Электрон в слое

Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

? -(2/(2m)?¶2/¶x2 + U0, x < -a>

? ?

H =? -(2/(2m0)?¶2/¶x2, -a < x < a>

? -(2/(2m)?¶2/¶x2 + U0, x > a.

Где m — эффективная масса электрона в областях I, III ;

m0 — эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

? ¶2YI/¶x2 + 2m/(2?(E — U0) YI = 0, x? -a.

? ¶2YII/¶x2 + 2m0/(2?E?YI = 0, -a? x? a.

? ¶2YIII/¶x2 + 2m/(2?(E — U0)?YI = 0, x? a.

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

YI (x) = A? exp (n?x) + B? exp (-n?x).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,.

YI (x) = A? exp (n?x).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

YII (x) = C? exp (i?k?x) + D? exp (-i?k?x).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

YIII (x) = F? exp (-n?x).

Где.

k = (2m0?E/(2)½.

n = (2m?(U0-E)/(2)½.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

*? Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

*? В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A, C, D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

*? Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т. е. запишем условия сшивания волновых функций :

YI (x=-a) = YII (x=-a).

YII (x=a) = YIII (x=a).

YI?(x=-a)/m = YII?(x=-a)/m0.

YII?(x=a)/m0 = YIII?(x=a)/m.

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

A?exp (-n?a) = C? exp (-i?k?a) + D? exp (i?k?a).

m-1?A? n? exp (-n?a) = i? k?/m0?(C?exp (-i?k?a) — D? exp (i?k?a)).

C?exp (i?k?a) + D? exp (-i?k?a) = F? exp (-n?a).

i?k?/m0?(C?exp (i?k?a) — D? exp (-i?k?a)) = - n/m?F?exp (-n?a).

Теперь составим определитель :

|exp (-n?a) -exp (-i?k?a) -exp (i?k?a) 0 |.

|m-1?n?exp (-n?a) -1/m0?i?k?exp (-i?k?a) 1/m0?i?k?exp (i?k?a) 0 |.

|0 exp (i?k?a) exp (-i?k?a) -exp (-n?a) |.

|0 1/m0?i?k?exp (i?k?a) -1/m0?i?k?exp (-i?k?a) 1/m?n?exp (-n?a)|.

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)2 — (k/m0)2)?Sin (2?k?a) + 2? k?n/(m?m0)?Cos (2?k?a) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = F? exp (-n?a)?{exp (i?k?a) + exp (-3?i?k?a) ?(i?k/m0 — n/m)/(n/m + i? k/m0)}.

D = C? exp (-2?i?k?a)?(i?k/m0 — n/m)/(n/m + i? k/m0).

A = exp (n?a)?(C?exp (-i?k?a) + D? exp (i?k?a)).

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = RA? F.

C = RC? F.

D = RD? F.

RA, RC, RD — известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

YI (x) = F? RA?exp (n?x).

YII (x) = F?(RC?exp (i?k?x) + RD? exp (-i?k?x)).

YIII (x) = F? exp (-n?x).

I1 + I2 + I3 = 1.

Где.

I1 = |F|2?|RA|2??Qexp (2?n?x)?dx = |F|2?|RA|2?(2?n)-1?exp (2?n?x) =.

= |F|2?|RA|2?(2?n)-1?exp (-2?n?a).

I2 = |F|2?{ ?L|RC|2?dx + ?L|RD|2?dx + RC? RD*??Lexp (2?i?k?x)?dx +.

+ RC*?RD??Lexp (-2?i?k?x)?dx } = |F|2?{ 2? a?(|RC|2 + |RD|2) +.

((exp (2?i?k?a) — exp (-2?i?k?a))?RC?RD*/(2?i?k) +.

+ i?((exp (-2?i?k?a) — exp (2?i?k?a))?RC*?RD/(2?k) }.

I3 = |F|2??Wexp (-2?n?x)?dx = |F|2?(2?n)-1?exp (-2?n?a).

|F|2 = { |RA|2?(2?n)-1?exp (-2?n?a) + 2? a?(|RC|2 + |RD|2) +.

