Среднюю арифметическую величину количественного признака вычислим по формуле, где — среднее значение переменной в выборке (выборочное среднее);n — объем выборочной совокупности. Для уставного капитала:
36 432 =910,8.Для числа филиалов:
102 =2,55.Дисперсия () — это среднее из квадратов отклонений от средней величины, для вариационного ряда она определяется по формуле, Находим дисперсию для признака «уставный капитал»:=4833,21.Промежуточные расчеты представлены в Приложении 1. а) Найдем пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет среднее значение признака, рассчитанное по генеральной совокупности. Для средней величины границы доверительного интервала могут быть представлены как: то есть, где — предельная ошибка выборки;
При бесповторном отборе, при котором повторное попадание в выборку одних и тех же единиц исключено, средняя ошибка выборки для средней величины определяется следующим образом:
где N — объем генеральной совокупности. В нашем случае N = n·10 = 40· 10 = 400, т. к. был произведен 10% бесповторный отбор. Для признака «уставный капитал» средняя ошибка выборки равна:=10,428.Для признака «число филиалов» средняя ошибка выборки равна:=0,181.Теория устанавливает соотношение между предельной и средней ошибкой выборки, гарантируемое с некоторой вероятностью, где — предельная ошибка выборки;
— средняя ошибка выборки;t — коэффициент доверия. Коэффициент доверия определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью надо гарантировать результаты выборочного исследования, для определения t пользуются готовыми таблицами. Для доверительной вероятности Рдов=0,954, значение t равно 2. Тогда для признака «уставный капитал» предельная ошибка выборки равна: = 20,856 ≈ 20,9,Граница доверительного интервала для генерального среднегобудут выглядеть следующим образом:;
— по признаку «уставный капитал»:910,8 — 20,9 ≤ ≤ 910,8 + 20,9;889,9 ≤ ≤ 931,7;Таким образом среднее значение уставного капитала с вероятностью 0,954 будет находится в пределах от 889,9 до 931,7 млн руб., среднее значение числа филиалов — в пределах от 2 до 3. б) Вычислим, как нужно изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку средней величины на 50%.Поскольку для данной доверительной вероятности коэффициент доверия t — константа, то чтобы снизить предельную ошибку средней величины на 50%, необхдимо снизить среднюю ошибку выборки также на 50%.При бесповторном отборе необходимая численность выборки определяется по формуле:
Для признака «уставный капитал» вычисленная предельная ошибка выборки равна 20,856, чтобы её снизить на 50% (т.е. до 10,428), объем выборки должен быть равен: n = = 123,08≈ 123.
2. Для признака «число филиалов» вычислим характеристики:
среднее арифметическое значение признака;
— дисперсию признака;
— моду признака. Среднюю арифметическую величину количественного признака вычислим по формуле, где — среднее значение переменной в выборке (выборочное среднее);n — объем выборочной совокупности. Для числа филиалов:
102 =2,55.Дисперсия () — это среднее из квадратов отклонений от средней величины, для вариационного ряда она определяется по формуле, Находим дисперсию для признака «число филиалов»:=1,448.Промежуточные расчеты представлены в Приложении 1. Мода (Mo[x]) — наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Для дискретного ряда — это то значение, которому соответствует наибольшая частота распределения. Представим исходный дискретный ряд следующим образом:
Данные по кредитным институтам по пяти признакам.№п/пЧисло филиалов, шт. Число институтов с соответствующим числом филиалов11 112 273 313 447 552.
