Некоторые точные решения уравнений Эйштейна-Максвелла и их физическая интерпретация

Точные решения уравнений ЭйнштейнаМаксвелла (см., напр., [2]) имеют большое значение для понимания физического содержания общей теории относительности. В работах [50], [51], [52], [53] дан обзор известных в настоящее время точных решений В астрофизике и космологии особый интерес вызывают точные аксиальносимметричные решения. Известно большое количество аксиальносимметричных решений Однако большинство этих решений не удовлетворяет реальным физическим требованиям, главным из котороых является требование асимптотической плоскостности.

Одним из немногих решений, удовлетворяющих этим требованиям, является точное решение уравнений Эйнштейна, найденное Шварцшильдом [3]. Как было показано Биркгофом [4] и позднее Израэлем [5], это решение является единственным внешним точным решением в случае сферической симметрии, имеющим полностью регулярный горизонт событий. Это означает, что любое стационарное вакуумное аксиальносимметрическое решение в предельном случае стремления к нулю параметра вращения должно стремиться к метрике Шварцшильда. Точно так же любое электро-или магнитостатическое решение в предельном случае стремления к нулю электрического или магнитного параметра должно стремиться к метрике Шварцшильда.

Другим решением, но уже стационарным, удовлетворяющим физическим требованиям, является решение Керра [29]. Робинсон [1] установил, что метрика Керра является единственным асимптотически плоским стационарным аксиальносимметрическим решением, имеющим гладкий горизонт событий. Стационарные электромагнитные решения при стремлении к нулю электромагнитного параметра должны в пределе давать метрику Керра.

Следует отметить важность получения любых точных решений. Она состоит в том, что помогает разрабатывать математические методы получения решений с асимптотикой, удовлетворяющей физическим требованиям. Кроме того эти решения часто служат исходными решениями при генерировании решений, имеющих реальный физический смысл. Дадим краткий обзор некоторых решений и методов.

Вейлем [8, 9] были получены и исследованы аксиальносимметричные решения уравнений. Было показано, что любое статическое решение уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии можно представить в виде решения уравнения Лапласа в канонических координатах Вейля.

К статическому вакуумному классу Вейля относятся и известное решение Шази [10] и Керзона [11], которое имеет ньютоновский предел, но не имеет особенностей, поэтому не может описывать реальное гравитационное поле сколапсированной массы.

Вейленом [12] было получено общее статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии в виде интеграла, включающего решения Шварцшильда и ШазиКерзона как частные случаи.

Эрецем и Розеном [13] было впервые получено статическое аксиально-симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле массы с мультипольным моментом. Позднее Ц И. Гуцунаевым и В. С. Манько [14] было также найдено статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна для внешнего гравитационного поля массы, обладающей мультипольным моментом. И решение [13] и решение [14] в пределе дают ньютоновский потенциал для массы с квадрупольным моментом [15].

Тирринг и Лензе [16] рассмотрели случай слабого поля. Они получили метрику, описывающую пространство-время вдали от стационарно вращающейся массы [17], [18]. Льюис [19] и Ван Стокум [20] получили стационарные аксиальносимметричные вакуумные решения, которые не являются асимптотически плоскими. Однако в работах [21], [22] они успешно использовались для генерирования новых решений, обладающих надлежащей асимтотикой.

Папапетру [23] и Льюис [24] записали метрический интервал для стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля в канонической форме. Это позволило не ограничивая общности задачи упростить уравнения. В этой же работе [23] Папапетру нашел новый класс решений аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна. Позднее Ньюмен, Унти и Тамбурино (НУТ) [24] нашли решение из класса Папапетру, которое переходит в решение Шварцшильда. Поэтому некоторое время его рассматривали как стационарное обобщение решения Шварцшильда. Обсуждению его физического смысла были посвящены работы [25], [26]. Однако решение НУТ не обладает свойством асимптотической плоскостности.

Как указывалось выше важнейшим стационарным решением явилось решение Керра [29]. Оно реально может описывать внешнее гравитационное иоле стационарно вращающегося изолированного источника. Бойер и Линдквист [30] преобразовали это решение к виду, который дал возможность исследовать это решение известными методами.

Вейль [9] нашел класс решений статических уравненний Эйнштейна-Максвелла. Его называют классом электровакуума Вейля. Этот класс содержит решение Райснера Нордстрема [6], [7]. Последнее описывает гравитационное поле массы, обладающей электрическим зарядом.

Боннор [57] впервые получил магнитостатические решения. Одно из них тоже принадлежит классу электровакуума Вейля и описывает гравитационное поле безмассового магнитного диполя. Второе решение Боннора, полученное в этой работе, независимо было найдено Мелвином [57, 59] и носит название «магнитной Вселенной Мелвина». Теоремы, сформулированные Боннором в работах [17] и [18], дали новое направление в генерировании точных решений уравнений Эйнштейна и уравнений Эйнштейна-Максвелла. Боннор показал, что чисто электростатическому решению уравнений ЭйнштейнаМаксвелла, которое определяет метрику и тензор электромагнитного поля, соотствует магнитостатическое решение с такой же метрикой и однозначно определенным тензором электромагнитного поля. Он также установил однозначное соответствие между внешними стационарными решениями и статическими решениями уравнений ЭйнштейнаМаксвелла. Боннором [19] было получено также магнитостатическое решение с двумя параметрами, которые можно было рассматривать как массу и дипольный магнитный момент. На бесконечности полученная метрика стремится к метрике Минковского, а электромагнитное поле к полю магнитного диполя. Крамер [58] получил магнитное решение, в предельном случае переходящее в решение Керра. Однако действительное решение получено только для ограниченного параметра.

