Волновая функция частицы в электромагнитном поле

Релятивистское уравнение Дирака [1−3] для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле — основа релятивистской квантовой механики и квантовой электродинамики. Точные решения этого уравнения и уравнения Дирака-Паули [3, 4] представляют особый физический интерес, так как они, определяя, в основном, картину движения частиц со спином ½ во внешнем электромагнитном поле, являются в то же время базой для получения с помощью квантовой электродинамики точной картины движения такой частицы. Наиболее известные решения уравнения Дирака появились в такой последовательности: стационарная волновая функция в кулоновском поле — в 1928 году [5, 6], в постоянном и однородном магнитном поле — в 1930 [7], решение в плоской электромагнитной волне — в 1935; а, когда волна распространяется вдоль постоянного и однородного магнитного поля — в 1965 году [9]. Решение уравнения Дирака-Паули в постоянном и однородном магнитном поле найдено в 1965 [10] ив 1966 году [11]. В постоянном электрическом поле — в 1966 [12, 13], в плоской электромагнитной волне в 1967 [14] и в 1968 году [15, 16]. Другие точные решения этих уравнений приведены в монографиях [17, 95]. Точных решений уравнений для частиц со спином 1 существенно меньше. Уравнение Кеммера [18 -20] в постоянном однородном магнитном поле для заряженной частицы решено в 1949 году [21], для заряженной частицы с аномальным магнитным моментом — в 1970 [22] и в 1971 году [23]. Решение уравнения Кеммера для заряженной частицы, движущейся в плоской электромагнитной волне, приведено (с легко исправимой опиской) в 1966 году [24]. Исследование точных решений уравнений Дирака и Дирака-Паули в электромагнитном поле наиболее полно представлено в монографиях [17, 95], а движение дираковской частицы в постоянном магнитном поле анализировалось в сравнительно многочисленных публикациях, в том числе в [25 — 33]. Исследование уравнений для частиц со спином 1 малочисленны и абстрактны. Характер этих исследований иллюстрируют работы [34 -36]. Уравнение Кеммера [18 -20] и уравнение Брейта [37, 38, 3, 20] описывают поведение частицы со спином 0 и 1 хуже чем уравнение Дирака описывает поведение частицы со спином ХЛ. Поэтому желательно иметь как можно больше решений этих уравнений в разных электромагнитных полях, чтобы, сопоставляя эти решения друг с другом и точными решениями уравнения Дирака и Дирака-Паули, сделать вывод: какое же из этих уравнений — Кеммера или Брейта — предпочтительнее для описания поведения частиц со спином 0 и 1. Поэтому основная тема первой части диссертации — получение новых решений уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта, сопоставление и анализ этих решений.

Решения уравнений Дирака и Дирака-Паули представлены в виде суммы произведений уматриц Дирака на компоненты, зависящие только от координат.

39, 40, 2]. Такая запись решения эквивалентна обычной записи в виде четырехрядных квадратных матриц [1, 3, 41 — 45]. Для перехода от представленной записи решения к матричной записи в дополнение приводится конкретный вид уматриц Дирака, которые образованы только из чисел 0, ±1 и ±/. Поскольку большинство их элементов равно нулю, перемножение этих матриц и, следовательно, переход к обычному решению не сложен.

Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейта находилось в виде суммы произведений компонент, зависящих от координат, на гиперкомплексные группы, которые выбраны так, чтобы для свободной частицы со спином 1 шесть компонент этого решения, когда масса частицы стремится к нулю, в пределе совпали с проекциями электрического и магнитного поля свободной электромагнитной волны, а четыре — с компонентами ее четырехвектора. Для уравнения Кеммера система уравнений, определяющих эти компоненты, идентична уравнениям Прока [46].

В работах [47 — 49] утверждается, что заряженная частица со спином 1 в кулоновском поле в рамках уравнения Кеммера не имеет регулярных стационарных волновых функций. Поэтому во второй главе находятся условия существования стационарных волновых функций у таких частиц в кулоновской поле как в рамках уравнения Кеммера, так и уравнения Брейта, а затем рассматривается эффект Зеемана у двух связанных друг с другом частиц с разными спинами: 0 и 0, 0 и ½, ½ и ½. Кроме этого, в начале второй главы рассматривается в нерелятивистском приближении влияние меняющегося во времени однородного магнитного поля на оптические свойства среды и на спонтанную эмиссию атомов, а также магнитооптика электронного газа.

