Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей

КУРСОВАЯ РАБОТА

Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей

Исходные данные

Схема исследуемой цепи:

Значение параметров элементов:

С=4нФ

L=1мГн

R=0.5кОм Внешнее воздействие:

u₁(t)=(1+e^-бt) 1 (t) (B)

б=1/RC

B результате выполнения курсовой работы необходимо найти:

1. Выражение для первичных параметров заданного четырехполюсника в виде функции частоты.

2. Найти выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению К₂₁(jw) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2'.

3. Амплитудно-частотную К₂₁(jw) и фазочастотную Ф₂₁(jw) характеристики коэффициента передачи по напряжению.

4. Операторный коэффициент передачи по напряжению К₂₁(р) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2−2'.

5. Переходную характеристику h (t), импульсную характеристику g (t).

6. Отклик u₂(t) на заданное входное воздействие в виде u₁(t)=(1+e^-бt) 1 (t) (B)

1. Определим Y параметры для заданного четырехполюсника

I1=Y11*U1+Y12*U2

I2=Y21*U1+Y22*U2

операторный напряжение импульсный цепь Для облегченного нахождения Y22 найдем А11 и А12 и выразим через них Y22.

Опыт 1. ХХ на зажимах 2−2'

Сделаем замену 1/jwС=Z1, R=Z2, jwL=Z3, R=Z4

Произведем схему замещения цепи

Z11=(Z4*Z2)/(Z2+Z3+Z4)

Z33=(Z2*Z3)/(Z2+Z3+Z4)

U2=(U1*Z11)/(Z11+Z33+Z1)

Опыт 2: КЗ на зажимах 2−2'

Методом контурных токов, составим уравнения.

а) I1 (Z1+Z2) — I2*Z2=U1

б) I2 (Z2+Z3) — I1*Z2=0

Из уравнения б) выразим I1 и подставим в уравнение а).

I1=I2 (1+Z3/Z2)*(Z1+Z2) — I2*Z2=U1

A12=Z1+Z3+(Z1*Z3)/Z2

Отсюда получаем, что Опыт 2: КЗ на зажимах 2−2'

Составим уравнение по методу контурных токов:

I1*(Z1+Z2) — I2*Z2=U1

I2 (Z2+Z3) — I1*Z2=0

Выразим I2 из второго уравнения и подставим в первое:

Из второго уравнения выразим I1 и подставим в первое:

У взаимного четырехполюсника Y12=Y21

Матрица, А параметров рассматриваемого четырехполюсника

2. Найдем комплексный коэффициент передачи по напряжению К₂₁(jw) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2-2'.

Комплексный коэффициент передачи по напряжению К₂₁(jw) определяется отношением:

Найти его можно из системы стандартных основных уравнений для Y параметров:

I1=Y11*U1+Y12*U2

I2=Y21*U1+Y22*U2

Так по условию для холостого хода I2=0 можно записать

Y21*U1+Y22*U2=0

Получим выражение:

К₂₁(jw)=-Y21/Y22

Произведем замену Z1=1/(j*w*C), Z2=1/R, Z3=1/(j*w*C), Z4=R, получим выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению К₂₁(jw) в режиме холостого хода на зажимах 2−2'

Найдем комплексный коэффициент передачи по напряжению К₂₁(jw) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2−2' в численном виде подставив значения параметров:

Найдем амплитудно-частотную К₂₁(jw) и фазочастотную Ф₂₁(jw) характеристики коэффициента передачи по напряжению.

Запишем выражение для К₂₁(jw) в численном виде:

Найдем расчетную формулу для фазочастотной Ф₂₁(jw) характеристики коэффициента передачи по напряжению как arctg мнимой части к действительной.

В итоге получим:

Запишем выражение для фазочастотной Ф₂₁(jw) характеристики коэффициента передачи по напряжению в численном виде:

Резонансная частота w0=7*10⁵ рад/c

Построим графики АЧХ (Приложении 1) и ФЧХ (Приложение 2)

3. Найдем операторный коэффициент передачи по напряжению K_21x (р) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2-2'

операторный напряжение импульсный цепь Операторная схема замещения цепи по внешнему виду не отличается от комплексной схемы замещения, так как анализ электрической цепи проводится при нулевых начальных условиях. В этом случае для получения операторного коэффициента передачи по напряжению достаточно в выражении для комплексного коэффициента передачи заменить jw оператором р:

Запишем выражение для операторного коэффициента передачи по напряжению К21х (р) в численном виде:

Найдем значение аргумента р_n, при которых M (p)=0, т. е. полюса функции К21х (р).

