Метод дробного дифференцирования в физика

Рассмотрим, как дальние корреляции в поле проницаемости приводят к уравнениям переноса, связанным с производными дробного порядка. В простой модели трассера, диспергирующей в прямую цилиндрическую трубку, обычно трассер транспортируется текучей средой (чистая конвекция или адвекция), но молекулярная диффузия не участвует в этом процессе диспергирования. В случае устойчивого ламинарного течения в круглой трубе получается, что на большом расстоянии ниже точки впрыска концентрация материала примерно равномерна по всему поперечному сечению трубки, а продольное распространение определяется уравнением диффузии. Относительная важность конвекции к диффузионному транспорту характеризуется числом Пече.

Ре = UL / κ, где U — скорость жидкости, L — характерный масштаб длины, κ - коэффициент молекулярной диффузии. Для однородной жидкой среды средняя концентрация индикатора C (x, t) определяется уравнением конвекции-диффузиигде и — средняя скорость жидкости. Когда в дисперсии преобладает конвекция, т. е. для высокого числа Пече, κ пропорциональна u, так что κ = γu, где γ называется константой диспергирования, которая представляет собой порядок размера пор среды. Очевидно, уравнение переноса представляет собой уравнение диффузии с постоянной скоростью жидкости. Пик (дельта-функция Дирака) вводимого на входе материала рассеивается и стремится к гауссовой форме.

Стандартное отклонение концентрации, характеризующее дисперсию, пропорционально квадратному корню времени, так что σx = √2κt. В терминах пройденного расстояния l = ut, σx =√2lγ.Теоретическая модель потока конвективной жидкости подробно описывает явление рассеяния из-за изменения сечения трубы, связанного с полем проницаемости K, так что локальная скорость жидкости прямо пропорциональна K. В этой модели потока жидкости предполагается, что дисперсия происходит из-за разности времени заполнения τ для каждого из сегментов трубки потока, а функция распределения вероятности τ связана со средней скоростью u в направлении x и статистическими свойствами поля проницаемости. Для упрощения обозначений удобно использовать моменты обратной проницаемости R = 1 / K, которые называются удельным сопротивлением. Корреляционная функция функции R между двумя сегментами на расстоянии h определяется выражением ρ (h) = ⟨R (x) · R (x + h) ⟩, где ⟨· ⟩ обозначает среднее значение. Ковариация задается посредствомCovR (h) = ρ (h) -⟨R⟩2, где расстояние h рассматривается как непрерывная переменная, когда h⪢ a или дискретная переменная, равная ak с k, обозначающая количество сегментов между двумя точками наблюдения. Поскольку смещение определяется временем, необходимым для заполнения различных пористых сегментов, то из закона Дарсиследуетто дисперсия задается формулой.

Вводя поток сквозь пористый образец через F (x, t), некоторый материал массы m0вводитсявпрыскивается через сечение A образца в момент времени t = 0, так что поток инжекции.

Пространственный момент порядка r определяется взвешенным пройденным расстоянием с резидентной массой dm = AC (x, t) dx, нормированной общей массой m0 как.

Временные моменты прихода порядка r определяются интегралом по времени tr, взвешенным массой прибытияdm = F (x, t) Adt, нормированной общей массой m0 как.

Первый момент времени прибытияt для данной трубки потока представляет собой сумму всех времен, необходимых для заполнения n сегментов (x = na). Для любой корреляции среднее значение суммы представляет собой сумму средних значений, так что.

Отклонение времени прибытия может быть рассчитано по формулегде размерная ковариация.

Чтобы получить уравнение переноса дробного порядка для распределения вероятностей F (x, t) времен прибытия, преобразуем временную переменную t вt́= t-⟨t⟩. Преобразование Фурье функции F (x, t) по времени t являетсягде ω - переменная преобразования Фурье. Пренебрегая эффектами моментов времени прибытия более двух, мы используем разложение Маклорена в виде преобразования Фурье по t́ = 0, так чтои путем вызова моментов времени (первый центрированный момент равен нулю), Применение преобразования Лапласа пох дает.

В этой дисперсионной модели распространение фронта предполагается малым по сравнению с перемещением. Это означает, что второе слагаемое мало по сравнению с первым членом. Следовательно, находимили, что-то же самое, Использование обратного преобразования Фурье к этому выражению дает.

Это можно преобразовать в уравнение.