Верхние и нижние оценки энергии связи N частиц, связанных друг с другом гравитационным потенциалом впервые, в рамках уравнения Шредингера, приведены в [50, 51], затем [52 — 60]. В третьей главе диссертации эти оценки уточняются и дополняются оценками состояния частиц, ранее не исследованных. Затем, используя лишь математические приемы, оценивалось влияние температуры звезды на ее плотность и на плотность термодинамически равновесной газовой среды в окрестности звезды. В этой главе оценивается влияние на энергию частиц их кулоновского взаимодействия, когда полный заряд частиц равен нулю. В частности, оценивается сверху и снизу энергия частиц в сжатом водороде.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТ, ИЗЛОЖЕННЫХ В ДИССЕРТАЦИИ.

1. Получены новые решения уравнения Шредингера, Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта и аналогов уравнений Кеммера и Брейта в электромагнитном поле.

2. Приведены примеры, иллюстрирующие предпочтительность использования для описания частиц со спином 0 и спином 1 уравнения Брейта, а не Кеммера.

3. Найдены условия авторезонансного ускорения дираковских заряженных частиц бегущим магнитным полем и условия захвата заряженных дираковских частиц и частиц, описываемых уравнением Кеммера и уравнением Брейта, бегущим электрическим полем.

4. Рассчитаны магнитооптические параметры электронного газа и газов из частиц, описываемых уравнением Кеммера и уравненем Брейта.

5.Показано, что среду, коэффициент преломления которой уменьшается с течением времени, можно использовать для эффективного усиления светового потока.

6. Предложен новый и самый простой способ двусторонних оценок собственных чисел уравнений квантовой механики и новый вариационный способ оценки суммы п первых собственных чисел уравнения Шредингера, которые использовались для оценок собственных чисел конкретных состояний частиц.

НАУЧНЫЙ МАТЕРИАЛ, ВЫНОСИМЫЙ НА ЗАЩИТУ.

1. Точные решения уравнения а) Дирака для заряженной частицы, которые имеют вид бегущей со скоростью света волны, когда частица движется в постоянном магнитном поле, гл. 1 (1), [61], в бегущем магнитном поле, гл. 1 (3), [61]- б) Дирака-Паули для частицы с аномальным магнитным моментом.

— в бегущем магнитном поле, гл. 1 (4);

— в циркулярно поляризованной волне и в продольном постоянном магнитном и электрическом полях, гл. 1 (6), [62];

— в плоско поляризованной волне и поперечном постоянном магнитном и электрическом полях, гл. 1 (7), [63]- в) Кеммера и уравнения Брейта для заряженной частицы.

— в бегущем электрическом поле, гл. 1 (9,10) — в циркулярно поляризованной волне, гл. 1 (14), [64 — 66];

— в плоско поляризованной волне, гл. 1 (12), [66]- г) Кеммера и уравнения Брейта для частицы с аномальным магнитным моментом.

— в бегущем электрическом поле, гл. 1 (2);

— в циркулярно поляризованной волне, которая распространяется вдоль постоянного магнитного поля, гл. 1 (16, 17) — д) Кеммера для заряженной частицы в циркулярно поляризованной волне и продольном магнитном поле, гл. 1 (15), [67]- е) Брейта и точные решения аналогов уравнения Кеммера и Брейта для заряженных частиц со спином 3/2 и 2 с аномальным магнитным моментом в 4 постоянном и однородном магнитном поле, гл. 1 (18), [68]- ж) Шредингера для атома водорода в однородном магнитном поле, которое меняется во времени как по величине, так и по направлению, гл. 2 (1), [69].

2. Сравнительный анализ решений уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта, из которого следует, что в отличие от уравнения Кеммера, волновая функция уравнения Брейта, как и волновая функция дираковской частицы.

— имеет везде положительную плотность вероятности и дает для скорости частицы величину, лишь в пределе достигающую скорости света, гл. 1, (8, 11 -14), [64−66];

— в сильном магнитном поле при больших квантовых числах имеет собственные числа, в пределе совпадающее с собственными числами полученными, в квазиклассическом приближении, гл. 1 (8);

— в кулоновском поле регулярна гл. 1 (9).

3. Уравнения движения частиц в электромагнитной волне, оптика и магнитооптика а) электронного газа, гл. 1 (4 — 7), гл. 2 (7), [62, 63, 70 — 74]- б) газа из векторных мезонов, гл. 1 (11, 14−16), [64 — 67]- в) газа из частиц, которые движутся в рамках уравнения Брейта, гл. 1 (12, 14, 17), [65, 66].

