Современное состояние развития мировой науки и техники, а также накопленный опыт производства геодезических, топографических и картографических работ обеспечивают возможность широкого внедрения принципиально новых измерительных технологий, в том числе, рациональное и продуктивное использование спутниковых геодезических систем ГЛОНАСС (РФ) и GPS — NAVSTAR (США). Это выдвигает новые требования как по оперативности, так и точности к накоплению, отображению, математической обработке и выдаче информации о поверхности Земли и объектах на ней, основанных на использовании компьютерных технологий, базирующихся на математическом и программном обеспечении, обладающем общностью подхода и приводящему к оптимальному решению определенных классов задач.
Сочетание современных измерительных, обрабатывающих и отображающих технологий, позволяет создавать геоинформационные системы, обеспечивающие достаточно точный учет и рациональное использование ресурсов, а также преобразования земной поверхности в интересах человечества как в глобальном, так и региональном масштабах.
В области геодезических измерений и их математической обработки следует отметить достижение, не имеющее аналогов во всем мире. На территории бывшего Советского Союза совместными усилиями геодезистов ныне независимых государств создана единая геодезическая основа, взаимное плановое положение пунктов которой, оцененное по результатам уравнивания, характеризуется средними квадратическими погрешностями порядка 0.03−0.07 м [5,27,34 и др.]. Практическое применение в настоящее время современной аппаратуры и спутниковых методов на основе приемников GPS и ПЛОНАСС представляет качественно новые возможности как по оперативности, так и точности координатных определений, недостижимые традиционными геодезическими методами. «Сейчас с полной уверенностью можно утверждать, что уже разработанные спутниковые приемники (типа Trimble, Leica, Ashtech) станут (по крайней мере на ближайшие 10−15 лет) стандартной геодезической аппаратурой, каковой до настоящего времени были теодолиты, свето-дальномеры, нивелиры [27]». В связи с этим актуальной в настоящее время задачей является разработка математических методов совместной обработки в соответствующей координатной среде банков референцных и общеземных геодезических данных с целью модернизации государственной геодезической основы, направленной на ее сгущение и повышение точности, оперативное формирование математически упорядоченного геодезического обоснования для различных объектов, что позволит существенно расширить круг научных и технических задач, надлежащим образом обеспечиваемых геодезическими данными.
Развитие международного сотрудничества, коммуникаций предполагает надлежащее обеспечение международных проектов, что возможно в рамках единой мировой системы координат на поверхности соответствующего эллипсоида и на плоскости самых различных геодезических проекций. Стандартной системе геодезических координат WGS-84, ПЗ 90 или другой должна соответствовать стандартная, универсальная, гибкая и достаточно точная система плоских прямоугольных координат в наилучших геодезических проекциях с соответствующим математическим обеспечением, отвечающим современному уровню развития компьютерных технологий.
Анализ геодезических проекций, применяющихся в настоящее время в различных странах, указывает на то, что каждая из них обладает как достоинствами, так и недостатками применительно к тем или иным условиям, их выбор обусловлен главным образом удобством создания общегосударственной системы плоских прямоугольных координат и возможностью разработки приемлемых наставлений и инструкций для пользователей. При этом, естественно, для решения локальных задач, например, при создании высокоточных инженерно — геодезических построений такие системы неудобны и здесь применяются локальные системы координат, часто не связанные с общегосударственной, но обеспечивающие минимальные искажения эллипсоидальных элементов на плоскости.
С точки зрения математического обеспечения самых различных геодезических проекций отмечается подавляющее преобладание проекций, полученных на основе теории конформных отображений поверхностей. При оценке достоинств геодезических проекций учитывается их точность, удобство вычислений и величина искажений метрических элементов эллипсоида при их отображении на плоскости.
При этом следует отметить, что, наряду с глубокими и всесторонними исследованиями в области теории и практики картографических проекций, геодезические проекции, несмотря на известные исследования их отдельных вариантов [3,4,21,22,43,59,60,64,68,69−85 и др.], не получили должного обобщенного анализа с целью изыскания их оптимальных или наилучших, взаимосвязанных вариантов, что можно объяснить большим объемом вычислений и их трудоемкостью в геодезических проекциях при вычислениях вручную. В современных условиях с широким использованием ЭВМ становится возможным и оправданным формирование общей теории изыскания наилучших геодезических проекций для решения как научных, так и практических задач в самых различных условиях.
