Определение зависимости температуры пластины от времени нагрева

Специалисты в области автоматизации технологических процессов и производств имеют дело с большим объёмом экспериментальных данных, для обработки которых используется компьютер.

При рассмотрении различных задач в этой области возникает, в частности, необходимость выявления некоторых эмпирических закономерностей, решения систем уравнений, первичной статистической обработки экспериментальных данных.

Для решения многих задач, исходные данные и полученные результаты вычислений которых могут быть представлены в табличной форме, используют табличные процессоры (электронные таблицы) и, в частности, Ехсеl. Имеется также множество инженерных задач, для решения которых требуется применить язык программирования.

Был произведен теоретический расчет распределений температур внутри тела и их изменений во времени на основании уравнения теплопроводности, сведенного в дальнейшем в бесконечный ряд Фурье.

В данной работе использована среда языка программирования Turbo Pascal 7.0 для основной массы расчетов, то есть для нахождения распределения температуры в пластине, электронные таблицы Microsoft Excel 2002 из пакета Microsoft Office для создания контрольного варианта и построения графиков температурного распределения; текстовой редактор Microsoft Word 2002 для оформления отчета о проделанной работе.

При выполнении работы были использованы материалы лекций и рекомендованные источники литературы.

1. Постановка задачи

теплопроводность фурье программирование turbo pascal

Имеется бесконечная пластина толщиной 2, которая нагревается с двух сторон потоками жидкости, имеющей постоянную температуру T₀, где T₀ — начальная температура пластины в градусах Цельсия. Условия нагрева на обеих плоскостях пластины одинаковы. В начальный момент времени (t = 0) температура пластины постоянна по ее толщине и равна T_о. Температура пластины изменяется только по ее толщине, а процесс нагрева протекает так, что температура в любой точке возрастает, стремясь к температуре жидкости T_ж, где T_ж — начальная температура жидкости в градусах Цельсия.,

Требуется найти распределение избыточной температуры внутри бесконечной пластины толщиной 2, нагреваемой с двух сторон потоками жидкости, а также изменение этой температуры во времени. Найти величину и распределение абсолютной температуры пластины во времени. Величины T_ж (температуру жидкости) и T₀ (температуру пластины в начальный момент времени) считаем заранее известными (см. таблицу 1).

Так же необходимо построить графики изменения температуры пластины в зависимости от толщины пластины и времени нагрева. Расчеты произвести в точках с координатами X = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, где X — безразмерная величина, играющая роль координаты при изменении толщины пластины от 0 до 2. Построить графики изменения температуры пластины в ее центре (X = 0) в зависимости от толщины пластины и времени нагрева. Исходные данные: а = 0,05 м² /сек; T_ж = 100 С; T₀ = 20 С; 2 = [0,4; 0,6; 1,2] м; t = [5; 10; 15] c (см. таблицу 1).

Решение данной задачи сводится к решению уравнения теплопроводности, которое является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, при известных начальных условиях.

2. Анализ задачи

Для определения зависимости температуры Т от координаты x и от времени t, имеется уравнение теплопроводности:

где, а — коэффициент температуропроводности.

Уравнение (2.1) может быть решено при следующих дополнительных условиях:

где б — коэффициент теплоотдачи между пластиной и окружающей средой.

Введем избыточную температуру V, выразив её следующим образом:

где Т (х, t) — температура в некоторой точке пластины в момент времени t, тогда уравнение (2.1) будет иметь вид, а условия (2.2) и (2.3) принимают вид (2.6), (2.7)

Решение (2.5), (2.6), (2.7) имеет вид где — число Фурье, _n — характеристические числа n = 1, 2, 3…

Характеристические числа находят из уравнения

(2.9),

где B_i — критерий БИО.

где б — коэффициент теплоотдачи,

— полутолщина пластины,

— коэффициент теплопроводности.

Величина б может быть найдена из (2.11)

гдетолщина теплового пограничного слоя, причем (а — коэффициент температуропроводности) Примечание: Характеристические числа находим из решения трансцендентного уравнения (не имеющего целых решений) (2.8), которое решается либо графически, либо с помощью математического метода итераций (повторения), т. е. при каждом повторении решение уравнения становится более точным. Последний метод выполняется на ЭВМ, причем задается количество повторений и точность решения, на основе этих данных ЭВМ выдает решение трансцендентного уравнения с заданной точностью. Можно заметить, что решений у этого уравнения бесконечное множество, поэтому нужно ограничить число решений с заданной точностью —. Но при его решении методом итераций мы сталкиваемся с расходимостью этого метода, т.к. не выполняется необходимое условие, где, но не при всех значениях больших 1 выражение меньше единицы, следовательно, перейдем к другому виду этого уравнения., где при любых выражение меньше единицы. Чтобы найти Тогда расчет будем выполнять по этой формуле. Причем решения этого уравнения нужно найти до 3-го значения, т.к. дальнейшее нахождение решений — не математического смысла (это отражается ниже, в контрольном варианте).