4. Анализ уравнения Кеммера и уравнения Брейта в кулоновском поле, из которого следует, что оба уравнения имеют в достаточно слабом поле собственные функции, однако регулярны они только у уравнения Брейта, гл. 2 (9, 11), [75, 76].

5. Магнитооптика в переменном магнитном поле, в которой имеют место эффекты а) когерентное усиление света средой, если показатель преломления среды с течением времени уменьшается, гл. 2 (2, 3), [77, 78]- б) независимость спонтанной эмиссии от скорости изменения магнитного поля, гл. 2 (1), [69].

6. Релятивистская поправка к линейному эффекту Зеемана в кулоновском поле, гл. 2 (8), [79].

7. Эффект Зеемана в системе двух связанных.

— дираковских частиц, гл. 2 (10), [80];

— скалярных частиц, гл. 2 (12) — скалярной и дираковской частиц, гл. 2 (13), [68].

8. Связь уравнения Кеммера и уравнения Брейта с уравнениями Максвелла, гл. 2 (14), [81].

9. Использование метода Заутера [39, 40, 2] для анализа состояний со спином, не равным ½, гл. 1 (8 — 19), гл. 2 (10 — 14), [82 — 84, 80, 68, 64 — 67].

10. Теорема, справедливая для уравнения Шредингера, Дирака, Дирака-Паули, Брейта и для аналогов уравнения Брейта: область значений вещественного функционала Н^/1? включает в себя хотя бы одно собственное л число Яп дифференциального уравнения —, если функция? удовлетворяет тем же граничным условиям, что и хУп. Поэтому, меняя функцию так, чтобы область значений функционала НЧ'/ЧР была как можно уже, получаем двустороннюю оценку собственного числа уравнения Йх? п =Лпх?я) точность которой увеличивается по мере увеличения числа изменяемых параметров в У, гл. 2 (9), [82 — 84, 76, 77].

11. Теорема: сумма первых к собственных чисел уравнения Шредингера.

НХКП =ЯЧ/&bdquoменьше суммы <р, |Н<�р,), где <р (- любые ортонормированные вещественные функции, удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и гл. 3 (4), [88].

12. Новые двусторонние оценки собственной энергии системы многих частиц, связанных друг с другом.

— гравитационным взаимодействием, гл. З (1 — 3), [88 — 90];

— кулоновским взаимодействием, гл. З (8 — 10), [88. 91].

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводятся и обсуждаются точные, а во второй — возмущенные решения уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта в электромагнитном поле. В третьей главе в рамках уравнения Шредингера оцениваются сверху и снизу собственная энергия системы многих частиц, связанных друг с другом гравитационным или кулоновским взаимодействием. Кроме этого, во второй главе в рамках уравнения Шредингера анализируются особенности воздействия на атомы.

11 переменного магнитного поля. Начинается диссертация введением, список литературы и дополнение находятся в конце диссертации.

Основные результаты трегьей главы — в рамках уравнения Шредиигера оценена плотность околозвездной водородной плазмы, которая находится в термодинамическом равновесии с нейтронной и водородной звездой, и оценены давления, при которых водород переходит в металлическое состояние, нейтронизуется, и, если бы не было нейтронизации, перешел бы в плазменное состояние.

