Склеивание римановых многообразий с краем

Исторические замечания. Пространства Александрова — один из основных объектов изучения современной геометрии. Они являются обобщениями римановых многообразий. Пространствами Александрова обычно называют три разных типа пространств: двумерные многообразия ограниченной интегральной кривизны, пространства ограниченной сверху кривизны и пространства ограниченной снизу кривизны. Первоначально ([16], 1941 год), А. Д. Александровым рассматривалась внутренняя геометрия выпуклых поверхностей и, что в некотором смысле то же самое, двумерные многообразия неотрицательной кривизны. Впрочем, он вскоре ([17], 1944 год) отметил, что если рассматривать выпуклые поверхности не в евклидовом пространстве, а в произвольном пространстве постоянной кривизны, то получаются двумерные многообразия ограниченной снизу кривизны. Более точно: выпуклая поверхность в трехмерном пространстве постоянной кривизны К является двумерным многообразием кривизны ^ К, а любое двумерное многообразие кривизны ^ К (по крайней мере локально) представимо выпуклой поверхностью в трехмерном пространстве постоянной кривизны К. Детальное изложение внутренней геометрии выпуклых поверхностей было представлено в монографии ([18], 1948 год). Там же в заключительной главе была намечена программа изучения внутренней геометрии более общего класса поверхностей — поверхностей ограниченной интегральной кривизны. Эта программа была реализована в книге А. Д. Александрова и В. А. Залгаллерра [22]. Иной подход поверхностям ограниченной интегральной кривизны (аналитический, с использованием изотермического элемента) был предложен и реализован Ю. Г. Решетником. Описание этого подхода можно найти в [39], там же есть ссылки на работы, в которых этот подход был разработан. Параллельно развитию теории поверхностей ограниченной интегральной кривизны А. Д. Александров ([19], [3], 1950;е годы) заложил основы теории пространств, ограниченной сверху (соответственно снизу) кривизны.

Теория двумерных многообразий ограниченной интегральной кривизны была развита А. Д. Александровым и его учениками, так что почти все принципиальные вопросы этой теории нашли свое решение, см. [22], [39]. Двумерный случай сильно выделяется: и поверхности ограниченной снизу кривизны, и поверхности ограниченной сверху кривизны являются поверхностями ограниченной интегральной кривизны. В многомерном случае такого естественного общего класса не известно.

Изначально в исследованиях А. Д. Александрова пространств ограниченной кривизны много внимания уделялось, по существу, аксиоматическому вопросу описания пространств Александрова в терминах избытков треугольников (избыток — сумма углов треугольника за вычетом 7г). В последующий период пространствам ограниченной сверху кривизны уделялось больше внимания, чем пространствам ограниченной снизу кривизны. Существенный прогресс в теории пространств ограниченной снизу кривизны был связан с исследованием Ю. Д. Бураго, М. Л. Громова и Г. Я. Перельмана [26] и последующих за ним работ, среди которых необходимо выделить сильные результаты Г. Перельмана, см., например, его статью [34] и, к сожалению, неопубликованный препринт [13]. Описание основ теории пространств кривизны ограниченной снизу есть, например в обзоре Плаута [15].

Теория пространств ограниченной сверху кривизны развивалась более равномерно (см., например [20], [37], [38], [21], [11], [5], [27]). В ее развитии необходимо отметить роль идей М. Л. Громова. В изучении пространств ограниченной сверху кривизны существенную роль сыграли методы, связанные с метрикой Громова-Хаусдорфа и, в частности, асимптотический подход к этим пространствам — т. е. изучение их поведения на бесконечности.

Стоит отметить, что пространства кривизны ^ к и ^ к (как можно было предположить из истории развития соответствующих теорий) существенно отличаются по своим свойствам и для них обычно используются различные методы исследования несмотря на схожесть определений.

Напомним, что /с-плоскостью называется полная односвязная поверхность постоянной кривизны к. Для треугольника Aabc в произвольном метрическом пространстве треугольником сравнения (на к-плоскости) называется треугольник на ас-плоскости с теми же длинами сторон, что и в Aabc.