3. Контрольный вариант

С помощью Excel вычислим значения абсолютной и избыточной температур в точке Х = 0, при 2 = 1.2 м, = 0.05м²/cек и t = 10 сек.

Приблизительно, значения _n можно найти также с помощью Excel, как абсциссы точек пересечения графиков функций f₁()=ctg () и f₂()= /B_i на каждом из отрезков [(n-1), n], n=1, 2,… 6. На каждом отдельном листе Excel будем искать соответственно.

Для нахождения корней трансцендентного уравнения занесем в ячейку А1 нового рабочего листа Excel значение, соответствующее началу первого промежутка, пусть это будет (ноль брать не следует, т.к.), т.к. вычисление в радианах проще для функции котангенса. В ячейку A2 занесем, затем, ,, ,, ,, ,, ,,. Причем, значения точек выбраны в соответствии со скоростью изменения функции котангенса (скорость изменения прямой постоянная величина). Выделим обе ячейки и «растянем» за правый нижний угол до последнего значения.

В ячейки B1 и C1 введем формулы =COS (A1)/SIN (A1) и =A½.443 (где 2.443 — коэф. БИО) соответственно. «растянем» формулы до конца промежутка. Далее построим график, на котором отражены обе функции (приложение, график 1.). По нему определим значение первого характеристического числа. Если необходима более высокая точность определения корней с помощью графика, можно сузить промежуток, приближая его начало и конец к обнаруженному приблизительному значению корня. Аналогично определяются и остальные характеристические числа. найденные значения приведены в таблице 2.

Далее рассмотрим фрагмент окна Excel (рис. 3.1.). В ячейки В2: В13 введем исходные данные, в ячейку D2 введем начальную координату «0.0». В ячейку F2 введем формулу: = B5*B4/(B3*B3), в ячейку F3 введем формулу: =B6-B7. Для упрощения расчетов сосчитаем отдельно выражение:.В ячейку H1 внесем формулу: =exp (- (B8²)*F2), аналогично в ячейках Н2: Н6. Для вычисления члена суммы в формуле (2.8), внесем в ячейку Е8 формулу: =(2*sin (B8)*cos (B8*$D$ 2)*H1)/(B8+sin (B8)*cos (B8)), затем растянем ячейку вниз до Е13. В ячейку Е15 введем формулу для нахождения избыточной температуры: =F3*(E8+E9+E10+E11+E12+E13), а в ячейку Е16 введем формулу для нахождения абсолютной температуры пластины: =B6-E15.

Чтобы убедиться в правильности расчетов Excel, выполним «ручной расчет». Где (полутолщина пластины), (коэффициент температуропроводности),, , (характеристические числа при), (время нагрева пластины), (координата по толщине).

Тогда подставив все значения в уравнение (1) -, получим:

— избыточную температуру пластины. Теперь нужно найти собственную температуру пластины по формуле (2) ;

Расчеты, выполненные выше, сходятся с расчетами из Excel, следовательно, можно будет утверждать, что все расчеты сделаны верно, если они совпадут с полученными из Pascal. Как видно из контрольного варианта рассчитывать более 3-х м не имеет математического смысла, поэтому, чтобы не перегружать программу, будем выполнять расчет только для первых 3-х м.

4. Описание решения задачи с помощью языка программирования

Схемы алгоритмов Работа основной программы начинается с ввода исходных данных из файла: a, T_g, T_о и массивов delta, delta2 и t. Далее для каждой толщины пластины delta2 [i] рассчитывается коэффициент БИО и полученные данные записываются в файл результатов. Далее для каждого коэффициента БИО рассчитывается по шесть характеристических чисел при помощи функции М, которые заносятся в двумерную матрицу Bis [3.6]. После проведения этих операций производится расчет начальной избыточной температуры, определяемой формулой V_n = T_g — T_o. Затем при помощи вложенных циклов для каждой из трех заданных температур изменяем значения также заданной толщины пластины, и рассчитываем число Фурье по формуле. Для каждой толщины пластины измененяем координату Х от 0 до1 с шагом 0.2, для каждой из которых, в свою очередь, рассчитываем член суммы из формулы (2.8) с помощью функции member. Переменная sum с каждым выполнением внутреннего цикла увеличивает свое значение на член member, а по завершению циклов, умножается на величину V_0.Таким образом находится значение избыточная температура V. Далее вычисляем абсолютную температуру по формуле. Полученные значения записываем в файл результатов.

