4. Метод итераций
Функция находит корень уравнения x = F (x) методом простой итерации с относительной погрешностью e. По i-му приближению корня xi находится следующие приближение по формуле xi+1 = F (xi), i = 0, 1, 2, …. Процесс продолжается до тех пор, пока относительная точность для двух последовательных приближений не станет меньше e: |(xi+1 -xi)/xi | < e. Процесс итерации сходится на [a, b], если |F'(x)| < 1 при всех x на (a, b).
Рисунок 4. Алгоритм метода итераций
Описание алгоритма метода итераций
Шаг 1. Ввод a, b,ε. x1=a, x2=b.
Шаг 2. x:=f (x)
Шаг 3. Выполнять шаг 2, пока abs (f (x)-x)>eps
Шаг 4. Вывод результата x, числа итераций — i.
5. Метод Ньютона
Действительный корень x' уравнения F (x) = 0 вычисляется методом Ньютона по итерационному уравнению:
xk+1 = xkF (xk)/F'(xk)
Процесс сходится к точному значению корня, если начальное приближение x1 выбрано так, что
|F (x1)F''(x1)| < |F'(x1)| 2
Оценка погрешности k-го приближения производится по приближенной формуле
|F (xk)F'(xk)| < e
Рисунок 5. Алгоритм метода Ньютона
Описание алгоритма метода Ньютона
Шаг 1. Ввод a, b,ε.
Шаг 2. x=a; f:=f (x)/df (x)
Шаг 3. Если abs (f)>e, то х=x-f; f=f (x)/df (x) преход к шагу 3
Шаг 4. Вывод результата x.
6. Комбинированный метод
Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, можно заменить ее вычисление оценкой: F'(x)= (F (x+h)-F (x))/h.
Рисунок 6. Алгоритм комбинированного метода
Описание алгоритма комбинированного метода
Шаг 1. Ввод a, b,ε, h.
Шаг 2. x=a; y:=f (x)*h/f (x+h)
Шаг 3. Если abs (y)>e, то х=x-y; f=f (x)*h/(f (x+h)-y) преход к шагу 3
Шаг 4. Вывод результата x.
