Динамика твердого тела

Министерство образования и науки Республики Казахстан.

Карагандинский Государственный Университет.

имени Е. А. Букетова.

Кафедра общей и теоретический физики.

Курсовая работа на тему:

Динамика твердого тела.

Подготовил:

________________.

________________.

Проверил:

________________.

________________.

Караганды — 2003 г.

Введение

o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

. Центр удара o II. Плоское движение твердого тела.

. Кинетическая энергия при плоском движении Заключение.

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение — траекторией лампочки будет при этом парабола — кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту. |[pic] | |Рис. 3.1. |.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис. 1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали — нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) — есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б). |[pic] | |Рис. 3.2. |.

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с «послушной «и «непослушной «катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3. За), либо накатывается на нитку (рис. 3. Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую «непослушную «катушку. |[pic] | |Рис. 3.3. |.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс |[pic] |(3.1) |.

Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

Уравнение моментов |[pic] |(3.2) |.

Здесь Lмомент импульса твердого тела относительно некоторой точки, [pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, невлияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно неподвижной — точки O «соотношением: |[pic] |(3.3) |.

где R — радиус-вектор от O «к О, p — полный импульс тела. Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы: |[pic] |(3.4) |.

где F — геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O «неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2): |[pic] |(3.5) |.

Тогда |[pic] |(3.6) |.

Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ. Учитывая (3.4), получим |[pic] |(3.7) |.

Поскольку движущаяся точка O — это центр масс тела, то [pic]([pic] - масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой находится в некоторой точке — полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) — задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо — движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением |[pic] |.

Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси. |[pic] | |Рис. 3.4. |.

Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо [pic]можно записать |[pic] |(3.8) |.

или |[pic] |(3.9) |.

поскольку в случае твердого тела [pic].

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид: |[pic] |(3.10) |.

Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса относительно оси [pic]сохраняется. При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5. |[pic] | |Рис. 3.5. |.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки, А движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость iй частицы тела |[pic] |(3.11) |.

где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия |[pic] |(3.12) |.

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела: |[pic] |(3.13) |.

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна |[pic] |(3.14) |.

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью [pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила [pic]направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы |[pic] |.

где [pic]- радиус диска, [pic]- угол его поворота. Число оборотов, которое сделает диск до полной остановки, |[pic] |.

где [pic]- момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что [pic]то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6. |[pic] | |Рис. 3.6. |.

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, [pic]Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила [pic]обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила [pic]уравновешенная силами [pic]со стороны подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы [pic]и [pic]момент которых обеспечивает приращение [pic](В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы [pic]и [pic]направленные противоположно силам [pic]и [pic]Момент сил [pic]и [pic]уравновешен моментом сил [pic]и [pic]возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис. 3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции — неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA «соответствует наибольшему, ось BB «- среднему, а ось CC «- наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA «или вокруг оси CC », можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB «к успеху не приводят — тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете. |[pic] | |Рис. 3.7. |.

В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна), то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска. |[pic] | |Рис. 3.8. |.

Центр удара.

Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения, испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в какую точку тела нанесен удар.

Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке, А на горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO «(рис. 3.9). Если удар (короткодействующая сила F (нанесен близко к оси вращения, то ось прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9 В, точка С), то ось не испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной, А вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются силой F и происходят одновременно). |[pic] | |Рис. 3.9. |.

Вычислим, на каком расстоянии [pic]от точки подвеса стержня находится центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO «дает |[pic] |(3.15) |.

Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать |[pic] |(3.16) |.

где [pic]- масса тела, [pic]- скорость центра масс. Если [pic]- расстояние от оси до центра масс тела, то |[pic] |(3.17) |.

и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим |[pic] |(3.18) |.

При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника — точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический.

В случае сплошного однородного стержня длиной [pic]имеем: |[pic] |.

Замечание. Полученное выражение для [pic](3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела, А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А.

Пример 1. При ударах палкой длиной [pic]по препятствию рука «не чувствует «удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в точку, расположенную на расстоянии [pic]свободного конца палки.

Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в точку, находящуюся на высоте |[pic] |.

от поверхности бильярда, то есть на [pic]выше центра шара. Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад. |[pic] | |Рис. 3.10. |.

Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.

II. Плоское движение твердого тела.

Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно — она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же.

Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:

1. Уравнение движения центра масс |[pic] |(3.19) |.

2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс |[pic] |(3.20) |.

Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.

В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела.

Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящее через центр масс (рис. 3.11). |[pic] | |Рис. 3.11. |.

Система уравнений (3.19 — 3.20) имеет вид: |[pic] |.

К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи |[pic] |(3.23) |.

Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.

Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) — для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y, совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим: |[pic] |.

откуда |[pic] |(3.27) |.

Следует подчеркнуть, что [pic]- сила трения сцепления — может принимать любое значение в интервале от О до [pic](сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае |[pic] |(3.28) |.

Если цилиндр сплошной, то |[pic] |(3.29) |.

Качение без проскальзывания определяется условием |[pic] |(3.30) |.

где [pic]- коэффициент трения скольжения, [pic]- сила реакции опоры. Это условие сводится к следующему: |[pic] |(3.31) |.

или |[pic] |(3.32) |.

Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12). |[pic] | |Рис. 3.12. |.

Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид: |[pic] |(3.33) |.

Здесь |[pic] |(3.34) |.

В проекции на ось вращения (ось y) |[pic] |(3.35) |.

Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение |[pic] |(3.36) |.

Кинетическая энергия при плоском движении.

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц: |[pic] |(3.37) |.

где [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим: |[pic] |(3.38) |.

так как [pic](суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное энергии: |[pic] |(3.39) |.

Здесь [pic]- длина наклонной плоскости, [pic]- момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.

Поскольку скорость оси цилиндра [pic]то |[pic] |(3.40) |.

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим |[pic] |(3.41) |.

откуда для линейного ускорения [pic]оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения. Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его ось.

Заключение

.

Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся в сплошной среде.

В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого эффекта.

Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей компенсации вредного влияния ветра.

Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта лаборатория навигации и управления.

Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для проведения динамических испытаний моделей. Определены коэффициенты демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в дои сверхзвуковом потоках.

На основе численного решения задачи о плоских движениях аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены области существования всех типов движения маятника, включая режимы автоколебаний и авторотации. Открыта лаборатория сверхзвуковой аэродинамики.

Также в институте компьютерных исследований проводят значимые исследования по динамике твердого тела.

Это направление исследований института связано с анализом движения твердого тела с широким применением компьютерных методов.

Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к отдельной области науки — компьютерной динамике, которая устанавливает общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов и алгоритмов.

В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа, теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется, главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности, динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности.

Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования, которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых интересных результатов.

Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли — методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.