить графики зависимости напряженности от одного из аргументов, при фиксации второго. Также можно изменять количество складываемых членов ряда и менять масштаб изображения.

Приведем несколько графических результатов расчетов поля в волноводе.

Причем более интересным будет случай с фиксированием аргумента z:

Рисунок 1 — Интенсивность волны при z=0

Рисунок 2 — Интенсивность волны при z= 0,1

Рисунок 3 — Интенсивность волны при z= 0,2

Рисунок 4 — Интенсивность волны при z= 0,3

Кроме того возможно фиксирование аргумента r, в таком случае будут иметь место следующие графики зависимости интенсивности волны от z:

Рисунок 5 — Интенсивность волны при r=0

Рисунок 6 — Интенсивность волны при r=0,15

Рисунок 7 — Интенсивность волны при r=0,1

Заключение

Объектом исследования в данной курсовой работе являлся процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.

Вычисление амплитуды такой волны было произведено с достаточно малой погрешностью, а именно меньшей. В итоге пользователь в наглядном виде может наблюдать результаты работы программы, графически и аналитически реализующей решение данной задачи, а именно — кольца Ньютона.

В результате работы осуществлена математическая постановка краевой задачи для процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована сходимость найденного ряда, получена оценка остатка этого ряда, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью. Кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.

Список использованных источников

1. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст]: учебное пособие для университетов/ А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М.: Наука, 1977.-735 с.

2. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст]/ М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, 1973.-245 с.

3. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям [Текст]/ М. Абрамовиц, И. Стиган. — М.: Наука — 1979.-832 с.