Для обычной дисперсии ширина фронта дисперсии возрастает как квадратный корень времени. Существует другой закон масштабирования для смещения в слоистой среде, где ширина фронта пропорциональна времени t. Более общий закон распространения в tα был получен для гетерогенных сред. Обнаружено, что фронт дисперсии имеет фрактальную структуру в масштабе большой сети. Фрактальный подход вводит масштабное зависимое пройденное расстояние, которое уменьшает значение α либо для диффузии, либо для конвекции. Ленорманд предположил, что моделирование потока текучей среды в пористой среде представляет три основных свойства, включая (i) очень большой диапазон масштабов длины, (ii) сильную гетерогенность и (iii) в некоторых случаях нестабильность потоков жидкости. Все эти свойства можно исследовать, используя фрактальный подход и статистическую физику. С другой стороны, был предложен еще один новый подход, известный как мультифрактал, для описания неоднородности и корреляции поля проницаемости.

Заключение

.

Дробное исчисление имеет длительную историю, которая простирается более чем на 300 лет; первое значительное приложение, было опубликовано более 150 лет назад, а современные основы предмета были надежно установлены более 100 лет назад. Однако, несмотря на то, что дробное исчисление является источником большой аналитической силы этот предмет остается настолько малоизвестным. В то же время он имеет очевидную применимость к богатому ассортименту чистых и прикладных предметных областей, таких как многие задачи механики, диффузии, вязкоупругости, электротехники, турбулентности и многих других. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей теоретической физики, в которых интегро-дифференциальные операторы дробного порядка по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальность сложных сред, процессов и явлений. Однако ценность дробного исчисления помимо решения многих теоретических и прикладных задач не в последнюю очередь еще и в том, что оно способствует (и это часто требуется) думать о старых вещах по-новому и более глубоко познакомиться с ресурсами обычного исчисления. Список использованной литературы.

Самко С.Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688с. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: Физматлит, 2003.

— 201с. M arinov T.M., Ramirez N., Santamaria F. F ractional Integration toolbox// Fractiomal Calculus and Applied Analysis, 2013. V.

16, № 3. — P. 670 — 681. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. Теоретическая и математическая физика, 1992, Т.90, № 3, с. 354 — 368.C. M.

Zener, ElasticityandUnelasticityofMetals, UniversityofChicagoPressIllinois, 1948.

Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. С.

529−539. Слонимский Г. Л. О законе деформаций высокоэластичных полимерных тел. ДАН СССР, 1961. Т. 140. № 2,с.450−459.M. Caputoand F.

M ainardi, A newdissipationmodelbasedonmemorymechanism, PureAppl. G eophys. 91 (1971), 134−147.R. L. B agley, Powerlawandfractionalcalculusmodelofviscoelasticity, AIAA J.27(1989), 1414−1417.R. L.

B agleyand P. J. T orvik, A theoreticalbasisfortheapplicationoffractionalcalculustoviscoelasticity, J. R.

heol. 27 (1983), 201−210.P. E. R ouse, Thetheoryofthelinearviscoelasticpropertiesofdilutesolutionsofcoilingpolymers, J. C hem. P hys.

21 (1953), 1272−1280.K. B. O ldham and J. S panier, The Fractional Calculus, Mathematics in Science and Engineering, vol.

111, Academic Press, New York, 1974.K. B. O ldham and J. S panier, The replacement of Fick’s law by a formulation involving semidifferentiation, J. E lectroanal. C.

hem. andInterfacialElectrochem. 26(1970), 331−341.A. J. T urski, B. A tamaniuk and E.

T urska, Fractional Derivative Analysis of Helmholtz and Paraxial-Wave Equations, J. T ech. P hysics, 44, 2, 2003. Saeed R. K., A hmed C.

A pproximate solution for the system of non-linear Volterra integral equations of the second kind by using block-by-block method // Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 2008.V. 2, №. 1. — P. 114−124.Zhu L., Fan Q. N umerical solution of nonlinear fractional-order Volterraintegro-differential equations by SCW // Commun Nonlinear SciNumerSimulat, 2013. №.

18. -P. 1203−1213.Marinov T.M., Ramirez N., Santamaria F. F ractional Integration toolbox// Fractiomal Calculus and Applied Analysis, 2013. V. 16, № 3. — P. 670 — 681.

M a X., Huang X. M a, Huang C. N umerical solution of fractional integrodifferential equations by a hybrid collocation method // Applied Mathematics and Computation, 2013.

№ 219. — P. 6750−6760.,.