В этом заключении отражены лишь результаты, полученные в рамках основной задачи каждой главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В первой главе показано, что движение частицы со спином 0 и 1 лучше описывается уравнением Брейта, а не Кеммера. Для этого определены волновые функции уравнения Кеммера и уравнения Брейта в электромагнитных полях, для которых волновые функции уравнения Дирака найдены или известны. Сравнение волновых функций этих трех уравнений показало, что волновые функции уравнения Кеммера качественно отличаются от волновых функций уравнения Дирака и уравнения Брейта. Например, в отличие от уравнения Дирака и уравнения Брейта, в рамках уравнения Кеммера плотность вероятности не всегда положительна, скорость частицы может превысить скорость света, а уровни энергий заряженной частицы в сверхсильных магнитных полях при увеличении поля растут не как корень квадратный из величины магнитного поля, а линейно. Последнее означает, что в сверхсильных магнитных полях в пределе больших квантовых чисел уравнение Кеммера не приводит к классической картине движения частиц. Перечисленных особенностей уравнения Кеммера достаточно, чтобы выбрать для описания частиц со спином 0 и 1 не уравнение Кеммера, а уравнение Брейта, хотя его волновые функции имеют несколько качественных отличий от волновых функций уравнения Дирака. Например, у заряженной дираковской частицы в электромагнитной волне нет поляризационного (спинового) тока, так как ток магнитной поляризации равен по величине и противоположно направлен току электрической поляризации и оптические свойства электронного газа не зависят от ориентации спинов электронов. У заряженной частицы, которая описывается уравнением Кеммера или Брейта, токи магнитной и электрической поляризации одинаковы и полный поляризационный ток не равен нулю. Поэтому оптические свойства таких частиц зависят от их спиновых состояний, и газ из них, в отличие от газа из дираковских частиц, будет вращать плоскость поляризации электромагнитной волны, если спины частиц будут ориентированы вдоль волны. Другая особенность уравнения Брейта, отличающая это уравнение от уравнения Дирака и от уравнения Кеммера, — это наличие у него собственных функций с нулевой полной энергией.

Во второй главе сначала доказано, что в отличие от уравнения Кеммера, уравнение Брейта, как и уравнение Дирака, имеет в кулоновском поле регулярные собственные функции. Затем уравнение Брейта использовано для определения зеемановского расщепления уровней двух связанных взаимодействием частиц с разными массами и спинами. В этой главе подтвержден основной вывод первой главы о предпочтительности использования для описания частиц со спином 0 и 1 уравнения Брейта, так как обобщение потенциала Брейта и получение регулярных собственных функций в поле с кулоновской особенностью для частиц со спином 0 и 1 возможно при использовании уравнения Брейта, а не Кеммера. Однако, основная тема второй главы — исследование действия электромагнитного поля на кинематическую (нормальную) и аномальную часть спинового магнитного момента частицы. Анализ аномального эффекта Зеемана у двух связанных друг с другом частиц с разными массами и разными спинами с аномальными магнитными моментами привел к следующему выводу. Относительное движение частиц не влияет на результат действия магнитного поля на аномальную часть спиновых магнитных моментов частиц и уменьшает результат действия магнитного поля на кинематическую часть спиновых магнитных моментов частиц в такой же степени, как и на орбитальный магнитный момент, пока масса одной из частиц много меньше другой. При соизмеримых массах это уменьшение для кинематической части магнитного момента и для орбитального магнитного момента будет различным, а результат действия на аномальный спиновой магнитный момент по-прежнему не будег зависеть от масс частиц и, следовательно, от их относительного движения. Когда заряженная дираковская частица движется в электромагнитной волне и постоянном продольном магнитном поле, ее скорость совпадает со скоростью классической частицы и не зависит от действия поля волны и постоянного магнитного поля на кинематический магнитный момент частицы. Но действие этих полей на аномальный магнитный момент меняет эту скорость. В первом приближении изменение скорости дираковской частицы линейно зависит от произведения аномального магнитного момента, напряженности постоянного магнитного поля и амплитуды волны. Изменение спина дираковской частицы в первом приближении линейно зависит от произведения амплитуды волны на полный спиновой момент частицы. Когда в электромагнитной волне и постоянном магнитном продольном поле движется векторный мезон, его скорость отличается от скорости классической частицы из-за действия этих полей на спиновой магнитный момент частицы. В первом приближении это отличие линейно зависит от произведения амплитуды волны на полный спиновой момент частицы. Изменение спина векторного мезона в первой приближении линейно зависит от произведения амплитуды волны на кинематическую часть магнитного момента частицы и от произведения напряженности магнитного поля, амплитуды волны на аномальный магнитный момент. Поэтому компенсация кинематического спинового момента аномальным не делает движение дираковской частицы и векторного мезона спинонезависимым. Скорость у дираковской частицы и спин у векторного мезона по-прежнему зависят от спинового магнитного момента частицы, хотя полный спиновой магнитный момент равен нулю. Приведенные примеры, иллюстрирующие разный характер действия электромагнитного поля на кинематическую и аномальную часть спинового магнитного момента частицы, подчеркивают их разную природу, аномальный магнитный момент связан с внутренней структурой частицы, кинематический — с ее движением во внешнем поле. Поэтому при действии электромагнитного поля на частицу следует его действие на кинематическую часть и на аномальную часть спинового магнитного момента рассматривать отдельно.