Работы Эрнста [31, 32] дали новое направление в генерировании точных решений уравнений Эйнштейна и уравнений ЭйнштейнаМаксвелла. Эрнст ввел новые комплексные функции и получил симметричную запись уравнений. Это значительно упростило задачу получения точных решений. Томимацо и Сато [28, 29] построили решения, зависящие от целочисленного параметра. Эти решения описывают внешнее гравитационное поле стационарно вращающихся деформированных источников.

Существует много направлений в построении и исследовании точных решений. Так, Петров [27, 28] предложил метод инвариантного исследования характеристик гравитационного поля. Он базируется на изучении алгебраической структуры тензора Римана.

Элерс [34, 35], Харрисон [36, 37], Букдал [38, 39, 40] строили точные решения, используя внутреннюю симметрию уравнений Эйнштейна. Киннерсли, Читре, Героч [41,42, 43] использовали теоретико-групповой метод. Захаров, Белинский, Алексеев [44, 45, 46] пользовались методом обратной задачи расеяния. Нойгебауэр [47, 48] находил точные решения на основе метода преобразований Беклунда. Косгроув [49] показал, что все эти методы математически эквивалентны.

Херльтом [39, 40] был предложен метод, с помощью которого было получено электростатическое асимптотически плоское решение.

В последнее время новым стимулятором для получения точных решений вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна и уравнений электровакуума ЭйнштейнаМаксвелла явились работы Ц. И. Гуцунаева и др. [60, 61, 62], разработавших так называемый евклидонный метод. Этот метод подробно описан в диссертации и рассмотрены некоторые его приложения.

Целью данной диссертации, помимо использования различных математических методов для получения точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, является попытка физическои интерпретации этих решений. Последняя, как известно, стала камнем преткновения для гравитационистов, получающих точные решения в ОТО и интерпретирующих их. Например, в случае так называемых «островных» систем физический анализ ясен до конца лишь на больших расстояниях от источников.

Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе приведены самосогласованные уравнения ЭйнштейнаМаксвелла в случае аксиальной симметрии, а также даны различные формы записи этих уравнений.

Вторая глава посвящена вакуумным статическим полям Эйнштейна. С помощью метода сингулярных источников, основанного на физически понятной идеи о взаимосвязи между полем и источником, в ней получены наиболее известные решения уравнений гравистатики Эйнштейна, а также рассморено новое, описывающее обобщение решения Шварцшильда на случай аксиальной симметрии.

Третья глава диссертации посвящена изложению евклидонного метода, разработанного Ц. И. Гуцунаевым и его учениками [60, 61, 62]. В этой главе также рассмотрена физическая интерпретация статических и стационарных евклидонных решений, и в том числе анализируется (в малой области 4-простанствавремени) решение Шварцшильда, которое является частным случаем статического двух-евклидонного решения.

В последней, четвёртой главе диссертации, рассмотриваются способы построения точных решений электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла и, в том числе модифицированный евклидонный метод, с помощью которого получено новое решение. Это решение может быть использовано в теоретической астрофизике для описания гравитационного поля магнитного диполя.

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах теоретической физики РУДН, на всероссийской конференции по проблемам математике, информатики, физики и химии XLIII факультета физикаматематических и естественных наук РУДН (26 апреля 2007) [65], на всероссийской конференции по проблемам математике, информатики, физики и химии XLIV факультета физикоматематических и естественных наук РУДН (23 апреля 2007) [75] и на 13-ой Российской Гравитационной Конференции [76].

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертации •.

1. Для статических вакуумных уравнений Эйнштейна записано в интегральной форме решение, включающее в себя (в виде частных случаев) как все известные в настоящее время решения, так и новое, которое содержит два параметра — массу т и ро, параметр ро характеризует отклонение полученного решения от сферическисимметричного решения Шварцшильда.

2. Рассмотрена физическая интерпретация евклидонных решений в ОТО и, в частности, предпринята попытка физического анализа решения Шварцшильда.

3. Евклидонный метод решения вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна в модифицированном виде применен для решения электровакуумных статических уравнений ЭйнштейнаМаксвелла, в качестве приложения метода получено точное магнитостатическое решение, которое может быть использовано в теоретической астрофизике для описания гравитационного поля звезды, наделенной помимо массы и магнитным дипольным моментом.

4. С применением теоремы Боннора и преобразований симметрии записан класс асимптотически плоских решений статических уравнений Эйнштейна.

Максвелла. Это решение содержит семь произвольных' действительных констант, которые позволили рассмотреть наиболее интересные с физической точки зрения решения.