Высшая математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ»

Кафедра математики и информатики

Письменное контрольное задание для студентов и слушателей дистанционного обучения Решение задач по курсу высшей математики Новосибирск 2011

1. Решить задачу линейного программирования линейное программирование среднее отклонение выборка

№ 5.

х₁ + 3х₂ max

Решение. Изобразим графики линий, задавая точки а).+=2 и

б). +2х₂ =7 и

в). 4х₁ — 3х₂ = 6 и

F: х₁+3х₂ = 0 и

ОАВСДмногоугольник множества решений данной системы. Среди точек многоугольника ОАВСД выбираем такую, в которой целевая функция достигает максимального значения. Пересечем этот многоугольник прямой (задающей целевую функцию) и перемещаем прямую параллельно самой себе, пока многоугольник условий не окажется ниже этой прямой. Предельное положение этой прямой — точка В — точка пересечения прямых а) и б). Получили В (1,3), значит

F= 1 + 3*3 = 10

Ответ. Максимальное значение функции равно 10

Задание 2. Составить и решить задачу линейного программирования

№ 5. Караван Марко Поло использует для перевозки сухого инжира из Багдада в Мекку дромадеров (одногорбых верблюдов) и Обычных (двугорбых) верблюдов. Верблюд может нести 1000 фунтов груза, а дромадер — 500 фунтов. За время пути верблюд потребляет 3 тюка сена и 100 галлонов воды, а дромадер 4 тюка сена и 80 галлонов воды. Вдоль пути Марко Поло имеются пункты снабжения, расположенные в оазисах. Общая емкость запасов на этих участках 1600 галлонов воды и 60 тюков сена. Верблюды и дромадеры нанимаются у пастуха около Багдада. Стоимость аренды верблюда 11 монет, а дромадера — 5 монет. Караван должен доставить из Багдада в Мекку не менее 10 000 фунтов инжира.

Составить задачу линейного программирования о минимальных издержках на аренду верблюдов и дромадеров. Сколько потребуется верблюдов и дромадеров, чтобы арендная плата пастуху была минимальной?

Решение Пусть х — число дромадеров, у — число верблюдов.

Согласно условию задачи получим систему неравенств Целевая функция F: 5х + 11 у max

Изобразим графики линий, задавая точки

1. 500 х + 1000у=10 000,

Х + 2у = 20 (0,10) и (10,5)

2. 4 х + 3 У = 60 (0,20) и (15,0)

3. 80 х + 100 у = 1600

4 х + 5 у = 80 (0,16) и (20,0)

Целевая функция F: 5х + 11у = 0 (0,0) и (11,-5)

АВСмногоугольник множества решений данной системы. Среди точек многоугольника АВС выбираем такую, в которой целевая функция достигает минимального значения. Пересечем этот многоугольник прямой (задающей целевую функцию) и перемещаем прямую параллельно самой себе, пока многоугольник условий не окажется выше этой прямой.

Минимального значения целевая функция достигнет в точке Сточке пересечения прямых 1. И 2: 2х + у =20 и 3х + 4у +80. Решая систему двух уравнений получим С (12,4), т. е. для перевозки инжира потребуется 12 дромадеров и 4 верблюда. Минимальная плата за аренду составит

F (12,4) = 5*12 + 11*4 = 104 (монеты) Ответ: минимальная плата за аренду 104 монеты Для перевозки инжира потребуется 4 верблюда и

12 дромадеров.

Задание 3. Математическая статистика

№ 10. В супермаркете собрана информация о времени ожидания покупателей в очереди (в минутах)

3,6 1,9 2,1 0,3 0,8 0,2 1 1,4 1,8 1,6 1,1 1,8 0,3 1,1 0,5

1,2 0,6 1,1 0,8 1,7 1,4 0,2 1,3 3,1 0,4 2,3 1,8 4,5 0,9 0,7

Построить интервальную группировку данных по пяти интервалам равной длины и соответствующую гистограмму.

Найти среднее время ожидания в очереди и исправленное среднее квадратичное отклонение для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 90% и 98% для среднего времени ожидания в очереди.

Решение. Разобьем множество элементов выборки п = 30 на пять равных интервалов. Имеем Х мин = 0,2, Х макс =4,5, тогда длина одного интервала h = = 0,86

Занесем данные в таблицу:

n_i — частота попадания элемента выборки в интервал, n — количество элементов выборки

w_i = п_i/п — относительная частота.