Имеется несколько равносильных определений пространств ограниченной сверху (соответственно, снизу) кривизны. Нам удобно использовать в дальнейшем следующее, не совсем традиционное определение.

Метрическое пространство X с внутренней метрикой называется пространством кривизны ^ к, если каждая точка пространства X имеет такую окрестность U, что для любого треугольника Aabc, содержащегося в U, определены углы Zabc, ZЬса и /.cab и они удовлетворяют неравенствам.

Zabc ^ ZKabc, Zbca ^ ZKbca, Zcab ^ ZKcab, где через ZKabc обозначен соответствующий угол в треугольнике сравнения. Такой угол называется углом сравнения.

Аналогично, метрическое пространство X с внутренней метрикой называется пространством кривизны ^ к, если каждая точка пространства X имеет такую окрестность U, что для любого треугольника Aabc, содержащегося в ?/, определены углы Zabc, Zbca и Zcab и они удовлетворяют неравенствам.

Zabc ^ ZKabc, Zbca ^ ZKbca, Zcab ^ ZKcabкроме того требуется, чтобы сумма смежных углов равнялась 7 Г, то есть если г — внутренняя точка кратчайшей pq, то для любой кратчайшей [rs] выполнено Zprs+Zsrq = 7 г. (По-видимому, неизвестно, необходимо ли последнее условие.).

Тема этой диссертация лежит на стыке теории пространств Александрова (ограниченной сверху или снизу кривизны) и римановой геометрии, а в самой диссертации рассматриваются римановы многообразия с (гладким) краем. Несмотря на то, что риманово многообразие с краем является естественным объектом, по-видимому, поведение кратчайших около края не изучалось систематически вплоть до работы С. Александер, И. Берга и Р. Бишопа [1]. Вскоре теми же авторами [2] было получено необходимое и достаточное условие того, что риманово многообразие с (гладким) краем является пространством кривизны ^ к. В частности, там было доказано, что риманово многообразие с краем всегда является пространством ограниченной сверху кривизны.

Теоремы о склеивании играют в синтетической геометрии заметную роль, позволяя конструировать новые объекты из известных блоков. Даже если эти блоки — гладкие римановы многообразия (с гладким краем), в результате склеивания гладкость обычно теряется, и мы выходим за пределы классической римановой геометрии. В теории выпуклых поверхностей и в теории поверхностей ограниченной интегральной кривизны фундаментальную роль играет теорема А. Д. Александрова о склеивании (см. последнюю главу книги [22]). Так, теорема А. Д. Александрова о склеивании вместе с теоремой А. В. По-горелова ([35]) о неизгибаемости замкнутых выпуклых поверхностей в К3 дала мощный инструмент в изучении изгибания выпуклых поверхностей с краем.

В двумерном случае кроме теоремы Александрова известна теорема Ю. Д. Бураго и С. В. Буяло ([25]) о склеивании для двумерных полиэдров. О ней будет немного ниже. В случае размерности, отличной от двух, автору известны только две общие теоремы о склеивании: теорема Ю. Г. Решетняка [37] о склеивании для пространств ограниченной сверху кривизны и теорема А. Петрунина [14] о склеивании для пространств ограниченной снизу кривизны. Недавно теорема Ю. Г. Решетняка помогла решить долгое время стоявшие открытыми проблемы теории полурассеивающих бильярдов, см. серию работ Д. Бураго, С. Ферглера и А. Каноненко [7], [8], [9], [10].

В результате склеивания из симплексов, снабженных римановой метрикой, получаются так называемые полиэдральные пространства. Обычно рассматривались полиэдральные пространства, склеенные из симплексов постоянной кривизны и с вполне геодезическими гранями (см., например, Ф. Брюа и Дж. Титса [6]). Отметим работы Н. Д. Лебедевой [32], [33], в которых рассматривались общие полиэдральные пространства при условии отсутствия сопряженных точек. В работе В. Бальмана и М. Брина [4] рассматривались двумерные орбиэдры, для которых соответствующие полиэдральные пространства неположительной кривизны получаются склеиванием симплексов с кусочно гладкой метрикой. В работе Ю. Д. Бураго и С. В. Буяло [25], дополненной работой С. В. Иванова [28], была дана полная характеризация двумерных полиэдров ограниченной сверху кривизны. В частности, была доказана теорема о склеивании, позволяющая клеить из кусков двумерных многообразий ограниченной сверху кривизны полиэдры, у которых кривизна также ограничена сверху.

