Для точки прямая, проходящая через и, пересекает в единственной точке (см. рис. 6). Отображение называется стереографической проекцией. Рисунок 6 -Стереографическая проекция.
Аналогично определяется гомеоморфизм:. Пара карт образует гладкий атлас на, который определяет стандартную гладкую структуру на сфере. Чтобы проверить согласованность этих двух карт, найдем аналитическое выражение стереографической проекции. Пусть и. Тогда векторы и коллинеарные, то есть для некоторого числа λ. Это число находим, используя то, что последняя координата точки равна 0. Отсюда, то есть. Подставляя это значение в равенство, получаем:(1)Отсюда (2)Аналогично, если, то (3)Очевидно, что. Чтобы найти аналитическое выражение для отображения: , необходимо выразить точку через. Из формул (1) и (3) следует, что. При помощи формулы (2) это выражение можно преобразовать к такому виду:
Это и есть доказательством гладкой согласованности карт. На произведении двух гладких многообразий вводится гладкая структура произведения посредством такой конструкции. Если атлас на М и атлас на, то объявляется атласом. Обозначим через множество всехмерных векторных подпространств в. Снабдим его топологией и структурой гладкого многообразия. Такое многообразие называется многообразием Грассманамерных плоскостей в. Пусть — -мерное векторное подпространство. Выберем базис в и составим из координат этих векторов матрицу размера, rank A=kПространство натянуто на столбцы этой матрицы. Если
— другой базис, то В=АС, где С — невырожденная-матрица.Обратно, любойматрице ранга можно сопоставить подпространство,, натянутое на столбцы этой матрицы. Двум матрицам А, В будет соответствовать одно и то же тогда и только тогда, когда А=ВС, где С — невырожденнаяматрица. Следует отметить, что множество всехматриц ранга является открытым множеством в и тем самым снабжено индуцированной топологией.
Введение
на этом множестве отношение эквивалентности,, превращает в топологическое пространство. Теперь можно определить на структуру гладкого многообразия. Для каждого набора, где, обозначим через открытое подмножество, состоящее из классов эквивалентности тех матриц, у которых отличен от 0 минор, образованный строками с номерами .В качестве примера рассмотрим. Точки множества можно представить матрицами:
где — единичнаяматрица, и Х — - матрица. Матрица Х однозначно определяется точкой. Отождествив множествоматриц с получим гомеоморфизм Таким образом, определена карта на. Аналогично определяются карты для остальных .Эти карты являются гладко согласованными. Отображение сводится к перестановкам координат, умножению матриц и обращению невырожденных матриц. Все эти операции можно выразить рациональными функциями.
3 Самоорганизующиеся многообразия.
В начале 1980 годов Т. Кохонен разработал алгоритм, который имитирует способность человеческого мозга самоорганизовываться в зависимости от внешних раздражителей. Этот алгоритм называется самоорганизующейся картой свойств. На рис. 7 представлен пример самоорганизующейся нейронной сети. Рисунок 7 — Нейронная сеть с двумерной решеткой.
Алгоритм обучения для самоорганизующихся нейронных сетей состоит их таких основных этапов:
Инициализация весовых векторов. Передача входного вектора в сеть. Для каждого входного вектора определение весового вектора, наиболее похожего на входной вектор, при этом находятся такие, чтобы выполнялось соотношение: для всех, где — это входной вектор, — весовой вектор в узле и соответственно, а пробегают все узлы решетки. Адаптация найденного весового вектора и смежных с ним векторов в решетке. Начальный размер окрестности смежных векторов является параметром, который задается пользователем, а затем в процессе итераций размер этой окрестности постепенно сокращается. Адаптивная величина шага итерации также уменьшается в процессе итераций. Веса из узлов окрестности, которые находятся дальше от выбранного узла, меняются не так сильно, как веса узлов, расположенным рядом с ним. Такой механизм осуществляется при помощи функции Гаусса, которая применяется к расстоянию от выбранного весового вектора до текущего весового вектора. Процесс адаптации описывается такой формулой, где — входной вектор, пробегают окрестность, в которой лежат смежные узлы с узлом, выбранном на шаге 3. Параметр ε - это шаг итерации, α - фиксированный коэффициент, который равен величине, обратной размеру окрестности.