Целью настоящей работы является создание общей теории описания конформных геодезических проекций, достаточно строго обеспечивающей исследование, взаимосвязь и альтернативную оценку достоинств и недостатков самых различных, в том числе известных, геодезических проекций с точки зрения их соответствия критерию Чебышева — Граве о наилучших проекциях применительно к условиям решаемой задачи.
Теория конформных отображений построена на уравнениях Лапласа, представляющих собой дифференциальные уравнения второго порядка эллиптического типа в частных производных, которые устанавливают совместно с дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных Коши — Римана условия изометрического преобразования координат на поверхностях с помощью аналитических функций общего вида, которые в данном случае являются гармоническими. В этом заключается основное преимущество конформных отображений, так как их исследования сводятся к задачам теории поверхностей [ 61−63 и ДР-3.
Основы теории исследуемой проблемы заложены выдающимися учеными К. Гауссом, Л. Эйлером, Н. Тиссо, Ж. Лагранжем, П. Чебышевым, Д. Граве, М. Лаврентьевым и др. Дальнейшее развитие теория картографических и геодезических проекций получила в исследованиях И. Ламберта, Р. Бонна, Н. Делиля, Ф. Шуберта, В. Каврайского, А. Маркова, Ф. Красовского, В. Витковского, М. Соловьева, Н. Урмаева,.
В. Морозова, В. Христова, Л. Бугаевского, Л. Вахрамеевой, Г. Мещерякова, Г. Конусовой, А. Лисичанского, А. Павлова и др.
Формирование информационного. пространства, допускающего различную степень обобщения и вычленения элементов, его составляющих, с вполне определенной и достаточной точностью, предполагает применение математических методов его отображения в соответствующей координатной среде. Такая среда, как показывает опыт, может быть создана на основе геодезических проекций, которые обеспечивают высокую точность отображения, технология практического применения геодезических проекций детально отработана. Вместе с этим стремительный уровень развития современных измерительных технологий и внедрение компьютерной техники в математическую обработку измерений предполагают применение математических методов, обеспечивающих обобщенное описание и исследование геодезических проекций, без чего невозможно создание универсальных алгоритмов и программ для ЭВМ по отысканию наилучших и взаимосвязанных вариантов проекции для достижения оптимальных условий решения самых различных задач. Этим определяется актуальность проблемы, рассматриваемой в настоящей работе.
Работа посвящена исследованию общих методов организации вычислений в рамках отображения односвязных областей регулярных поверхностей, допускающих получение вычислительного алгоритма для широкого спектра конформных геодезических проекций с моделируемыми в известных пределах свойствами, удобного для реализации на ЭВМ. Такой подход имеет важное значение и мы надеемся найдет самое широкое применение при выборе оптимальных систем плоских прямоугольных координат для отдельных государств, регионов, а также для решения специальных задач локального характера, требующих минимально возможных искажений и максимально возможной точности их учета.
Общий подход и универсальный метод анализа геодезических проекций, допускающие изыскание их наилучших вариантов, удовлетворяющих критерию Чебышева — Граве, на основе единого вычислительного алгоритма, не имеют аналогов и представляют собой новое научное направление, обеспечивающее в современных условиях оптимальное решение следующих задач на плоскости геодезических проекций: изыскание в атоматическом режиме с широким использованием компьютерных технологий наилучших геодезических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева — Граве, применительно к самым различным по очертанию границ территориям- —- обобщенный и объективный анализ геодезических проекций, применяемых в различных государствах и для решения различных специальных задач, как с точки зрения характеристик искажений, так и удобства практического примененияиспользование общих методов дифференциальной геометрии для отображения элементов геометрических образов в конформных отображениях односвязных областей регулярных поверхностей на основе общих для рассматриваемого класса конформных отображений выражений, удобных для вычислений на ЭВМ и обеспечивающих с необходимой точностью связь в полярных координатах на отображаемых поверхностях, что необходимо иметь в геодезических проекциях при редуцировании измерений — варьирование видом и распределением искажений внутри изображаемой области известных геодезических проекций, а также их композиции в рамках общего алгоритма вычислений с целью изыскания наилучшей геодезической проекции, отвечающей критерию Чебышева — Граветрансформация по общей методологии и алгоритму известных конформных картографических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева — Граве о наилучших проекциях, в геодезическиеучет изменений параметров и ориентировки земного эллипсоида в геодезических проекциях на основе общих дифференциальных формулрасширение круга потребителей и большая доступность измерительных спутниковых систем GPS и ГЛОНАСС путем использования в их математическом и программном обеспечении общего алгоритма вычислений в геодезических проекцияхформирование гибкой координатной среды геоинформационных систем, приспособляемой к условиям решаемой задачи и наилучшим образом обеспечивающей отображение информации на плоскости геодезической проекции;
Перечень решаемых задач определяет научное и практическое значение исследований.
Принципиальное отличие и научная новизна исследований, выполненных в настоящей работе, состоит в обобщенном анализе геодезических проекций с целью получения их наилучших вариантов, отвечающих критерию Чебышева — Граве, при этом обеспечиваются: во-первых, достаточно высокая для современных измерений точность вычислений всех компонентов геодезической проекцииво-вторых, на основании общих формул для вычислений, независимо от вида геодезической проекции, возможность составления унифицированных программ для ЭВМ по решению самых разнообразных задачв-третьих, представляется возможность автоматизации не только вычислений в широком классе геодезических проекций, но и выбор их наилучшего варианта, обусловленного конкретными условиями решаемой задачи.
На защиту выносятся следующие положения: общая теория алгоритмического описания конформных геодезических проекций с моделируемым распределением искажений для ограниченных по размерам областей — общая методология преобразования конформных картографических проекций, в том числе, получаемых на основе поликонических в широком смысле проекций Лагранжа, удовлетворяющих критерию Чебышева — Граве, в геодезические при отображении малых областей;
— общие принципы и пути формирования наилучших композиционных геодезических проекций на основе известных в математической картографии методов и возможностей обобщенного алгоритмического описания отдельных проекций, их составляющих;
В настоящую работу включены основные результаты исследований, выполненных лично автором.
Основные положения диссертации докладывались автором и одобрены:
— на IV Всероссийском форуме «Геоинформационные технологии. Управление. Природопользование. Бизнес.» (Москва, 2.
6 июня 1997 г.);
— на республиканской научно-технической конференции «Геодезия, картография и кадастры.» (ПГУ, г. Новополоцк, март 1997 г.);
— на научно-техническом совете Белорусского Государственного Комитета по земельным ресурсам, геодезии и картографии (г. Минск, январь 1998 г.) — v v i.
— на международной научно-техническои конференции, посвященной 100 — летию со дня рождения профессора И. В. Зубри цкого (БСХА, г. Горки, февраль 1998 г.);
По теме диссертации опубликована монография объемом 125 страниц и 12 научных статей.
Диссертация состоит из введения, пяти глав основной части, выводов, списка из 88 использованных источников, таблиц 28, общий объем составляет 183 страницы машинописного текста.
ВЫВОДЫ.
В результате выполненных исследований и на основе анализа геодезических проекций, применяемых в различных странах, подтверждается тезис о том, что несомненными преимуществами обладают проекции, полученные на основе теории конформных отображений поверхностей. Главным их достоинством является независимость частного масштаба изображения длин от направления, что для практики применения проекции имеет большое значение, так как при этом существенно упрощается и унифицируется решение задачи редуцирования на плоскость линейных измерений.
Практически все многообразие известных и широко распространенных, а также новые геодезические проекции представлены весьма узким семейством, следуемым из общей теории конформных отображений регулярных поверхностей и определяемым, как справедливо указывал на это профессор В. Морозов [40], вполне определенными ограничениями. Это позволило для любых двух односвязных областей регулярных поверхностей выразить общие уравнения теории конформных отображений в частных производных в виде алгоритмов: (1.23) и (1.24), (1.27) и (1.28), удобных для вычислений на ЭВМ и имеющих общий вид для данного семейства проекций. На этой основе предлагаются общие для данного семейства взаимных конформных отображений поверхностей уравнения для вычисления основных характеристик проекций, а также уравнения связи полярных геодезических координат на любых регулярных поверхностях: (1.29) -(1.37), (1.39) — (1.41), (1.43) — (1.47).