Однако довольно долгое время оставался открытым вопрос (в случае размерности большей двух) в каких случаях пространство, полученное склеиванием двух многообразий с краем, является пространством ограниченной сверху или снизу кривизны. Настоящая диссертация отвечает на этот вопрос. В ней найдены необходимые и достаточные условия того, что пространство, полученное из нескольких римановых пространств с краем склеиванием по изометрии краев, является пространством кривизны ^ к (соответственно, пространством кривизны ^ к).

Формулировки основных результатов. Пусть дан некоторый конечный набор n-мерных римановых многообразий {Ма | а? 1} (в теореме 1 считаем I = {0,1}) с изометричными друг другу краями Га. Фиксируя изометрии одного из Га с остальными, можно отождествлять все Га с некоторым пространством Г. Поэтому будем считать, что вторые квадратичные формы Ва граничных гиперповерхностей относительно внешних нормалей заданы на одной гиперповерхности Г и их можно складывать.

Теорема 1. Предположим, что у многообразий Mq и Mi секционные кривизны ^ к, а форма L = Bo + Bi неотрицательно определена.

Тогда пространство М, полученное склеиванием пространств Mq и Mi вдоль выбранной изометрии, является пространством Александрова кривизны ^ к.

Теорема 2. Предположим, что секционные кривизны всех многообразий Ма не большее к и что для любых, а ф (3 форма Ва + неположительно определена. Пусть секционные кривизны Г в тех двумерных направлениях а, для которых сужения Ва на, а отрицательно определены при всех, а € I, не превосходят к.

Тогда пространство М, полученное склеиванием всех {Маа € 1} вдоль выбранных изометрий, является пространством кривизны ^ к.

Заметим, что условие теоремы 2 (если многообразий больше двух) несколько слабее условия, что для любых, а ф (3 пространства Ма U являются пространством кривизны ^ к. С другой стороны, если склеиваемых многообразий больше двух, то для того, чтобы М было пространством ограниченной сверху кривизны необходимо и достаточно того, что для любых, а Ф (3 кривизна пространства Ма U Мр была ограничена сверху.

Сравним как соотносятся ранее известные теоремы о склеивании с нашими теоремами. В двумерном случае теорема 1 (как и 2, если склеиваются два многообразия) является частным случаем теоремы А. Д. Александрова о склеивании. В двумерном случае теорема 2 во всей ее полноте (если склеивается произвольное количество листов) следует из теоремы о склеивания в статье Бу-раго и Буяло [25], посвященной двумерным полиэдрам. Стоит отметить, что в этом случае Г — одномерно, а значит условия не ее секционные кривизны исчезают.

Теорема 1 обобщает теорему А. Петрунина в том частном случае, когда склеиваемые пространства являются римановыми. Стоит отметить, что Mq и М могут не быть пространствами Александрова кривизны ^ к. В том же случае, когда Mq и Mi являются таковыми (т.е. когда обе вторые основные формы неотрицательно определены), теорема 1.1 следует из теоремы Петрунина.

Многообразия Ма с краем, как показано в [2], являются пространствами ограниченной сверху кривизны. В этой статье было доказано, что для Ма верхняя граница кривизны является максимумом секционных кривизн самого многообразия и секционных кривизн его границы Г в тех двумерных направлениях, сужения на которые второй основной формы отрицательно определены. В частности, сами пространства Ма могут не быть пространствами кривизны ^ к. Однако они заведомо будут пространствами ограниченной сверху кривизны.

