Интегрируемые модели для уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера

В современных исследованиях по математической и теоретической физике выделяют следующие две основные задачи из многих других не менее важных: получение точных решений уравнений математической физики и разработка и применение наиболее общих или эффективных методов для их точного решения. К настоящему времени уже есть множество точных результатов по многим уравнениям квантовой физики, таких, как уравнение Шредингера, Рариты-Швингера, Дирака и др., и еще больше задач до сих пор не решены даже приближенно. Это связано с тем, в частности, что уравнения со временем распространяются на более широкие классы задач и становятся тем самым сложнее. Так открытие уравнения Дирака для релятивистской частицы спина ½ в плоском пространстве позволило открыть новые частицы и их античастицы, предсказать новые эффекты, такие, как рождение частиц из вакуума в сильных электромагнитных полях и т. д. Теория уравнения Дирака для плоского пространства хорошо изучена: указаны пределы применимости этого уравнения, построены модели взаимодействия частиц спина ½ с электромагнитным полем, развит формализм уравнения Дирака с точки зрения теории групп и т. д., этим вопросам посвящено множество книг и монографий, некоторые из них [38,41,42,43,57,63]. Затем уравнение Дирака и другие волновые уравнения были естественно обобщены на случай искривленных пространств. Прекрасное изложение теории и данных экспериментальных наблюдений можно найти, например, в [35, 56, 66].

Вопросы получения точного решения физического уравнения напрямую связаны с понятием его интегрируемости. Настоящая работа посвящена вопросам интегрирования уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситте-ра. Традиционно точные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. В основе метода разделения переменных лежит теория В. Н. Шаповалова [71], С. Бененти, М. Франкавиглия [3],[4] согласно которой провести процедуру разделения можно только при наличии у дифференциального уравнения коммутативной алгебры симметрии. По-видимому, провести корректно процедуру разделения переменных в уравнении Дирака возможно только в так называемых Штеккелевых пространствах. В этом направлении большая работа проделана группой В. Г. Багрова [б],[7]. Отметим, что для разделения переменных в уравнении Дирака нет общепринятого определения. Существуют разные подходы, которые в Штеккелевых пространствах дают, по-видимому, одинаковый результат. Ситуация с процедурой разделения в матричных уравнениях осложняется тем, что существуют примеры гравитационных полей Штеккелева типа, в которых нельзя последова-* тельно провести процедуру разделения переменных в уравнении Дирака, в то время как для уравнения Клейна-Гордона такая процедура возможна [22]. В. Н. Шаповаловым доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях разделения переменных в скалярном уравнении второго порядка [72]. Для уравнения Дирака в настоящее время известны только необходимые условия о разделении переменных. Решением уравнения Дирака в рамках метода разделения переменных занимались многие исследователи. Достаточно полно изучен класс пространств, где уравнение Дирака допускает разделение переменных, и получены соответствующие точные решения в работах В. Г. Багрова, В. В. Обухова, В. Н. Шаповалова, А. В. Шаповалова и др. [37],[34]. Отметим также значительный вклад математиков Е. Калнинса, В. Миллера [21] и Р. Рудигера [27]. На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы новых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или римановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получение точных решений в данном уравнении методами, отличными от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля, при учете поправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить.

В данной работе мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах X. Тетрода [31], В. А. Фока [13] и X. Вейля [32], дальнейшее развитие теория получила в работах В. Н. Шаповалова [70], Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спин-дела [8],[25]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано К.Ц. Ханнабу-сом [17]. Нахождению решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера посвящено множество работ и монографий. В основном все они базируются на методе разделения переменных. В работе Г. В. Шишкина [29] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит критерий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [26].

Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе А. В. Шаповалова и И. В. Широкова [67]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных, нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры существуют). Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл.

В процессе работы по нахождению решений уравнения Дирака мы установили, что в алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симметрии выражаются через себя полиномиально, более точно.

В литературе такие объекты называются W-алгебрами [16, 11]. Некоторая классификация 1У-алгебр дана в работе [2], полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (1) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами Ж-алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Расширение нашей линейной алгебры до квадратичной в некотором смысле единственно. С помощью линейных подалгебр Ли нам удалось провести процедуру интегрирования уравнения Дирака в полном объеме и даже найти спектр массивной частицы. Для проведения процедуры интегрирования уравнения Дирака мы используем только один оператор из расширения. Остальные операторы из расширения непригодны, из-за наличия функциональных соотношений между ними. Интересно, что рассмотренная нами квадратичная алгебра является общей для уравнения Дирака как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Это приводит к тому, что можно построить решения уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с общей переменной. В нашем случае эта переменная представляет собой обобщенный интервал в плоском пространстве. По-видимому, на это впервые обратил внимание Котаеску в работах [9], [10] в случае пространственного интервала. Мы используем этот факт для построения решений уравнения Дирака в плоском пространстве по известному решению в пространстве де Ситтера.