Заключение
.
В данной курсовой работе рассмотрены особенности компьютерного моделирования многообразий со сложной топологической структурой. В частности даны определения понятий компьютерное моделирование и атлас, а также проанализированы области, где необходимо осуществлять компьютерное моделирование. Особое внимание уделено математическому аппарату описания и представления многообразий со сложной топологической структурой. Рассмотрены методы комбинаторной и дифференциальной топологии, а также процесс самоорганизации многообразий при помощи алгоритмов нейронных сетей.
Список литературы
Горбань А.Н., Дунин-Барковский В.Л., Миркес Е. М. Нейро-информатика. — Новосибирск: Наука, 1998.
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2001. — 960 с. Прасолов В. В. «Элементыкомбинаторной и дифференциальнойтопологии». — М., МЦНМО, 2004. — 352 с. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. / Учеб.
пособие. — М.: Изд-во Триумф, 2003. — 320 с. Щербатов И. А. Управление сложными слабоформализуемыми многокомпонентными системами: Моногр. / Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2015.-288 с. Агалаков Ю. Г., Бернштейн А. В. Сокращение размерности данных в задачах имитационного моделирования // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2012.
— №&# 160;3. — С. 3−17.Архангельский А. А. Применение в системах связи классификаторов на основе нейронных сетей // Сборник: Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании. ІІ Международная научно-техническая и научно-методическая конференция. — 2013.
— С. 4649.
Белов М.П., Золотов О. И. Применение генетических алгоритмов в инфокоммуникационных системах // Сборник: «Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании». ІІІ Международная научно-техническая и научно-методическая конференция. — 2014. -.
С. 397−401.Бурнаев Е. В., Бернштейн А. В. Методы консолидации разноточных данных // Труды 8-й международной конференции «Интеллектуализация обработки информации», 2010. — С. 220−223.Варшанина Т. П., Плисенко О. А. Интегрированная цифровая модель «Электронная Земля»: региональный аспект //Системы и средства информатики. -.
2008. — Т. 18. — №&# 160;3. — С. 135−161.Галанин А. В. Алгоритмы и программный комплекс для топологического анализа компьютерных моделей // Естественные иматематические науки в современном мире: сборник статей по материалам XV Международной научно-практической конференции. — Нижний Новгород, 2014.
Горбань А.Н., Макаров С. В., Россиев А. А. Заполнение пробелов в данных при помощи линейного и нелинейного факторного анализа, мозаичной регрессии и формул Карлемана // Всеросс. научно-техн. конф. Нейроинформатика-99. Сборник научных трудов. В 3 частях. Ч.
1. — М.: МИФИ. 1999. — С. 25−31.Григоровский Б. К. онтология моделей математической физики // Вестник Сам.
ГУПС. — 2013. — №&# 160;1 (19).
— С. 76−81.Козлова О. А. Выделение контуров изображений в задаче технического зрения // Сборник: «Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании». ІІІ Международная научно-техническая и научно-методическая конференция. — 2014. — С. 478−481.Кулешов А. П. Технология быстрого вычисления характеристик сложных технических объектов // Информационные технологии. — 2006.
— Вып. 3. — С. 4−11.Полянская А. В. Использование компьютерных визуальных моделей в профессиональной подготовке будущих экологов // Universum: психология и образование. — 2015. — №&#.
160;11−12 (20). — С. 1. Россиев А. А. FAMaster -программныйпродукт для моделирования неполных данных и заполнения пробелов в них // Нейроинформатика и ее приложения: Тезисы докладов VI Всероссийского семинара. — Красноярск: КГТУ, 1998. — С. 155. Фролкова А. К., Фролкова А. В., Криштоп Е. А. Анализ бинодальных многообразий четырехкомпонентных систем // Теоретические основы химической технологии.
— 2014. — Т. 48.
— №&# 160;4. — С. 451. Википедия [Электронный ресурс]. Режим доступа:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Атлас_(топология) -проверено 10.
06.2016.
Шарафутдинов В. А. Гладкие многообразия [Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://math.nsc.ru/LBRT/d6/chair/documents/Sharafutdinov/Sharafutdinov_Riemannian_Geometry_Chapter2.pdf — проверено 12.
06.2016.