((exp (2?i?k?a) — exp (-2?i?k?a))?RC?RD*/(2?i?k) +.

+ i?((exp (-2?i?k?a) — exp (2?i?k?a))?RC*?RD/(2?k) + (2?n)-1?exp (-2?n?a) }-1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях.

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U (x)=U (x+2a) (1).

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

¶2Y/¶x2 + 2m/(2?(E — U0) Y = 0.

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

r = exp (i 2ak).

Тогда Y (x+2ma) = Y (x)?rm, где m=0, ±1, ±2,… (2).

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶2YI/¶x2 + 2m2/(2?(E — U0) YI = 0, 0 > x > -a.

его решение выглядит просто:

YI (x) = A? exp (n?x) + B? exp (-n?x).

Где n = (2m2 (U0-E) /(2)½.

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶2YII/¶x2 + 2m1/(2?E YII = 0, a? x? 0.

его решение выглядит просто:

YII (x) = C? exp (i?p?x) + D? exp (-i?p?x).

Где p = (2m1E/(2)½.

Рассмотрим область III:

¶2YIII/¶x2 + 2m2/(2?(E — U0) YIII = 0, 2a > x > a.

его решение выглядит просто:

YIII (x) = r (A?exp (n?x) + B? exp (-n?x)).

Запишем граничные условия:

YI (x=0) = YII (x=0).

YII (x=a) = YIII (x=a).

YI?(x=0)/m = YII?(x=0)/m0.

YII?(x=a)/m0 = YIII?(x=a)/m.

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D.

C exp (i p a)+D exp (-i p a) = exp (i 2 a k) (A exp (n a)+B exp (-n a)).

(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1.

(C exp (i p a)-D exp (-i p a)) i p / m1 = exp (i 2 a k) n/m2 (A exp (n a)-B exp (-n a)).

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 -1 -1 |.

|exp (i?k?2a+n?a) exp (i?k?2a-n?a) -exp (i?p?a) -exp (-i?p?a) |.

|n/m2 -n/m2 -i?p/m1 i? p/m1 |.

|n/m2exp (i?k?2a+n?a) -n/m2?exp (i?k?2a-n?a) — i? p/m1?exp (i?p?a) i? p/m1?exp (-i?p?a) |.

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m1=4; m2=1.

0.1 135 703 312 666 857 0.6 186 359 585 387 896 0.2 019 199 605 676 639.

0.3 155 348 518 478 819 0.5 047 267 055 441 365 1.263 391 478 912 778.

0.4 544 326 758 658 974 2.137 353 840 637 548 0.808 172 718 170 137.

2.479 933 076 698 526 0.4 544 326 758 658 974 6.168 062 551 132 728.

5.611 693 924 351 967 1.820 461 802 850 339 1.529 165 865 668 653.

1.23 077 302 091 622

a=10 U=10 m1=2 m2=1.

0.1 032 788 024 178 655 0.2 324 238 959 628 721 0.41 331 603 936 642.

0.6 460 490 460 448 886 0.930 750 939 555 283 1.26 759 057 783 714.

1.656 787 195 799 296 2.98 624 192 369 327

2.593 469 359 607 937 3.141 805 331 837 109

3.744 277 072 860 902 5.887 485 640 841 992

a=10 U=10 m1=1 m2=1.

0.5 408 120 469 105 441 0.2 163 802 958 297 131 0.4 870 681 554 965 061.

0.86 644 533 469 418 1.354 969 224 117 534 1.953 300 729 714 778.

2.662 383 817 919 513 4.418 966 218 448 088 7.961 581 805 911 094.

a=10 U=10 m1=0.5 m2=1.

0.118 992 095 909 544 4.249 561 710 930 034 1.68 004 282 376 146.

0.4 754 473 139 332 004 5.78 216 724 725 356 2.955 345 679 469 631.

1.895 012 565 781 256

a=10 U=10 m1=.25 m2=1.

0.2 898 665 804 439 349 4.30 026 851 446 248.

2.479 039 415 645 616 1.132 264 393 019 809.