Функция М предназначена для нахождения характеристических чисел посредством решения трансцендентного уравнения методом итераций. Последовательные приближения вычисляются до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или не будет совершено заданное заранее число приближений.

Рис. 4.1.2 Блок-схема алгоритма подпрограммы М Функция Member рассчитывает член суммы из формулы (2.8).

Рис. 4.1.3 Блок-схема алгоритма подпрограммы «Мember»

Программа, написанная на языке программирования Turbo Pascal.

{Курсовая работа. Вариант 1 Егоров К. А. АПМ-02}

program Kursovaja;

uses

Crt;

{Объявление типов}

Type

TReal=array [1.3] of Real;

{Объявление констант}

const

X:array [1.6] of real=(0,0. 2,0. 4,0. 6,0. 8,1);

{Объявление переменных}

var

i, n, k, j: Integer;

f: Text;

a, To, Tg, Bi, F0, sum, Vn, V, temp, del: Real;

delta2, t, Bis, delta: TReal;

Mus: Array [1. 3,1.6] of Real;

{Функция для вычисления характеристического числа}

Function M (n: Integer; Bi: Real):Real;

Const

eps=0.003; {Степень точности}

Var

aa, bb, d, X1, X0: Real;

i: Integer;

begin

{Вычисление границ интервала}

aa:=(n-1)*Pi;

bb:=n*Pi;

X0:=(aa+bb)/2; {Начальное значение корня}

i:=0;

repeat

i:=i+1;

X1:=arctan (Bi/X0)+aa; {подготовка к новой итерации}

d:=abs (X1-X0);

X0:=X1;

until (d200);

M:=X1;

end;

{Функция для вычисления членов суммы в формуле (2.8)}

Function member (M, X, F0: Real):Real;

Var

C, mem1, mem2, mem3: Real;

begin

C:=(- (M*M*F0));

if C<-10 then mem3:=0 else mem3:=exp (C);

mem1:=M+sin (M)*cos (M); {вычисление знаменателя}

mem2:=2*sin (M)*cos (M*X)*mem3; {вычисление числителя}

member:=mem2/mem1;

end;

{ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА}

begin

ClrScr;

{Чтение исходных данных из файла}

Assign (f, 'c:progr.txt');

Reset (f);

ReadLn (f, a);

ReadLn (f, To);

ReadLn (f, Tg);

for i:=1 to 3 do

begin

Read (f, del);

delta2 [i]: =del;

delta[i]:=del/2;

end;

ReadLn (f);

ReadLn (f);

for i:=1 to 3 do

Read (f, t[i]);

Close (f);

{Открытие файла-результата для записи}

Assign (f, 'c:res.txt');

Rewrite (f);

{Запись исходных данных в файл-результат}

WriteLn (f, 'Значения коэффициента температуропроводности:', a:4:2);

WriteLn (f, 'Начальная температура пластины: ', To:5:1);

WriteLn (f, 'Температура жидкости: ', Tg:5:1);

WriteLn (f, 'Толщина пластины:');

for i:=1 to 3 do Write (f, delta2 [i]: 6:2,' ');

WriteLn (f);

WriteLn (f, 'Время нагрева пластины:');

for i:=1 to 3 do Write (f, t[i]: 6:2,' ');

WriteLn (f);

WriteLn (f);

{Вычисление критерия БИО для каждого значения delta}

for i:=1 to 3 do

begin

Bis[i]: =3*delta[i]/(2*exp ((1/3)*ln (a)));

WriteLn (f, 'Толщине пластины, равной', delta2 [i]: 5:2,' соответствует Bi=', Bis[i]: 5:2);

end;

{Вычисление шести значений M для каждого значения БИО}

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 6 do

begin

Mus [i, j]: =M (j, Bis[i]);

end;

{Запись в файл заголовка таблицы}

WriteLn (f, '-');

WriteLn (f, '| время | толщина | значение |координата| избыточная | aбсолютная |');

WriteLn (f, '| нагрева |пластины | Mu | точки | температура |температура |');

WriteLn (f, '|пластины| | | | пластины | пластины |');

WriteLn (f, '-');