Таким образом, мода для признака «число филиалов» равна: Mo[x] = 3. а) Определим пределы, за которые в генеральной совокупности не выйдет значение доли предприятий, у которых индивидуальные значения признака превышают моду. Уровень доверительной вероятности возьмем равным 0,997.Границы доверительного интервала для доли (частости) найдем по формуле: то есть ;Найдем долю (частость) альтернативного признака, где — доля альтернативного признака в выборочной совокупности;na — число элементов совокупности, индивидуальные значения которых обладают свойством «а» .Для признака «число филиалов» такая доля равна:= 9/40 = 0,225.Найдем среднюю ошибку выборки. При повторном отборе она равна для доли (частости):
где — дисперсия доли альтернативного признака.= 0,066.Теория устанавливает соотношение между предельной и средней ошибкой выборки, гарантируемое с некоторой вероятностью, где — предельная ошибка для доли;
— средняя ошибка для доли;t — коэффициент доверия. Коэффициент доверия определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью надо гарантировать результаты выборочного исследования, для определения t пользуются готовыми таблицами. Для доверительной вероятности Рдов=0,997, значение t равно 3. Предельная ошибка доли будет равна:
0,066 · 3 = 0,198.Таким обрзом, границы доверительного интервала для доли (частости) предприятий с числом филиалов больше 3 будут выглядеть следующим образом: ;0,225 — 0,198 ≤ ≤ 0,225 + 0,198;0,027 ≤ ≤ 0,423.Доля предприятий, у которых число филиалов превышают 3, не будет выходить за граници от 0,027 до 0,423.
б) Вычислим, как необходимо изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку доли на 20%.При повторном отборе необходимая численность выборки определяется по формуле:
Вычисленная предельная ошибка доли равна: 0,198.Необходимая ошибка ошибка доли равна:
0,198 -(0,198 · 0,2) = 0,1584.n = = 62,55≈ 63. Чтобы снизить предельную ошибку доли на 20% необходимо увеличть объем выборки до 63. Использованная литература:
1.Богородская Н. А. Экономическая статистика: Текст лекций/СПбГААП. СПб., 1995.
2.Богородская Н. А. Статистика. Методы анализа статистической информации: Текст лекций/СПбГААП, СПб., 1997.
3.Богородская Н. А. Статистика национального богатства: Учеб. пособие/СПбГУАП. СПб., 1999.
4. Богородская Н. А. Статистика труда: Учеб пособие/СПбГУАП. СПб., 1999.
5.Общая теория статистики. (Под ред. А. А. Спирина, О. Э. Башиной). М.: Финансы и статистика, 1994.
6. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1995.
7.Овсиенко В. Е. и др. Сборник задач по общей теории статистики. М.: Финансы и статистика, 1986.
8.Статистика: Метод. указ. и задания к контрольным работам для студентов заоч. формы обуч. всех спец./Сост. Н. В. Добрынина: СПбГИЭА. СПб., 1997.
9.Статистика: Программа, методические указания и контрольные задания/Сост. Н. А. Богородская: СПбГУАП. СПб., 2000.
Приложение 1. Таблица1.Промежуточные расчеты выборочных характеристик.
Признак№Уставный капитал.
Число филиаловxixi — (xi — 2xixi — (xi — 2 198 069,24788,6452,456,252 897−13,8190,442−0,550,30 253 790−120,814 592,641−1,552,4 025 499 584,27089,6430,450,2 025 592 110,2104,0430,450,20 256 907−3,814,4430,450,20 257 795−115,813 409,641−1,552,4 025 896 352,22724,842−0,550,3 025 994 029,2852,6441,452,10 251 094 938,21459,241−1,552,402 511 901;9,896,0430,450,20 251 297 059,23504,6430,450,202 513 898−12,8163,8441,452,10 251 496 756,23158,4430,450,202 515 836−74,85 595,041−1,552,402 516 797−113,812 950,441−1,552,4 025 179 110,20,042−0,550,302 518 902−8,877,442−0,550,302 519 844−66,84 462,241−1,552,40 252 099 887,27603,8430,450,20 252 196 958,23387,2441,452,102 522 750−160,825 856,641−1,552,40 252 392 918,2331,2430,450,20 252 493 423,2538,2430,450,202 525 794−116,813 642,241−1,552,402 526 780−130,817 108,641−1,552,402 527 884−26,8718,242−0,550,30 252 893 726,2686,4430,450,20 252 998 170,24928,0441,452,102 530 867−43,81 918,441−1,552,4 025 319 165,227,0430,450,20 253 297 665,24251,0430,450,20 253 399 988,27779,2452,456,2 534 855−55,83 113,642−0,550,30 253 599 988,27779,2441,452,10 253 696 756,23158,4441,452,102 537 859−51,82 683,242−0,550,30 253 898 069,24788,6441,452,10 253 999 887,27603,8430,450,202 540 897−13,8190,441−1,552,4025.
Сумма36 432 193 328,410257,9среднее910,84 833,212,551,4475.
