Растяжение-сжатие стержня

Содержание

• Задание

Для статически неопределимой стержневой системы (рис. 1), состоящей из абсолютно жесткого (недеформируемого) стержня и деформируемых стержней длиной l1 и l2, соединенных шарнирами, выполнить следующие расчеты:

 подобрать сечения стержней по заданной внешней нагрузке (или определить грузоподъемность системы);

 определить усилия, напряжения и абсолютные деформации в стержнях, вызванные температурным воздействием;

 определить усилия, напряжения и абсолютные деформации в стержнях, возникающие при монтаже конструкции вследствие неточности их изготовления.

Исходные данные приведены в таблице 1.

Рис. 1 Стержневая система

Таблица 1 Исходные данные

a1 a2 a3 a4 P F1/F2 Е1 Е2 []1 []2 1 2 t1 1

м кН 105 МПа МПа 10−7 гра C мм

1,8 1,4 2,0 1,5 240 2 1,8 1,0 150 100 125 165 60 -0,07

Изм Лист № докум Подпись Дата

Разраб. Расчет статически неопределимой стержневой системы на растяжение-сжатие Лит Лист Листов

Провер. 1

Н. контр

Утв.

Формат А4

1 Подбор сечений стержней по заданной внешней нагрузке

(определение грузоподъемности системы)

Решение

1.1 Вычерчиваем в масштабе расчетную схему и проставляем на чертеже все размеры и обозначения (рис. 2).

1.2 Убедимся, что рассматриваемая стержневая система является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных: это продольные силы N1 и N2 в двух деформируемых стержнях и две опорные реакции RB и НB в шарнирно неподвижной опоре B. Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых уравнений статики для данной системы равно 3. Система является один раз статически неопределимой.

Рис. 2 Расчётная схема

В соответствии с методом сечений рассечем стержни 1 и 2 и, отбросив части стержней, заменим их внутренними усилиями продольными силами N1 и N2 (рис. 3), направления которых определим из следующих соображений: от действия внешней силы Р жесткий стержень наклоняется вниз, при этом первый стержень сжимается и в нем возникает внутреннее усилие N1, а второй стержень растягивается и в нем возникает внутреннее усилие N2.

1.3 Чтобы составить уравнение равновесия, нарисуем план сил (рис. 3). Поскольку возникающие в шарнире реакции RB и НB неизвестны, то полезным уравнением равновесия в данном случае является только уравнение суммы моментов относительно шарниров:

(1)

Рис. 3 План сил

1.4 Для составления уравнения совместности деформаций необходимо рассмотреть деформированное состояние системы (рис. 4). Под действием внешней силы Р жесткий стержень АD повернется относительно шарнира B по часовой стрелке на некоторый малый угол. При этом все точки этого стержня опишут дугу окружности. Поскольку деформации, рассматриваемые в сопротивлении материалов, считаются малыми, заменим эти дуги перпендикулярами. Таким образом, новое положение жесткого стержня АD будет А2D2, а точка С, как точка жесткого стержня, займёт положение С2.

С другой стороны, точки, А и С являются точками стержней, которые деформируются. Первый стержень укорачивается на Δl1, (отрезок AA1) и поворачивается (перпендикуляр A1A2), а второй стержень удлиняется на Δl2, (отрезок CC1) и поворачивается (перпендикуляр C1C2).

Геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней Δl1 и Δl2, получим из рассмотрения плана перемещений (рис. 4).

Рис. 4 Деформированное состояние системы

Из рассмотрения треугольников ВАА2 и ВСС2 имеем:

Связывая отрезки AA2 и CC2 с деформациями стержней Δl1 и Δl2

и учитывая, что АВ = a1, BC = a2, получим окончательно уравнение совместности деформаций в виде:

(2)

1.5 Теперь надо связать деформации стержней с внутренними усилиями. Считая, что материал подчиняется закону Гука (расчет по упругой стадии деформации), запишем физические уравнения:

(3)

Таким образом, решая систему из уравнений (1), (2), (3) можно раскрыть статическую неопределимость системы, т. е. найти внутренние усилия в стержнях N1 и N2.

Подстановкой уравнений (3) в уравнение (2) получим:

(4)

Определим неизвестные значения углов 1, 2 и значения длин l1, l2:

Подставив значения в уравнение (4) получим усилие в стержне 1:

Из уравнения (1) имеем: