Вычисление спектра интегрируемых систем с несколькими степенями свободы посредством уравнения Бакстера

Термин «интегрируемые системы» восходит к классической, во всех смыслах этого слова, теореме Лиувилля. Она утверждает, что если в системе имеется набор независимых величин, находящихся в инволюции, причем количество этих величин совпадает с числом степеней свободы, то уравнения Гамильтона интегрируемы в квадратурах. С появлением квантовой механики понятие инволюции трансформировалось — вместо обращения в нуль скобки Пуассона величин теперь требовалась коммутативность операторов. Изменилась также постановка основной задачи: в отличие от классических систем, для которых первоочередным вопросом является интегрирование уравнений движения, в исследовании квантовых центральную роль играет спектральная проблема. А именно — поиск волновой функции, общей для всех интегралов, и их спектра.

В настоящее время квантовые интегрируемые системы классифицируются и изучаются в рамках Д-матричного формализма метода обратной задачи [7, 5]. Рассмотренные в данной работе модели порождены следующими фундаментальными коммутационными соотношениями:

Я (щ — и2) Щщ) ®I)(I® L (u2)) = (L (u2) ® I) (/ ® Ь (щ)) R (m — и2). (1).

Вид L — матрицы 2×2 с операторными элементами, зависящими от спектрального параметра и — специфичен для каждой системычисловая R-матрица — решение уравнения Янга-Бакстера — определяет их класс. В работе представлены интегрируемые системы, связанные с рациональной и тригонометрической Д-матрицами.

Тот факт, что произведение матриц L, действующих в различных квантовых пространствах, также удовлетворяет соотношениям (1), позволяет формировать составные объекты. Кроме того, инвариантность фундаментальных коммутационных соотношения относительно сдвига спектрального параметра дает возможность ввести неоднородность в узлах системы. Интегрируемая система, порожденная матрицей монодромии г (и) = (од т)=Ln[u~Cn)—-Ыи~C2)Li{u~Ci) — (2) физически интерпретируется как цепочка из N частиц с взаимодействием преимущественно между соседними узлами. След матрицы монодромии t (u) = А (и) + D (u) служит генерирующей функцией интегралов движения системы. Заложенная в фундаментальные коммутационные соотношения перестановочность следов матрицы монодромии с различными значениями спектрального параметра гарантирует, что интегралы движения действительно находятся в инволюции, то есть взаимно коммутируют. Спектральная задача формулируется в виде уравнения t{u)4f = т (и) Ф, (3) где общая для всех интегралов волновая функция Ф не зависит от и.

Традиционным способом решения спектральной проблемы (3) является анзац Бете. Предложенный еще в 1931 г. Г. Бете [16,11], он до сих пор является весьма популярным методом определения спектров и волновых функций интегрируемых систем. В современной, алгебраической формулировке [25] анзац Бете выглядит так — волновая функция ищется в виде = В (им).В (и2)В (щ)%, (4) где um, m = 1,., М — набор неизвестных комплексных чисел (параметров Бете), аФ0~ состояние математического вакуума, т. е. такое, что.

С (и)% = 0 (5) для любого и. При подстановке (4) в (3) возникает система из М нелинейных алгебраических уравнений на параметры Бете. Решая ее, получают волновую функцию (4) вместе со значениями интегралов движения, так как т (и) также выражается через um, т = 1,., М.

Однако анзац Бете имеет ряд недостатков. Во-первых, ограниченная применимость метода — существует значительное количество интегрируемых систем, таких, например, как рассмотренная в данной работе цепочка Тоды, у которых отсутствует состояние вакуума (5). К таким системам метод оказывается принципиально неприменимпри попытке решать аналоги уравнений Бете получаются лишь некоторые приблизительные результаты, далекие от реальных. Во-вторых, сложность системы нелинейных уравнений представляет серьезную проблему при выполнении практических вычисленийосновная трудность заключается в правильной локализации искомых решений.

В 90-х годах был разработан иной способ [35, 36] решения спектральной проблемы (3) — квантовое разделение переменных. Смысл метода заключается в переходе к представлению, в котором волновые функции факто-ризуются — распадаются в произведение, причем каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Функция, удовлетворяющая (3), ищется в виде интеграла по пространству разделения R^-1.