Теорема 2 обобщает тот частный случай теоремы Решетняка [37] о склеивании пространств ограниченной сверху кривизны, в котором склеиваемые пространства являются римановыми. Действительно, условие теоремы Решетняка (выпуклость множеств, по которым происходит склеивание) означает, что все вторые формы неположительно определены, а в этом случае каждое Ма имеет кривизну ^ к (см. [2]).

Следующий известный пример иллюстрирует необходимость условия на секционные кривизны края. Рассмотрим две копии трехмерного евклидова пространства с вырезанным единичным шаром и склеим по граничным сферам. Тогда полученное пространство не является пространством неположительной кривизны, хотя оно является пространством кривизны не большей 1.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, дополнения и списка литературы. В первой главе рассматривается пространство М, которое получается склеиванием двух многообразий Mq и М с краем по изо-метрии краев и изучается (негладкий) метрический тензор полученного многообразия с помощью производных в смысле обобщенных функций. Для некоторого класса пространств вводятся понятия формальных символов Кристоффе-ля, формальных кривизн Римана и формальных секционных кривизн. Доказывается, что если формальные секционные кривизны ограничены с одной стороны некоторой константой, то кривизна пространства в смысле Александрова также ограничена с той же стороны некоторой константой (возможно другой). В некоторых случаях (см. леммы 1.6 и 1.7) эти константы совпадают, а в некоторых — нет (см. лемму 1.8). Отметим, что различие этих констант связано не со способом доказательства, а (по крайней мере в случае ограничения кривизны сверху, как вытекает из условия на секционные кривизны границы в теореме 2) связано с существом дела. Эти результаты подытожены в лемме 1.1 и, в дальнейшем будет использоваться только она. Кроме того в § 5 (лемма 1.9) предложена конструкция, позволяющая уменьшать вторую форму края за счет малой деформации метрики. Этот прием позволяет при доказательстве теоремы 2 считать, что сумма вторых форм не только неположительно определена, но и отрицательно определена.

1. Alexander S. В., Berg 1. D., Bishop R. L., The Riemannian obstacle problem, Illinois J. Math. Vol. 31, Number 1 (1987), 167−184.

2. Alexander S. В., Berg I. D., Bishop R. L., Geometric curvature bounds in Riemannian many-folds with bondary, Transactions of the Amer. Math. Soc. Vol. 339, Number 2 (1993), 703−716.

3. Alexandrow A. D., Uber eine Verallgemeinerung der riemannschen Geometrie, Der Begriff des Raumes in der Geometrie — Bericht von der Riemann-Tangung des Forsschungsinstituts fuK Mathematik Hf. 1 (1957), 33−84.

4. Ballmann W. and Brin M., Orbihedra of nonpositive curvature, Publ. Math. IHES 82 (1995), 169−209.

5. Bridson M.R., Haffilger A., Metric spaces of non-positive curvature, Series of Comprehensive Stadies in Mathematics, vol. 319, Springer-Verlag Berlin, 1999.

6. Bruhat F., Tits J., Groupes reductifs sur un corps local, I, Donnees radicieles valuies, Publications of IHES 65 (1987), 35−59.

7. Burago, D.- Ferleger, S.- Kononenko, A., Unfoldings and global bounds on the number of collisions for generalized semi-dispersing billiards., Asian J. Math. 2 1, 141−152.

8. Burago, D.- Ferleger, S.- Kononenko, A., Topological entropy of semi-dispersing billiards, Ergodic Theory Dynam. Systems 18 4, 791−805.

9. Burago, D.- Ferleger, S.- Kononenko, A., Uniform estimates on the number of collisions in semi-dispersing billiards, Ann. of Math. (2) 147 3, 695−708.

10. Burago, D.- Ferleger, S.- Kononenko, A., A geometric approach to semi-dispersing billiards, Ergodic Theory Dynam. Systems 18 2, 303−319.

11. Kliner В., The local structure of length spaces with curvature bounded above, Math. Z. 231 (1999), no.3, 409−456.

12. Kosovski N. N., Gluing theorem for Alexandrov spaces, Abstracts of Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A. D. Alexandrov. St .-Petersburg (2002), 35.