Вычислим относительные частоты для каждого интервала

W₁ = 12/30=0,4

W₂ = 13/30=0,43

W₃ =2/30=0,067

W₄ = 2/30 = 0,067

w ₅ = 1/30 = 0,033

Получили интервальное распределение относительных частот признака Х:

На основании этой таблицы строим гистограмму частот:

Для нахождения характеристик выборки рассмотрим таблицу:

X_i — середина интервала.

Найдем среднее время ожидания Х_в=

Х_в= (0,63*10 + 1,47*13 + 2,35* 2 + 3,21*2 + 4,07*1) = 1,35

Выборочная дисперсия D_в =? (X_i-X_в)²n_i^*.

Получим

D _в =(0,63 — 1,35)²х12+ (1,47−1,35)²х13++ (2,35 — 1,35)²х2+(3,21 — 1,35)²х2 +(4,07 — 1,35)²х1)) = (6,2208 + 0,1872 + 2 + 6,9192 + 7,3984)= 22,7256/30 =0,758

Среднее квадратичное отклонение == 0,87

Исправленная выборочная дисперсия S²= D_в = х0,758 = 0,784

Исправленное среднее квадратичное отклонение

Построим доверительные интервалы Х _в — tm X _в + t

1. Надежность 90%: =0,9, Ф (t)= = 0,45, тогда t=1,65 и значит доверительный интервал 1,35 — х1,65m1,35 +х1,65

1,081,62

2. Надежность 98%: =0,98, Ф (t)= 0,49, t=2,32 и тогда доверительный интервал

1,35 — х2,32m1,35 +х2,32

0,97

Ответ: Среднее время ожидания Х_в = 1,35,

Исправленное кв. отклонение 0,89

Интервалы (1,08; 1,62) и (0,97; 1,73).

Задание 4. Корреляционный анализ

№ 9. Исследовать связь между числом посетителей и выручкой магазина за сутки основании следующих данных.

Находим выборочные средние: Х_в = и У_в =

Получим Х_в= = = 608,42

У_в = = = 160,08

=, ХУ = = = 108 676,25

=, = = 411 180,75

=, = = 28 782,08

Средние квадратичные отклонения _х = и

Получим = = 202,499

= = 56,183.

Тесноту линейной связи оценим по коэффициенту корреляции

=, и тогда коэффициент корреляции r_в = =0,992. Связь между Х и У прямая, т.к. коэффициент корреляции положителен. Это говорит о том, что чем больше посетителей в магазине, тем больше выручка. Связь между величинами прочная, т.к. коэффициент корреляции близок к единице.

Ответ: связь между посетителями и выручкой

магазина прямая, тесная, коэффициент

корреляции 0,992

Задание 5. Теория вероятности

№ 9. Считается, что вероятность сдачи экзамена на хорошую оценку составляет 60%. Составить закон распределения количества студентов, получивших хорошие оценки, среди четырех случайно выбранных. Построить многоугольник распределения.

Решение Вероятность получить хорошую оценку р=0,6, тогда вероятность не получить хорошую оценку ответа q= 1-р=0,4. По формуле Бернулли имеем Р= С_п^кр^кq^п-к, тогда Р₀ =С₄⁰(0,6)⁰(0,4)⁴= *1*0,0256= 0,0256

Р₁ = С₄¹(0,6)¹(0,4)³=0,1536

Р₂= С₄² (0,6)² (0,4)² =0,3456

Р₃= С₄³ (0,6)³ (0,4)¹= 0,3456

Р₄ = С₄⁴ (0,6)⁴ (0,4)⁰ = 0,1296

Контроль =1.

Закон распределения :

Многоугольник распределения:

Задание 6. Матрицы и операции над ними

№ 7. Выполнить умножение матриц, А В^-1с.

А=, В =, С =

Решение Найдем В^-1 =, где — определитель матрицы В, — транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.

Имеем, В₁₁= (-1)¹⁺¹(-4)=-4, В₁₂= (-1)¹⁺²(3)= - 3, В₂₁ = - 4, В₂₂= - 2,

= 8 — 15 = - 7

Тогда В^-1 = =

Найдем АВ^-1= =

Находим АВ^-1С== =

Ответ: АВ^-1С ==

Задание 7. Решить систему уравнений методом Крамера

№ 5.

Решение Находим определители третьего порядка

= = 1(-3+2) — 1(-2 -1) — 2(-4−3) = -1 + 3+14=16

_х ==48

_у == - 32

_z = = 0

По формулам Крамера получим х = 48/16 = 3, у = -2, z = 0

Т.о. тройка чисел (3,-2, 0) есть решение данной системы.

Ответ: (3;-2;0)