00 00.

Ф (х) = J. J К (xvi,.,) Ф (vi,. dvi. di>Ar-i • (6) oo —oo.

Размерность пространства разделения на единицу меньше исходного, ибо значение первого интеграла движения, интерпретируемого как импульс или количество возбуждений, на этом этапе обычно фиксируется. У систем, обладающих состоянием вакуума, носитель ядра интегрального преобразования К (xvi,.,) дискретен, поэтому вместо интегрирования в (6) выполняется суммирование по (N—1)-мерной сетке. Чтобы волновая функция в новом представлении Ф (i^,. ., vm-i) факторизовалась, на ядро накладывается условие.

C (vj)K (xvl,., vN-1) = 0, j = l,., N-l. (7).

Выполнение условия приводит к тому, что диагональные элементы матрицы монодромии — А (и) и D (и) — действуют как сдвиговые операторы на К (xvi,. В результате, подстановка (6) в (3) приводит к распаду Ф (г>ь., w/v-i) на отдельные сомножители, каждый из которых удовлетворяет одному и тому же одномерному уравнению второго порядка — так называемому разностному уравнению Бакстера.

T{v)ip (v) = A+(v)(p (v + 1) + A~{v)(p{v — 1), (8) где Д+, А- — некоторые функции, специфичные для каждой интегрируемой системы. Впервые (8) было получено для восьми-вершинной модели в [12, 4], где отмечалось, что система анзаца Бете эквивалентна поиску нулей решения определенного разностного уравнения.

Несмотря на значительную методологическую ценность квантового разделения переменных, оно до сих пор не применялось в практических вычислениях. Причина этого кроется в отсутствии необходимого инструментария для работы с разностным уравнением Бакстера. Разработка такого инструментария была одной из целей данного исследования.

Если поиск решений системы Бете представляет собой хотя и сложную, но чисто техническую задачу, то возможность использования уравнения Бакстера для расчета спектра интегралов движения не представляется столь очевидной. Квантовое разделение переменных не является разделением переменных в классическом смысле этого слова, так как в (8) присутствует полный набор интегралов. По сути дела, метод свелся к постановке спектральной задачи (3) в новой форме — в виде обобщенной задачи Штурма-Лиувилля для разностного уравнения Бакстера. Возникает вопрос: пригодна ли эта новая форма для практических расчетов спектра интегралов движения? Приведенные в работе материалы подразумевают положительный ответболее того, квантовое разделение переменных оказывается предпочтительным с точки зрения вычислительной эффективности.

Хотя метод квантового разделения переменных не дает указаний, как именно решать уравнение Бакстера (8), он позволяет сформулировать условия отбора решений, необходимые для определения спектра. Основное условие — сходимость интеграла при переходе в исходное представление (6), что накладывает ограничения на поведение.

В работе представлены различные способы решения разностного уравнения Бакстера. Во-первых, это прямой метод, в максимальной степени учитывающий разностную природу уравнениядля обрыва трехчленных рекуррентных соотношений использовалась интерполяция Лагранжа. Трех-дорожечная структура возникающих матриц облегчает их одновременную диагонализацию, однако корректно прямой метод может применяться лишь к системам, обладающим вакуумом.

Во-вторых, применялись несколько разновидностей асимптотического метода, котррый предполагает работу с пределом по одному или нескольким параметрам, участвующим в уравнении. Предел описывается аналитически, затем решения либо непосредственно выражаются в виде асимптотического ряда, что было сделано для магнетиков, либо рассматриваются в базисе функций первого приближения, как в случае цепочки Тоды. Наконец, можно просто отследить эволюцию по указанным параметрам, что позволяет справиться с проблемой локализации решений нелинейных соотношений.

Перспективным также представляется переход от разностного к дифференциальному уравнению посредством интегрального преобразования. Это дает возможность применить к задаче развитую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и, прежде всего, анализ особых точек.