{Вычисление значения избыточной температуры в начальный момент времени (t=0)}

Vn:=Tg-To;

{Вычисление значений избыточной и абсолютной температур}

for i:=1 to 3 do {Цикл для изменения температуры}

begin

for j:=1 to 3 do {Цикл для изменения delta}

begin

{Вычисление числа Фурье}

F0:=a*t[i]/(delta[j]*delta[j]);

for k:=1 to 6 do {Цикл для изменения координаты}

begin

{Вычисление суммы}

sum:=0;

for n:=1 to 4 do {Цикл для изменения числа M}

begin

sum:=sum+member (Mus[j, n], X[k], F0);

end;

V:=Vn*sum; {избыточная температура}

Temp:=Tg-V; {aбсолютная температура}

{заполнение таблицы}

WriteLn (f, '|', t[i]: 8:2,' | ', delta2 [j]: 3:2,' |', mus [j, k]: 8:2,' |', x[k]: 8:2,' |', V:9:2,' |', Temp:9:2,' |');

end;

WriteLn (f, '-');

end;

end;

Close (f);

end.

Исходные данные Значения коэффициента температуропроводности: 0.05

Начальная температура пластины: 20.0

Температура жидкости: 100.0

Толщина пластины:

0,4 0,8 1,2

Время нагрева пластины:

5.00 10.00 15.00

Файл ish2. txt с исходными данными, вводящимися в программу при ее выполнении. Первая строка вводит значение коэффициента температуропроводности пластины. Вторая — начальную температуру, третья — температуру жидкости. Четвертая строка содержит различные значения толщины пластины, указанные в задании, пятая — значения температуры нагрева, также заданной в работе .

Результат работы программы Значения коэффициента температуропроводности: 0.05

Начальная температура пластины: 20.0

Температура жидкости: 100.0

Толщина пластины:

0.40 0.80 1.20

Время нагрева пластины:

5.00 10.00 15.00

Толщине пластины, равной 0.40 соответствует Bi= 0.81

Толщине пластины, равной 0.80 соответствует Bi= 1.63

Толщине пластины, равной 1.20 соответствует Bi= 2.44

;

| время | толщина | значение |координата | избыточная | aбсолютная |

| нагрева |пластины | Mu | точки | температура|температура |

|пластины | | | | пластины | пластины |

;

| 5.00 | 0.40 | 0.80 | 0.00 | 1.67 | 98.33 |

| 5.00 | 0.40 | 3.38 | 0.20 | 1.65 | 98.35 |

| 5.00 | 0.40 | 6.41 | 0.40 | 1.58 | 98.42 |

| 5.00 | 0.40 | 0.00 | 0.60 | 1.48 | 98.52 |

| 5.00 | 0.40 | 0.00 | 0.80 | 1.34 | 98.66 |

| 5.00 | 0.40 | 0.00 | 1.00 | 1.17 | 98.83 |

;

| 5.00 | 0.80 | 1.01 | 0.00 | 18.62 | 81.38 |

| 5.00 | 0.80 | 3.57 | 0.20 | 18.24 | 81.76 |

| 5.00 | 0.80 | 6.53 | 0.40 | 17.11 | 82.89 |

| 5.00 | 0.80 | 0.00 | 0.60 | 15.28 | 84.72 |

| 5.00 | 0.80 | 0.00 | 0.80 | 12.82 | 87.18 |

| 5.00 | 0.80 | 0.00 | 1.00 | 9.84 | 90.16 |

;

| 5.00 | 1.20 | 1.14 | 0.00 | 39.04 | 60.96 |

| 5.00 | 1.20 | 3.72 | 0.20 | 38.04 | 61.96 |

| 5.00 | 1.20 | 6.64 | 0.40 | 35.08 | 64.92 |

| 5.00 | 1.20 | 0.00 | 0.60 | 30.33 | 69.67 |

| 5.00 | 1.20 | 0.00 | 0.80 | 24.01 | 75.99 |

| 5.00 | 1.20 | 0.00 | 1.00 | 16.47 | 83.53 |

;

| 10.00 | 0.40 | 0.80 | 0.00 | 0.03 | 99.97 |

| 10.00 | 0.40 | 3.38 | 0.20 | 0.03 | 99.97 |

| 10.00 | 0.40 | 6.41 | 0.40 | 0.03 | 99.97 |

| 10.00 | 0.40 | 0.00 | 0.60 | 0.03 | 99.97 |

| 10.00 | 0.40 | 0.00 | 0.80 | 0.03 | 99.97 |

| 10.00 | 0.40 | 0.00 | 1.00 | 0.02 | 99.98 |

;