Краткое содержание работы. п п.

В первой главе даны общие определения теории уравнения Дирака в римановом пространстве и его операторов симметрии, которые условно делятся на киллинговые (лоренцевы) и спинорные. Киллинговые (лоренцевы) симметрии строятся по векторному полю Киллинга, спинорные симметрии строятся по спинорным полям, к которым относятся поля Яно и Яно-Киллинга.

Во второй главе изложены основные положения метода разделения переменных и метода некоммутативного интегрирования. Проведено сравнение этих двух методов.

В третьей главе найдены поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. По этим полям, а также по полям Киллинга построены операторы симметрии и показано, что эти операторы в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера совпадают (эквивалентны). Соответственно алгебры симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера эквивалентны. Построенная алгебра является квадратичной, но содержит линейные подалгебры, которые удовлетворяют условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости.

В четвертой главе построены интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера, найдены точные решения — волновые функции, проведен анализ спектра де Ситтеровской частицы и приведена одна точно решаемая модель с граничным условием склейки плоского пространства и пространства де Ситтера.

В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, следующие:

1. Нахождение полного числа решений уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера.

2. Изучение алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах. Исследование вопроса построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрированиявыделение подалгебр Ли, удовлетворяющих условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости, из общей 11-мерной квадратичной алгебры симметрии.

3. Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера методом некоммутативного интегрирования, нахождение нового класса точных решений.

4. Подход к построению точных решений уравнения Дирака в одной модели асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского пространства.

Заключение

.

Вопрос построения точно интегрируемых моделей движения-один из самых важных в квантовой физике. Несмотря на то что многие физические модели не поддаются аналитическому решению, исследуют ассимптотику, применяют теорию возмущений и другие приближенные методы, все же нахождение точных решений всегда будет актуально. В данной работе исследовались способы построния точных решений для плоского пространства и пространства де Ситтера.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Построены все решения на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатурыпоказано, что число решений одинаково и равно 25.

2. По найденным полям Яно и Яно-Киллинга построены алгебры операторов симметрии первого порядка уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатурыпоказано, что число операторов симметрии в обоих пространствах совпадает и равно 25. Среди этих 25 операторов 11 операторов симметрии совпадают для обоих пространств и не зависят от кривизны, другие 14 в пространстве де Ситтера зависят от кривизны явно. В общем случае, вся алгебра операторов симметрии уравнения Дирака является квадратичной. В данной алгебре выделены подалгебры Ли.

3. Найдено 8 алгебр Ли в общей алгебре операторов симметрии уравнения Дирака, которые удовлетворяют теореме о некоммутативном интегрировании. Обнаружено внутреннее свойство некоторых подалгебр, что в них содержатся функциональные соотношения отличные от коммутаторов. Так в 4-х из 8 упомянутых подалгебрах есть функционые соотношения, и из-за их наличия становится невозможным проведение процедуры некоммутативного интегрирования уравнения Дирака с помощью этих подалгебр. Утверждение об отсутствии функциональных соотношений определено как критерий проведения процедуры некоммутативного интегрирования. Перечислены все такие подалгебры.

4. Приведен класс моделей движения частицы со спином ½ в гравитационных полях Минковского и де Ситтера произвольной сигнатуры. Построен 1-й класс интегрируемых моделей включающих только Киллинговы операторы. В пространстве Минковского найдены для таких систем точные решения, которые согласуются с известными результатами в литературе. Построен 2-й класс интегрируемых моделей, включающий Киллинговы симметрии и негеометрическую симметрию Яно, называемую спинор-ной. Симетрии Киллинга и Яно найдены общими и для плоского пространства, и для пространства де Ситтера, поэтому интегрирование проводится одинаково. Получены точные решения. Особенностью 2-го класса движений является то, что инвариантной переменной является интервал и как следствие, данная система имеет 4-сферическую симметрию. Показано, что энергетический спектр электрона не зависит от сигнатуры. Найдены характерные оценки для кривизны пространства, в котором возможно взаимодействие с гравитационным полем. Построена модель сшивки плоского пространства и пространства де Ситтера с граничными условиями в виде светового конуса. t f.