Средние точки сторон треугольника (a) смещаются вверх или вниз от плоскости изображения и соединяются с вершинами (b). При этом возникает четыре меньших треугольника, к которым повторно применяется та же процедура. Функция распределения вероятности определяет величину смещения и, следовательно, степень гладкости фрактального ландшафта. Затем графическая программа компьютера закрашивает треугольники, создавая различные оттенки ©. В результате получается весьма реалистичная картина (d).
6. Геометрические фракталы.
Принято считать, что история фракталов начинается именном с этих фракталов. Получаются геометрические фракталы путем простых геометрических построений. Построение фракталов данного типа обычно осуществляется по следующему алгоритму.
Шаг 1. Задается «затравка» — аксиома — набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Шаг 2. Для данных выбранных в шаге 1 применятся некоторое правило, которое осуществляет преобразование в какую-либо геометрическую фигуру. Шаг 3.
Для каждой части получившейся новой фигуры применяют опять тот же набор правил, что и в шаге 2. Выполнение каждого шага будет приводить к усложнению фигуры. Если алгоритм повторить бесконечное число раз, то в результате получим геометрический фрактал. Следуя эту можно сделать выводы, что рассмотренная выше кривая Пеано есть ничто иное, как геометрическим фракталом.
Приведем в качестве примеров известные геометрические фракталы. Рисунок 11. Снежинка Коха.
Рисунок 12. Лист.
Рисунок 13. Треугольник Серпинского.
Наиболее известным из указанных фракталов является снежинка Коха. Данный фрактал строится на основе равностороннего треугольника. Каждая сторона треугольника заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций — получим фрактал — снежинку Коха бесконечной длинны. Также следует отметить, что бесконечная фигура будет занимать конечную и ограниченную площадь. Размерность снежинки Коха можно определить следующим образом (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза). Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems.
Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов. 7. Алгебраические фракталы.
Данный тип фракталов образуют достаточно большую группу. Алгебраические фракталы задаются аналитически, с помощью функций и алгебраических преобразований. Существует несколько методов получения алгебраических фракталов. Одним изтаким методов является итерационный он представляет собой многократный расчет функции, где — комплексное число, а некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. Если условие выполняется — на экран выводится точка и процедура повторяется. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:
с течением времени стремится к бесконечности;
стремится к 0;принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;
поведение хаотично, без каких либо тенденций. Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике — множеству Мандельброта. Рисунок 14. Множество Мандельброта8. Стохастические фракталы.
Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма». Рисунок 15. Плазма.
Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок. Если, например, сказать, что цвет точки это высота над уровнем моря, то получим вместо плазмы — горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру. Рисунок 16.
9. Системы итерируемых функций (IFS — Iterated Function Systems) Развитие данной группы фракталов было обусловлено ключевыми работами Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия. Все началось с того, что Майкл Барнсли пытался представить изображение в виде конечного фрактала. То есть на определенном масштабе выделить базовую структуру с помощью, которой можно было бы определить изображение как обычный фрактал. Таким образом, для сохранения изображения достаточно сохранить базовую структуру и ее относительный размер. Данный алгоритм нашел отражение в первом программном продукте «ImagesIncorporated» фирмы «IteratedSystems», которая была основана самим Майклам Барнсли. Данная программа позволяла изображения переводить из растровой формы во фрактальную FIF. Такое преобразование показывало высокую степеней сжатия. При низких степенях сжатия качество рисунков уступало качеству формата JPEG, но при высоких картинки получались более качественными. В любом случае этот формат не прижился, но работы по его усовершенствованию ведутся до сих пор.
Ведь этот формат не зависит от разрешения изображения. Так как изображение закодировано с помощью формул, то его можно увеличить до любых размеров и при этом будут появляться новые детали, а не просто увеличится размер пикселей. Если в L-systems (алгебраических фракталах) речь шла о замене прямой линии неким полигоном, то в IFS мы в ходе каждой итерации заменяем некий полигон (квадрат, треугольник, круг) на набор полигонов, каждый их которых подвергнут аффинным преобразованиям. При аффинных преобразованиях исходное изображение меняет масштаб, параллельно переносится вдоль каждой из осей и вращается на некоторый угол.
Литература
.
В. В. Mandelbrot. T he Fractal Geometry of Nature. W.&# 160;H. Freeman & Co., 1983.
(Есть перевод: Бенуа Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. — M.:
Институт компьютерных исследований, 2002.)H.-O. Peitgenand P. Richter. T he Beauty of Fractals. S pringer-Verlag, 1986. (.
Есть перевод: Х.-О. Пайтген, П. Х. Рихтер. Красота фракталов. — M.: Мир, 1989.)M. Barnsley. F ractals Everywhere. A.
cademic Press, Inc., 1988.H.-O. Peitgenand D. Saupe. T he Science of Fractal Images. S.
pringer-Verlag, 1988. Heinz-OttoPeitgen, HartmutJurgensandDietmarSaupe. F ractals for the Classroom. S pringer-Verlag, 1989.H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupeand C. Zahlten (video). F ractals: An Animated Discussion, with Edward Lorenz and Benoit B. Mandelbrot.
W. H. Freeman & Co., 1990.
Саква, Д. Ю. Фракталы вокруг нас / Д. Ю. Саква // CodeNet — все для программиста [Электронный ресурс]. — Режим доступа:
http://www.codenet.ru/progr/fract/Fractals-Around/.Климов, А. Фракталы / А. Климов// rusproject.narod.ru [Электронный ресурс]. — 1999 — 2006. — Режим доступа:
http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm.Юргенс, X. Язык фракталов / Хартмут.
Юргенс, Хайнц — Отто Пайтген, Дитмар Заупе // В мире науки. S cientificAmerican. Издание на русском языке [Электронный ресурс]. — 1990. ;
10 окт. — N o 10. — С. 36 — 44. — Режим доступа:
http://ega-math.narod.ru/Nquant/ Fractals.htm.
