Математический маятник

Уравнение движения математического маятника.

Период колебаний.

Выводы.

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

Уравнение движения математического маятника.

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения (радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M (в сторону положительного отсчёта угла (, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения mW=F+N, (1).

где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

[pic].

Рисунок 1.

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

[pic]. (2) Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде.

[pic] или [pic], где W есть ускорение точки.

Итак уравнение (1) в проекции на ось (даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

[pic] или [pic]. В нашем случае получим в проекции на ось (.

[pic],.

где m есть масса маятника.

Так как [pic] или [pic], отсюда находим.

[pic].

Сокращая на m и полагая.

[pic], (3).

будем окончательно иметь:

[pic],.

[pic],.

[pic],.

[pic]. (4).

Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол (и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут: при t = 0, [pic]. (5).

Из интеграла энергии:

[pic], (6).

где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол (((0. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол (0 мал ((0(1); тогда угол (будет также мал и можно приближённо положить sin (((. При этом уравнение (4) примет вид.

[pic]. (7).

Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид.

[pic], (8).

где A и B или a и (суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью).

[pic] и [pic].

[pic],.

т.к. sin имеет период равный 2(, то (T=2((.

[pic] (9).

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

[pic]. (10).

Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

(0 = A, 0 = (B, т. е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

(= (0cos (t. (11).

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как.

[pic],.

то (4) можно представить в виде.

[pic].

Отсюда, умножая обе части уравнение на d (и интегрируя, получим:

[pic]. (12).

Обозначим здесь через (0 угол максимального отклонения маятника; тогда при (= (0 будем иметь[pic], откуда C = (2cos (0. В результате интеграл (12) даёт:

[pic], (13).

где (определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения.

[pic], (14).

где [pic] — работа на перемещении M0M активной силы F, если учесть, что в нашем случае v0=0, [pic] и [pic] (см. рис.).

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол (будет изменяться между значениями +(0 и ((0 ((((((0, так как [pic]), т. е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие: при t=0, (=0. (15).

Кроме того, при движении из точки A будет [pic]; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

[pic].

Разделяя здесь переменные, будем иметь:

[pic]. (16).

Так как.

[pic], [pic],.

то.

[pic].

Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

[pic]. (17).

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от (к новым переменному (, полагая:

[pic], где [pic]. (18) Тогда.

[pic],.

откуда.

[pic].

Кроме того,.

[pic].

Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя (его значением (3), получим:

[pic]. (19).

По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол (=0, а следовательно, как видно из (18), и (=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до (, получим закон движения маятника в виде.

[pic]. (20).

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т. е.

[pic]. (21).

Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел (как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

[pic],.

или.

[pic]. (22).

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

[pic]. (23).

Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), [pic], то, переходя в равенстве (23) от (к (с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде.

[pic]. (24).

Период колебаний.

Найдём период T колебания маятника. Из положения (= 0 в положение (= (0 маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при (= 0 и (= 0, а при (= (0 величина [pic], то из уравнения (20) имеем:

[pic]. (25).

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины.

[pic], (26).

представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что.

[pic]. (27).

Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

[pic].

Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

[pic]. (28).

Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что.

[pic],.

получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение.

[pic]. (29).

Следовательно, чем больше (0 (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая [pic], получим приближённое выражение периода.

[pic]. (30) Выводы Получено уравнение простого гармонического колебания, закон движения для малых колебаний, заокн движения маятника через эллиптическую функцию. Получено выражение для периода колебаний маятника.

Литература

Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969. Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.