Найдем значения аргумента р_k при которых N (p)=0, т. е. нули функции K21x (p).

Составим полюсно-нулевую диаграмму:

Такая полюсно-нулевая диаграмма свидетельствует о колебательно затухающем характере переходных процессов.

Данная полюсно-нулевая диаграмма содержит два полюса и один ноль

4. Расчет временных характеристик

Найдем переходную g (t) и импульсную h (t) характеристики цепи.

Операторное выражении К21 (р) позволяет получить изображение переходной и импульсной характеристик

g (t)чK21 (p)/р h (t)чK21 (p)

Преобразуем изображение переходной и импульсной характеристик к виду:

Определим теперь переходную характеристику g (t).

Таким образом, изображение сведено к следующей операторной функции, оригинал который имеется в таблице:

Таким образом найдем переходную характеристику:

Найдем импульсную характеристику:

Таким образом изображение сведено к следующей операторной функции, оригинал который имеется в таблице:

Отсюда имеем Рассчитаем ряд значений g (t) и h (t) для t=0ч10 (мкс). И построим графики переходной (Приложение 3) и импульсной (Приложение 4) характеристик.

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи, подсоединим к входным зажимам 1−1' независимый источник напряжения е (t)=u1 (t). Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах 2−2' при воздействии на цепь единичного скачка напряжения e (t)=1 (t) (В) при нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости равны нулю, т.к. по законам коммутации при конечном значении амплитуды входного скачка напряжение на емкости измениться не может. Следовательно, глядя на нашу цепь видно, что u2 (0)=0 т. е. g (0)=0. С течение времени при t стремящимся к бесконечности по цепи будут протекать только постоянные токи, значит конденсатор можно заменить разрывом, а катушку коротко-замкнутым участком, и глядя на нашу схему видно, что u2 (t)=0.

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения e (t)=1д (t) В. В течение действия единичного импульса входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, ток в индуктивности скачком увеличивается от нуля до 1/L, а напряжение на емкости не изменяется и равно нулю. При t>=0 источник напряжения может быть заменен короткозамкнутой перемычкой, а в цепи возникает затухающий колебательный процесс обмена энергии между индуктивностью и емкостью. На начальном этапе ток индуктивности плавно уменьшается до нуля, заряжая емкость до максимального значения напряжения. В дальнейшем емкость разряжается, а ток индуктивности плавно возрастает, но в противоположном направлении, достигая наибольшего отрицательного значения при Uc=0. При t стремящимся к бесконечности все токи и напряжения в цепи стремятся к нулю. Таким образом, затухающий с течением времени колебательный характер напряжения на емкости и объясняет вид импульсной характеристики, при чем h (?) равен 0

6. Расчет отклика на заданное входное воздействие

Используя теорему наложения, воздействие можно представить в виде частичных воздействий.

U₁(t)=U₁¹ +U₁² = 1 (t)+e^-бt1 (t)

Отклик U₂¹(t) совпадает с переходной характеристикой Операторный отклик U₂²(t) на второе частичное воздействие равен произведению операторного коэффициента передачи цепи и изображения экспоненты по Лапласу:

Найдем оригинал U22 (p) согласно таблице преобразований Лапласа:

Определим а, w, b, K:

Окончательно получим оригинал отклика:

Рассчитаем ряд значений и построим график (Приложение 5)

Заключение

В ходе работы рассчитаны частотные временные характеристики цепи. Найдены выражения для отклика цепи на гармоническое воздействие, а также основные параметры цепи.

Комплексно-сопряженные полюса операторного коэффициента по напряжению указывают на затухающий характер переходных процессов в цепи.

Список используемой литературы

1. Попов В. П. Основы теории цепей: Учебник для вузов — 4-ое изд., исправленное, М. Высш. шк., 2003. — 575 с.: ил.

2. Бирюков В. Н., Попов В. П., Семенцов В. И. Сборник задач по теории цепей/ под ред. В. П. Попова. М.: Высш. шк.: 2009, 269 с.

3. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 2003 г., 831 с.

4. Бирюков В. Н., Дедюлин К. А., Методическое пособие № 1321. Методическое указание к выполнению курсовой работы по курсу Основы теории цепей, Таганрог, 1993, 40 с.