Показано, что в рамках общего алгоритма, описывающего взаимное отображение поверхности эллипсоида вращения и плоскости в различных видах конформных отображений, применяемых для геодезических целей, для получения какого-либо частного случая необходимо и достаточно получить уравнение гармонического вида для изображения на плоскости меридиана эллипсоида, принимаемого за осевой в зональной системе. При этом заложена возможность варьирования значением в центральной точке изображаемой области, что обеспечивает в определенных пределах возможность управления распределением линейных искажений в этой области. Показано, что только это уравнение определяет вид геодезической проекции из класса конформных.
Получены формулы для вычисления коэффициентов определяющих вид геодезических проекций (2.4 — 2.6), (3.14), (3.19) и обеспечивающие вычисление плоских прямоугольных координат и редуцирование расстояний в геодезической проекции с погрешностью, не более 0.001 м, дирекционных углов и азимутов — 0.001″, широт и долгот — 0.0003″, если изображаемая область эллипсоида ограничена сфероидической трапецией с разностью долгот ЛЬ < 12 и разностью изометрических широт Ад < 12°дпя цилиндрических и конических проекций. В проекциях азимутальных, композиционных и проекциях, полученных на основе поликонических проекций Лагранжа, указанная точность обеспечивается при размерах изображаемой области эллипсоида, ограниченной окружностью, эллипсом либо овалом, описанными около этой трапеции. Для конических проекций получены рекуррентные формулы (2.6), позволяющие вычислить любое число коэффициентов Cj, при этом размеры области эллипсоида, отображаемой на плоскости с указанной выше точностью, должны удовлетворять лишь критерию их односвязности.
На основе исследований, выполненных в настоящей работе, получен общий алгоритм вычислений, удобный для реализации на ЭВМ, для конформных геодезических проекций определенного семейства, который апробирован на различных примерах .
Теоретически обосновано и подтверждено на примерах вычислений, что при общих начальных параметрах В0, Ь0,т0 геодезических проекций класса, описанного общим алгоритмом, плоские прямоугольные координаты в различных их видах отличаются лишь на малые величины третьего порядка, а величина сближения меридианов на плоскости вообще не зависит от изменения значения т0. Значение геодезической кривизны изображения геодезической линии одной поверхности на другой при этих условиях меняется, но незначительно и остается малой величиной того же порядка, что и при значении масштаба в центральной точке изображаемой области, равном единице. На этом основании сделан вывод о том, что выбор наилучшей геодезической проекции возможно производить только на основе оптимизации линейных искажений, что характерно для любых конформных проекций.
Получены формулы (2.38) — (2.55) для предрасчета точности вычислений различных элементов геодезической проекции описанного общим алгоритмом, независимо от ее вида, которые несложно ввести в общий алгоритм вычислений в геодезических проекциях на ЭВМ для автоматизации процесса выбора основных параметров проекции при конкретных условиях.
Показаны основные пути моделирования оптимальной геодезической проекции по характеру распределения и величине линейных искажений внутри изображаемой области путем выбора вида проекции из определенного общей теорией класса и значения для нее.
В результате исследования общего алгоритма геодезических проекций сделан вывод о том, что, моделируя значения для изображаемой области, можно примерно вдвое по абсолютной величине уменьшить максимальные линейные искажения внутри ее, существенно увеличив при этом окрестности регламентируемых и пренебрегаем©малых линейных искажений, в известных пределах перемещать эти окрестности внутри изображаемой области, придавать им различную форму.
В результате выполненных исследований вычислительных возможностей общего алгоритма конформных геодезических проекций, сделан вывод о том, что он может эффективно применяться с целью изыскания наилучшей в конкретных условиях координатной среды для отображения на плоскости информации о геометрических образах эллипсоида с точностью, необходимой и достаточной для решения самых различных задач с учетом современных требований.
Многочисленные и продуктивные исследования в области математической картографии по поиску наилучших или идеальных картографических проекций обеспечили возможность разработки общей методологии и общего теоретического обоснования (в рамках и на основе предлагаемого общего алгоритма) получения геодезических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева — Граве о наилучших конформных проекциях.