Разделение переменных с использованием указанных способов решения разностного уравнения Бакстера было применено к нескольким достаточно известным квантовым интегрируемым моделям, а именно — изотропному и частично анизотропному магнетикам Гейзеиберга (XXXи XXZ-magnet), дискретной системе с самовзаимодействием (DST), периодической цепочке Тоды. Перечисленные системы связаны между собой и образуют редукционную последовательность вида XXZ —> XXX -> DST -" Toda [37]. Расчеты велись ad numeri и их результаты сравнивались с полученными ранее [22, 32] иными методами. Ряд приведенных результатов имеют прикладное значение.

В частности, численно исследовался термодинамический предел магнетиков Гейзенберга, в котором происходит формирование струн — решений с компонентами вектора Бете, выстроенными перпендикулярно вещественной оси. Решения струнного типа выделялись из прочих и классифицировались согласно определенным признакам. Стоит отметить, что струнные характеристики решений коррелируют со значениями квантовых чисел, возникающих в рассмотренном асимптотическом пределе.

Также изучались статистические характеристики спектров, прежде всего — распределения расстояний между ближайшими соседними уровнями (Nearest Neighbour Spacing Distribution — NNSD). Как было показано в [14, 15], интегрируемые системы обладают весьма специфическими распределениями расстояний: плотность NNSD у них описывается убывающей экс-понентой, в отличие от обычных квантовомеханических систем, у которых наблюдается вигнеровское отталкивание уровней. Результаты проведенных для магнетиков расчетов в целом соответствовали ожиданиямоднако обнаружилось, что на расстояниях, сравнимых со средними расстояниями между уровнями, и больших плотность распределения убывает гораздо медленнее, нежели экспонента. Более адекватное описание дает степенная функция, причем ее показатель варьируется в зависимости от порядка интеграла в довольно узких пределах.

Основная содержательная часть диссертации состоит из четырех глав, каждая из которых посвящена отдельной интегрируемой системе — XXX, XXZ, DST и цепочке Тоды, соответственно. Структура глав выстроена приблизительно по одинаковой схеме. В начале кратко дается описание интегрируемой системы в терминах Я-матричного формализма и алгебраического анзаца Бете, если таковой существует. Внимание уделяется тем интегралам низшего порядка, чьи инвариантные подпространства описываются аналитически и значения в дальнейшем фиксируются. Далее излагается разделение переменныхдля систем обладающих вакуумом ядро интегрального преобразования K (xvi,., i>at-i) строится алгоритмически в бозонном представлении. Затем представлены те способы решения разностного уравнения Бакстера, которые применялись для данной интегрируемой системы. В случае магнетиков использовались прямой и асимптотический методы, в случае DST — комбинация этих методовдля цепочки Тоды — сочетание интегрального преобразования с асимптотическим подходом. Наконец, приведены результаты вычислений в различной форме, а также их сравнение с аналитическими приближениями и известными ранее расчетами. В главе, посвященной изотропному магнетику основной акцент сделан на изучении струнного предела, частично анизотропному — NNSDв случаях DST и цепочки Тоды результаты вычислений по большей части относятся к исследованию эволюции по параметру взаимодействия.

Заключение

.

В настоящей работе рассмотрены четыре квантовые интегрируемые модели: изотропный и тригонометрический магнетики Гейзенберга, дискретная система с самовзаимодействием, периодическая цепочка Тоды. Получены следующие, обладающие научной новизной, результаты:

• Построены ядра разделяющих операторов в плоском координатном представлении.

• Предложено и реализовано в виде вычислительной процедуры несколько способов решения разностного уравнения Бакстера.

• Исследован струнный предел магнетиков. Струнные решения были выделены из прочих и классифицированы. Показана связь между квантовыми числами, возникающими в рассмотренном асимптотическом пределе и струнными характеристиками решений.

• Изучены статистические характеристики спектров на больших наборах состояний (до 2 • 105 шт.). Обнаружено, что плотность распределение расстояний между соседними уровнями хорошо описывается убывающей экспонентой лишь при малых расстоянияхпри бблыних расстояниях лучшую аппроксимацию дает степенная функция.

• Исследована эволюция по константе связи дискретной системы с самовзаимодействием и трехчастичной периодической цепочки Тоды.