| 10.00 | 0.80 | 1.01 | 0.00 | 3.73 | 96.27 |

| 10.00 | 0.80 | 3.57 | 0.20 | 3.66 | 96.34 |

| 10.00 | 0.80 | 6.53 | 0.40 | 3.43 | 96.57 |

| 10.00 | 0.80 | 0.00 | 0.60 | 3.06 | 96.94 |

| 10.00 | 0.80 | 0.00 | 0.80 | 2.57 | 97.43 |

| 10.00 | 0.80 | 0.00 | 1.00 | 1.97 | 98.03 |

;

| 10.00 | 1.20 | 1.14 | 0.00 | 15.95 | 84.05 |

| 10.00 | 1.20 | 3.72 | 0.20 | 15.54 | 84.46 |

| 10.00 | 1.20 | 6.64 | 0.40 | 14.33 | 85.67 |

| 10.00 | 1.20 | 0.00 | 0.60 | 12.39 | 87.61 |

| 10.00 | 1.20 | 0.00 | 0.80 | 9.81 | 90.19 |

| 10.00 | 1.20 | 0.00 | 1.00 | 6.73 | 93.27 |

;

| 15.00 | 0.40 | 0.80 | 0.00 | 0.00 | 100.00 |

| 15.00 | 0.40 | 3.38 | 0.20 | 0.00 | 100.00 |

| 15.00 | 0.40 | 6.41 | 0.40 | 0.00 | 100.00 |

| 15.00 | 0.40 | 0.00 | 0.60 | 0.00 | 100.00 |

| 15.00 | 0.40 | 0.00 | 0.80 | 0.00 | 100.00 |

| 15.00 | 0.40 | 0.00 | 1.00 | 0.00 | 100.00 |

;

| 15.00 | 0.80 | 1.01 | 0.00 | 0.75 | 99.25 |

| 15.00 | 0.80 | 3.57 | 0.20 | 0.73 | 99.27 |

| 15.00 | 0.80 | 6.53 | 0.40 | 0.69 | 99.31 |

| 15.00 | 0.80 | 0.00 | 0.60 | 0.61 | 99.39 |

| 15.00 | 0.80 | 0.00 | 0.80 | 0.52 | 99.48 |

| 15.00 | 0.80 | 0.00 | 1.00 | 0.40 | 99.60 |

;

| 15.00 | 1.20 | 1.14 | 0.00 | 6.51 | 93.49 |

| 15.00 | 1.20 | 3.72 | 0.20 | 6.35 | 93.65 |

| 15.00 | 1.20 | 6.64 | 0.40 | 5.85 | 94.15 |

| 15.00 | 1.20 | 0.00 | 0.60 | 5.06 | 94.94 |

| 15.00 | 1.20 | 0.00 | 0.80 | 4.01 | 95.99 |

| 15.00 | 1.20 | 0.00 | 1.00 | 2.75 | 97.25 |

Вывод

Исходя из полученных результатов, сделан вывод о нелинейном характере распределения температуры в зависимости от временных и пространственных координат. Величина абсолютной температуры находится в возрастающей зависимости от величины временного интервала протекания процесса и в убывающей зависимости от значения толщины пластины. Тем самым, чем больше пластина находится в тепловом воздействии жидкости, тем ее температура сильнее стремится к температуре жидкости, а также разность температур разных слоев пластины стремится к 0 при стремлении времени нагрева к бесконечности.

Заключение

Исследовав физические закономерности данных тепловых процессов, можно сделать вывод, что при работе какого-нибудь комбината наверняка сталкиваются с задачей такого типа. Когда пластина или стенка какой-нибудь печи нагревается под действием расплавленного металла или плазмы, нужно определить температуру стенки на ее внешней или внутренней поверхности, с одной стороны для обеспечения безопасности людей работающих с этим оборудованием с другой — для предотвращения каких-либо аварий.

Выполняя данную работу, мы закрепили навыки работы с языком программирования Turbo Pascal, применив новые методы для работы на нем, а также, используя дополнительно программы из пакета MS Office — Excel и Word, мы сделали наиболее объективные выводы, что немаловажно для будущего инженера.

Библиографический список

1. Курс физики: учебное пособие / под редакцией А. А. Детлафа, Б. М. Яворского, Москва «Высшая школа», 2001 г.

2. «Металлургическая теплотехника». часть 1, М., Металлургия, 1986.

3. Марченко «Программирование в среде Turbo Pascal 7.0». СПб, 1998.