Для этой цели исследованы основы формирования композиционных геодезических проекций с использованием методов, рассматриваемых в работе А. Лисичанского [34] для картографических проекций, при этом показана возможность автоматизации этого процесса путем композиции коэффициентов, определяющих в общем алгоритме вид геодезической проекции, а не координат. При этом композиционные проекции сохраняют конформность и для них также возможно моделирование значения масштаба в центральной точке проекции по общей методике, описанной для отдельной проекции. Исследования, выполненные в настоящей работе, позволяют сделать вывод о том, что в композициях могут участвовать не только цилиндрические и конические с азимутальными, но и конические с цилиндрическими проекции, возможны также композиции не только пар, но и групп проекций, если это необходимо.
Исследованы вопросы получения геодезических проекций на базе поликонических конформных проекций Лагранжа с использованием исследований, приведенных в работах Л. Бугаевского для решения задач математической картографии и обобщающих, как показано в работах [10−13], довольно широкий спектр конформных проекций. В результате предложена общая методология трансформации конформных картографических проекций в геодезические с использованием общего алгоритма, получены коэффициенты, определяющие поликонические геодезические проекции Лагранжа, при этом указано место известных геодезических проекций: квазистереографической Руссиля, стереографической Гаусса и конической Ламберта как частных случаев поликонических проекций Лагранжа.
Отмечается то, что применение для геодезических целей конформных проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева.
Граве о наилучших проекциях, вполне оправдано с применением компьютерных технологий и на базе общего алгоритма конформных геодезических проекций .
Учитывая современные тенденции в развитии геодезических измерений и вычислений [1,5,17,28,35,38], определение как современных стандартных приборов для геодезических измерений спутниковых приемников GPS и ГЛОНАСС и общеземной системы координат WGS-84 или ПЗ-90, предлагаются общие принципы модернизации геодезической основы для небольших по размерам государств. Для осуществления связи между различными координатными системами как референцными, так и общеземными предлагаются дифференциальные формулы для плоских прямоугольных координат геодезических проекций, определяемых общим алгоритмом (4.10) — (4.12). При этом показано, что при размерах координатных зон в геодезических проекциях не более того, как это принято в проекции Гаусса-Крюгера, дифференциальные формулы для преобразования плоских прямоугольных координат не зависят от вида геодезической проекции и являются общими, если учесть реальные отличия параметров и ориентировки референц-зллипсоида Кра-совского и общего земного эллипсоида.
Точность дифференциальных формул для плоских прямоугольных координат в геодезических проекциях соответствует точности дифференциальных формул для геодезических координат, при этом существенно упрощается практическая задача по установлению новой системы координат для некоторых государств. Указывается, что при этом основной проблемой является установление исходных параметров преобразований (4.3), приводятся некоторые пути ее решения, однако для государств, в качестве координатной поверхности использующих референцэллипсоид Красовского, можно использовать параметры преобразования при переходе на общий земной эллипсоид, приведенные в работе [1].
Отмечается роль и значение гибкой и приспособляемой координатной среды для оптимального отображения баз данных геоинформационных систем, формируемых на основе компьютерных технологий, отмечаются ограниченные возможности традиционной для нас системы зональных координат Гаусса-Крюгера, как и любой другой системы, полученной на основе какой — либо отдельно взятой геодезической проекции.
На примере отдельных государств рассмотрены основные принципы выбора различных, в том числе и наилучших геодезических проекций в зависимости от размеров и формы контуров их территорий, а также основных параметров оптимизации. Приведены расчеты основных критериев точности вычислений в геодезических проекциях, обусловленные современными возможностями измерений с применением спутниковых приемников GPS — ГЛОНАСС.
На примере административных областей Республики Беларусь предложен порядок введения оптимальных региональных систем координат. Приведены основные величины, характеризующие максимально возможные линейные искажения внутри региона для различных видов, в том числе и для наилучших геодезических проекций, что подтверждает эффективность их применения.
Предложено три варианта выбора локальных систем координат, обеспечивающих минимально возможные искажения. Приведены основные параметры локальных систем на примере городов Москвы и Минска, которые обеспечивают минимально возможные искажения внутри локальной территории и математически строгую связь как с общегосударственной, так и с региональной системами.
Сформулированы научно-техническиеосновы и требования к выбору оптимальной геодезической проекции, определяющей гибкую и приспособляемую координатную среду геоинформационных систем различного назначения и содержания на основе общего алгоритма вычислений на ЭВМ.