13. Perelman G., A. D. Alexandov spaces with curvatures bounded bellow, II, Preprint (1992).

14. Petrunin A., Applications of quasigeodesics and gradient curves, Comparison geometry (Grove K., Petersen P., eds.), Cambridge University Press, 1997, pp. 203−219.

15. Plaut C., Metric spaces of curvature ^ k, A Handbook of Geometric Topology (Daverman, R. J. et al., eds.), Amsterdam: Elsevier, 2002, pp. 819−898.

16. Александров А. Д., Внутренняя веомстприл произвольной выпуклой поверхности, Доклады АН СССР, Т. 32. Вып. 7. (1941), 467−470.

17. Александров А. Д., Внутренняя метрика выпуклой поверхности в пространстве постоянной кривизны, Доклады АН СССР, Т. 45. Вып. 1. (1944), 3−6.

18. Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948.

19. Александров А. Д., Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения, Тр. Мат. ин-та АН СССР. Т. 38. (1951), 5−23.

20. Александров А. Д., Линейчатые поверхности в метрических пространствах, Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех. и астрон. Т. 1. N 1 (1957), 5−26.

21. Александров А. Д., Берестовский В. Н., Николаев И. Г., Обобщенные римановы пространства, Успехи мат. наук. Т. 41, Вып. 3 (1986), 3−44.

22. Александров А. Д., Залгаллер В. А., Двумерные многообразия ограниченной кривизны, Тр. матем. инст. АН СССР имени Стеклова LXIII (1962).

23. Берестовский В. Н., Николаев И. Г., Многомерные обобщенные римановы пространства, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 70 (1989), 190−272.

24. Бураго Д. Ю, Бураго Ю. Д., Иванов С. В., Курс метрической геометрии, Москва, Ижевск, 2004.

25. Бураго Ю. Д., Буяло С. В., Метрики ограниченной сверху кривизны на 2-полиэдрах. II, Алгебра и анализ Т.10, вып. 4 (1998), 62−112.

26. Бураго Ю. Д., Громов М. Л., Перельман Г. Я., Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами, Успехи мат. наук Т. 47. Вып. 2 (1992), 3−51.

27. Буяло С. В., Пространства ограниченной сверху кривизны, Образование, СПб, 1997.

28. Иванов С. В., О сходящихся метриках ограниченной сверху кривизны на 2-полиэдрах, Алгебра и анализ т.10, вып. 4 (1998), 783−787.

29. Косовский Н. Н., Склеивание римановых многообразий кривизны ^ к, Алгебра и анализ т. 14, вып. 3 (2002), 140−157.

30. Косовский Н. Н., Склеивание римановых многообразий кривизны ^ к, Алгебра и анализ т. 14, вып. 5 (2002), 73−86.

31. Косовский Н. Н., Склеивание с ветвлением римановых многообразий кривизны ^ к, Алгебра и анализ т.16, вып. 4 (2004), 132−145.

32. Лебедева Н. Д., Теорема о возвращении в системах с ветвящимися геодезическими, Алгебра и анализ т.14, вып. 1 (2003), 87−96.

33. Лебедева Н. Д., Об экспоненциальном росте полиэдральных пространств без сопряженных точек, Алгебра и анализ т.15, вып. 1 (2003), 184−200.

34. Перельман Г. Я., Начала теории Морса для пространств Александрова, Алгебра и анализ т.5, вып. 4 (1994), 205−214.

35. Погорелов А. В., Однозначная определенность общих выпуклых поверхностей., Киев: изд. АН УССР, 1952.

36. Рашевский П. К, Риманова геометрия и тензорный анализ, Наука, М., 1967.

37. Решетняк Ю. Г., К теории пространств кривизны, не большей К, Матем. сб. Т. 52. N 3. (1960), 789−798.

38. Решетняк Ю. Г., Нерастягивающие отображения в пространствах кривизны, не большей К, Сиб. мат. ж. Т. 9. N 4. (1960), 918−927.

39. Решетняк Ю. Г., Двумерные многообразия ограниченной кривизны, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 70 (1989), 7−189.